控制工程基础第四章

1、2第4章 根轨迹法反馈控制系统的基本性能，主要由系统反馈控制系统的基本性能，主要由系统的闭环极点（即特征方程的根）的分布的闭环极点（即特征方程的根）的分布所决定所决定开环传递函数开环传递函数 闭环特征根闭环特征根 -图解法图解法 3学习要点 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹绘制法则 广义根轨迹 根轨迹法分析控制系统的性能44.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 当系统某个参数（开环增益当系统某个参数（开环增益K）由零到无）由零到无穷大变化时，穷大变化时， 闭环特征根闭环特征根(极点极点)在在S平面平面上移动的轨迹。上移动的轨迹。4.1.1根轨迹根轨迹常规根轨迹：常规根轨迹：变化的参数为开环增益变化

2、的参数为开环增益K广义根轨迹（参量根轨迹）：广义根轨迹（参量根轨迹）：变化的参数为变化的参数为其它参数其它参数5单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数 )15 . 0( ssKsG)2(2 ssK开环极点开环极点0，-2闭环特征方程为闭环特征方程为0222 Kss闭环特征根为闭环特征根为Ks2112, 1 例：了解开环增益与闭环特征根间的关系例：了解开环增益与闭环特征根间的关系6K=0，Ks2112, 1 S-2 02, 021 ssK=0.5，1, 121 ssK=1，jsjs 1121-1K=0.5K=1K=1K=-K=K=， jsjs1121ReIm动态性能分析动态性能分析

3、:1. 1.K变化时的阻尼情况变化时的阻尼情况2. 2.最佳阻尼最佳阻尼(0.707)(0.707)对应对应的极点的极点3.3.可判断系统的型别从可判断系统的型别从而计算出稳态误差而计算出稳态误差74.1.2 根轨迹方程根轨迹方程 sHsGsGsXsXio 1 :递递函函数数反反馈馈控控制制系系统统的的闭闭环环传传根根轨轨迹迹方方程程 01 sHsG其特征方程为其特征方程为 1 sHsG或写作或写作 1 : sHsG幅值条件幅值条件 )2 , 1 , 0( 12180 : kksHsG相相角角条条件件8 nmpspspszszszsKsHsG 2121若若KK开开环环增增益益系系统统的的开开环

4、环根根轨轨迹迹增增益益 pnjpnjpjzmjzeAeAeAeAKsHsGpzmz 1111 1 sHsG , 2 , 1 , 0 12180 1z1 kkpjnjimi 相相角角条条件件 0由由K1 11 pjnjzimiAAK幅值条件幅值条件的的点点都都是是特特征征方方程程的的根根件件平平面面上上所所有有满满足足幅幅角角条条S9 利用相角条件绘制根轨迹利用相角条件绘制根轨迹 15 .0 ssKsG例例S-2 0 1s3s 2s 4s 02 ,011 ss1 2MN 121802 kss相角条件：相角条件： 02 ,18022 ss 1802 ,18033 ss 24142 , ss 222

5、 ssKssK试试探探法法 上。上。的中垂线的中垂线，一定在一定在，幅角条件，即幅角条件，即足足位于根轨迹上，则必满位于根轨迹上，则必满若若MNss02180 4214 10利用幅值条件可算出根轨迹上的某点处的利用幅值条件可算出根轨迹上的某点处的K* 值值S-2 0MN 22215 .0 *ssKssKssKsG例 22211 211 2 jjjjssKs1 K12 KK12 * ssK幅值条件幅值条件点点如：如：js 1114.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数n个特征根个特征根随随K变化变化会出现会出现n条根轨迹条根轨迹根轨迹在根轨迹在S平面上

6、的平面上的分支数分支数= 闭环特征方程的闭环特征方程的阶数阶数n12二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 -对称于实轴对称于实轴S13三、根轨迹的起点与终点三、根轨迹的起点与终点 起点起点-开环极点开环极点 终点终点-开环零点开环零点 开环开环mn 时，有时，有(n-m)条终止于条终止于无穷远处无穷远处S4 n2 m 2 mn处处条根轨迹终止于条根轨迹终止于有有 214证明：证明： nnppppspspsK,0 02121起点为：起点为：，即，即起点处起点处 1)()(2121 nmpspspszszszsKsHsG Kpspspszszszsnm12121 mmzzzzszszsK,0 21

7、21终点为：终点为：，即，即终点处终点处 15时时的的终终点点当当mn 01 0 mnnmssss即即时，上式可写为：时，上式可写为：而当而当 01 2121 Kpspspszszszsnm满满足足 条条根根轨轨迹迹趋趋于于无无穷穷远远处处终终点点有有mn 16四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹 实轴上实轴上根轨迹区段的右侧根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数开环零点、极点数目之和目之和应为应为奇数奇数。 可由相角条件证明可由相角条件证明 , 2 , 1 , 0 12180 1z1 kkpjnjimi ReImsp1p2p3p4p5z1z217例例4.2.1单位反馈控制系统的开环传递函数为单位

8、反馈控制系统的开环传递函数为S)2()1()(* sssKsG试绘制试绘制K* 由零到无穷时系统的闭环根轨迹。由零到无穷时系统的闭环根轨迹。解解: :(1)(1)确定开环零极点，画零极点分布图确定开环零极点，画零极点分布图零点：零点： z=-1极点：极点： p1=0， p2=-2-1-2(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数：2 2(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹18例例 单位反馈控制系统的开环传递函数为单位反馈控制系统的开环传递函数为S)5)(3()2)(7()(2* sssssKsG试绘制试绘制K* 由零到无穷时系统的闭环根轨迹。由零到无穷时系统的闭环根轨迹。解解:

9、 :(1)(1)确定开环零极点，画零极点分布图确定开环零极点，画零极点分布图零点：零点： z1=-7，极点：极点： p1,2=0，p3=-3，-2-3(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数：4 4(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹z2=-2p4=-5-5-719五、根轨迹的渐进线五、根轨迹的渐进线 mnkmnzpaimijnja 12 11角角为为：渐渐进进线线与与实实轴轴正正向向的的夹夹标标为为：渐渐进进线线与与实实轴轴交交点点的的坐坐极点之和减去极点之和减去零点之和。零点之和。 个倾角为止。个倾角为止。到获得到获得一直一直，依次取依次取mnk 210S-11-120

10、控制系统的开环传递函数为控制系统的开环传递函数为)22()()(2* sssKsHsG试试求根轨迹的渐近线求根轨迹的渐近线。解解: :(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点： 无无极点：极点： p1=0， p2 ,3=-1 j(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数：3 3(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：渐近线：3 3条条倾角：倾角： ,3312)12( kmnka交点：交点：3230)1()1(011 jjmnzpmiinjja 21例例 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 21 sssKsGS-2 -1 0a

11、开环无零点开环无零点开环极点开环极点2, 1, 0 321 ppp 180 ,60318012130210 kaa 角角为为渐渐进进线线与与实实轴轴正正向向的的夹夹标标为为渐渐进进线线与与实实轴轴交交点点的的坐坐n=3,m=0,故有故有3条渐近线条渐近线实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹22六、根轨迹的起始角六、根轨迹的起始角( (出射角出射角) )与终止角与终止角( (入射角入射角) ) 起始角：起始角：起始于开环共轭极点的根轨迹在起始于开环共轭极点的根轨迹在起点处的起点处的切线与水平线正方向切线与水平线正方向的夹角。的夹角。 终止角：终止角：终止于开环共轭零点的根轨迹在终止于开环共轭零点的根轨迹

12、在终点处的终点处的切线与水平线正方向切线与水平线正方向的夹角。的夹角。S1z2z1 2 1p2p3p1z1 2 S23 nmpspszszsKsG 11S1p2p3p1z12 1s 即即起起始始角角（出出射射角角）时时，则则当当,11111 psps起始角起始角 12180 1111 kpszsjnjimi幅角条件幅角条件 121801211111 kppzppsjnjimi 时时 jijanajjiamiappzpk 1112180 推广：推广：24 imbiijnjbjnajjimiakk 11111218012180入射角：入射角：出射角：出射角：所有零点到所有零点到 的向量夹角的向量夹

13、角ap其它极点到其它极点到 的向量夹角的向量夹角ap其它零点到其它零点到 的向量夹角的向量夹角bz所有极点到所有极点到 的向量夹角的向量夹角bz起始于起始于 的根轨迹在起点处的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角的切线与水平正方向的夹角ap终止于终止于 的根轨迹在终点处的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角的切线与水平正方向的夹角bz25七、根轨迹的分离点或会合点七、根轨迹的分离点或会合点 几条根轨迹在几条根轨迹在S平面上平面上相遇后又分开相遇后又分开的点，称的点，称为根轨迹的为根轨迹的分离点（或会合点）分离点（或会合点）。sdsdK解解出出根根轨轨迹迹方方程程 0. 1* dzdpdmi

14、injj解解出出由由 11. 211 利用幅值条件可以求出分离点利用幅值条件可以求出分离点( (会合点会合点) )对应的对应的K* *值值sdssdD解解出出由由 0)(. 3 26例例 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 21 sssKsG 121 sssKS-2 -1 0a 1s 01221 ssssss 21 sssK 021 sssdsddsdK)(567. 1-=433. 0-= 0=2+6+3 212舍舍，解得解得即：即：ssss38. 0=567. 1567. 0433. 0= 2+1+=111*1sssKs 对应的对应的与与27例例 已知系统的开环传递

15、已知系统的开环传递函数绘制根轨迹函数绘制根轨迹 25. 3312* sssKsHsG jpjpss 5 . 1 5 . 1 025. 33 1 212求开环极点求开环极点解：解：S-3 -2 -1 01p2 pz (2) 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹开环零点开环零点 z=-128 1 25. 331: 32 sssK根轨迹方程根轨迹方程求会合点：求会合点： 0125. 33132 22 sssssdsdK125. 332 sssK 舍舍去去是是会会合合点点解解得得：有有： 12. 0 12. 2025. 02212 ssss23. 1125. 331121*1 sssKs 对应的对应的与与例例

16、 已知系统的开环传递已知系统的开环传递函数绘制根轨迹函数绘制根轨迹 ( )( )()25. 3+3+1+=2sssKsHsG29S-3 -2 -1 01p2 pz 出出射射角角： 457.116 57.20612. 2 会合点会合点57.206 2 由于对称性由于对称性()()2111+180=ppzp-57.206=9057.116+180=-23. 1* K例例 已知系统的开环传递已知系统的开环传递函数绘制根轨迹函数绘制根轨迹 ( )( )()25. 3+3+1+=2sssKsHsG30八、实轴上的分离点的分离角八、实轴上的分离点的分离角恒为恒为 实轴上的会合点的会合角实轴上的会合点的会合

17、角恒为恒为90 90 S-3 -2 -1 01p2 pz 会合时，根轨迹会合时，根轨迹切线的倾角切线的倾角31 九、根轨迹与虚轴的交点九、根轨迹与虚轴的交点 01 jHjG 01Im1Re jHjGjjHjG即即说明说明s=j满足特征方程满足特征方程,即即: KKjHjGjHjG及及令令 01Im01Re 32根轨迹绘图步骤根轨迹绘图步骤( )分分布布图图求求零零、极极点点并并画画零零点点极极1 )(3交点和倾角交点和倾角求渐进线条求渐进线条 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹2 点点会会合合求求实实轴轴上上的的分分离离4(5)求出（入）射角求出（入）射角(6)求根轨迹与虚轴交点求根轨迹与虚轴交点思

18、考题思考题1.对根轨迹的描述错误的是（对根轨迹的描述错误的是（ ）。）。A.系统中某个参数变化时闭环极点移动形成的轨迹系统中某个参数变化时闭环极点移动形成的轨迹B. 利用系统的开环传递函数绘制的利用系统的开环传递函数绘制的C.利用系统的闭环传递函数绘制的利用系统的闭环传递函数绘制的D.是一种图解分析法是一种图解分析法2.根轨迹绘制的法则根本来源于（根轨迹绘制的法则根本来源于（ ）。）。A. 系统的开环传递函数系统的开环传递函数 B. 系统的开环特征方程系统的开环特征方程C.系统的物理结构系统的物理结构 D.系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程3.下列说法中正确的是（下列说法中正确的是（ ）。）

19、。A. 根轨迹对称于虚轴根轨迹对称于虚轴 B. 开环极点和闭环极点数目相同开环极点和闭环极点数目相同C. 根轨迹一定与虚轴有交点根轨迹一定与虚轴有交点 D.画根轨迹必须求渐近线画根轨迹必须求渐近线S-134例例4.2.44.2.4)22()()(2* sssKsHsG解解: :(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点： 无无极点：极点： p1=0， p2 ,3=-1 j(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数：3 3(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：渐近线：3 3条条倾角：倾角： ,3312)12( kmnka交点：交点：3230)1()1(0

20、11 jjmnzpmiinjja p1p2p3S-135)22()()(2* sssKsHsG (5) (5)无分离点无分离点(6)(6)出射角出射角 45)()(18032122ppppp 04523 pp (7)(7)与虚轴交点与虚轴交点方法一：方法一：022)(*23 KssssD令令s=j，有，有0)(2)(2)()(*23 KjjjjD 0-202-32* K有有 2 4*jsK解解得得方法二：劳斯判据方法二：劳斯判据*0*1*2324221KsKsKss 2js 得得K*=4系统临界稳定系统临界稳定根轨迹与虚轴有交点根轨迹与虚轴有交点交点可由辅助方程求交点可由辅助方程求02)(*2

21、 KssFp1p2p336 绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹解解: :(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点： z1=-2,极点：极点：p1,2=0，p3=-1，(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数：4 4(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：渐近线： 2 2条条交点：交点： S-41-2)1)(3()4)(2()(2* sssssKsG开环传递函数开环传递函数z2=-4p4=-312)42(31 a 倾角：倾角：2)12( mnka37例例 某单位反馈系统的开环传递函数某单位反馈系统的开环传递函数( )()()画根轨迹画根轨迹， 2+1+=

22、*sssKsGS-2 -1 0( )实轴上根轨迹实轴上根轨迹1433. 0 ( )()()1=2+1+ 3*-sssK分离点分离点()() 2+1+-=*sssK有有433. 0 0 sdsdK得：得：令：令：38. 0* K( )条条渐渐进进线线32a 130210 a 180 ,60318012 ka 38. 02|1|* |s|s|s|K38 3 6 414. 10 03 . 21KKK 解解得得：S-2 -1 0433. 0 a 414. 12 6 K414. 13 6 K js 令令：()()()0=+2+3+*23Kjjj有有 020332 K38. 0* K例例 某单位反馈系统的

23、开环传递函数某单位反馈系统的开环传递函数( )()()画根轨迹画根轨迹， 2+1+=*sssKsG( )根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点402323 Ksss即：即：( )()()0=+2+1+=:*KssssD特特征征方方程程39 2 1 023 323sKssssD 或用劳斯判据或用劳斯判据6 60 KK临界稳定：临界稳定：稳定范围：稳定范围：414. 1 03 2jsKs 解得：解得：辅助方程：辅助方程： KsKsKs 36 3 01240( )()()()画根轨迹画根轨迹开环传递函数开环传递函数例例 2+2+3+2+= 2*sssssKsG( )极极点点分分布布图图求求开开环环零零

24、极极点点并并画画出出零零解解： 1S-3 -2 -1 02= , 3=0=1= 1432, 1-zppjp，1p2 p 实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹2 3 3 mn渐进线条数渐进线条数 132113 jja 180 ,60318012 ka 点点会合会合实轴上无分离实轴上无分离4411 2 6 .26= -(5)求出射角求出射角)(+)(+180=413121111ppppppzp-)-(-)-( 6 .261359045180 6 .26=-=12S-3 -2 -1 01p2 p( )()()()画根轨迹画根轨迹开环传递函数开环传递函数例例 2+2+3+2+= 2*sssssKsG(6)求根

25、轨迹与虚轴交点求根轨迹与虚轴交点 02223)(2 sKsssssD 02685234 KsKsss js 令令 02685234 KjKj 42S-3 -2 -1 01p2 p1 2 761. 1* K 761. 1* K 02685234 KjKj 065028324 KK虚部方程：虚部方程：实部方程：实部方程：7 7061.161.1 0 KKK； ：解解方方程程并并舍舍去去无无意意义义解解 S-555-5 绘制系统的根轨迹。已知开环传递函数绘制系统的根轨迹。已知开环传递函数解解: :(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点：z1=-5极点：极点： p1=0，p2=4.8(2)

26、(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数： 2 2(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：渐近线：)4.8-()5+(=)(*sssKsG无无(5)(5)分离点分离点5+1=8 . 41+1ddd-解得解得，2=1d12=2-d(6)(6)与虚轴交点与虚轴交点0=5+)8 . 4-(+=)(*2KsKssDjs =令令得根轨迹与虚轴交点得根轨迹与虚轴交点js9 . 4=8 . 4=*K444.3 广义根轨迹广义根轨迹4.3.1参变量根轨迹参变量根轨迹 系统中除开环增益外的其他参数发生变化时闭环极系统中除开环增益外的其他参数发生变化时闭环极点移动的轨迹，称为点移动的轨

27、迹，称为。 利用利用的概念，利用常规根轨迹绘制法的概念，利用常规根轨迹绘制法则来绘制参变量根轨迹。则来绘制参变量根轨迹。设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则闭环特征方程为，则闭环特征方程为0=1+)()(=)(sHsGsD变形为：变形为：0=)( )( +1=)()(+1=)(sHsGsQsPAsDP(s)和和Q(s) 为不含有变化参数为不含有变化参数A的特征多项式的特征多项式用新的开环传递函数用新的开环传递函数 绘制根轨迹即可绘制根轨迹即可)( )( sHsG45例例4.3.1 某单位反馈系统的开环传递函数某单位反馈系统的开环传递函数( )()assKsG+=2*

28、绘制绘制K*=0.25，参数，参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。由零变化到无穷时系统的根轨迹。解：系统闭环特征方程为解：系统闭环特征方程为0=)+(25. 0+)1+(=)(2assssD0=25. 0+25. 0+23asss即即：变形为变形为0=+4+4+123sssa新开环传递函数新开环传递函数sssasHsG+4+4=)( )( 23(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点45零点：零点：无无极点：极点：p1=0，p2,3=-0.531- S21-j21j21-(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数： 3 3(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：

29、渐近线：31-=30-)5 . 05 . 00(=-aka,3=3)1+2(=(5)分离点分离点)+4+4( -=23sssa)(21-=61-=0=11舍舍去去，得得ssdsda(6)(6)与虚轴交点与虚轴交点0=)25. 0+- (+)25. 0+- (32ja0.5=1=a，得得中中有有代代入入将将0=)(=sDjs61-46例例4.3.2 某单位反馈系统的开环传递函数某单位反馈系统的开环传递函数( )()asssG+)4+(20=绘制参数绘制参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。由零变化到无穷时系统的根轨迹。解：系统闭环特征方程为解：系统闭环特征方程为0=20+)+)(4+(=)(ass

30、sD0=20+4+4+2aasss即即：变形为变形为0=20+4+)4+(+12sssa新开环传递函数新开环传递函数20+4+)4+(=)( )( 2sssasHsG(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点：z1=-4极点：极点：p1,2=-24j s4-44-(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数： 2 2(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(4)(4)渐近线：渐近线： 无无(5)分离点分离点4+20+4+-=2sssa0=4-8+0=2ssdsda有有)(-0.472=-8.472=11舍舍去去，解解得得ss.4728-(6)出射角出射角435.153=904

31、35.63+180=1-435.153=2-47 010102 2110 12 sKsssssKsHsGss其特征方程为：其特征方程为：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：解：解： 210 ss对对系系统统性性能能的的影影响响。后后，分分析析加加入入速速度度负负反反馈馈动动系系统统如如图图。参参量量根根轨轨迹迹的的绘绘制制。随随例例ssKK 除特征方程除特征方程的各项的各项用不含用不含102 2 ssKs0110210 2 sssKs 01 sHsG-sKs 1)(sXi)(sXo482、实轴上的根轨迹；、实轴上的根轨迹； 1 , 2 1021022 mnsssKsHsGs的根轨迹。的根轨

32、迹。画画03 dsdKs、汇合点：令、汇合点：令16. 316. 3 ,10 12 sss取：取：得：得：S-3 -2 -1 01p2pz16. 3 0 31 12 . 1 zjp、确定开环零点、极点、确定开环零点、极点49 4 .1984 .198 180422111 ppzp、出出射射角角432. 0 110210 16. 312111 sssKsssKKs会会合合点点处处的的代代入入幅幅值值条条件件，可可求求出出将将432. 0 sK4 .198S-3 -2 -1 01p2pz16. 3 504.3.2 0o根轨迹根轨迹-适于正反馈控制系统适于正反馈控制系统设正反馈系统的开环传递函数为设

33、正反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则闭环特征方程为，则闭环特征方程为0=1-)()(=)(sHsGsD根轨迹方程为：根轨迹方程为：1=)()(sHsG幅值条件：幅值条件：1=1111*pnjpnjpjzmjzeAeAeAeAKpzmz幅角条件：幅角条件：, 2, 1, 0=2=- 1=z1=kkjipnjmi(1)实轴上的根轨迹右侧开环零极点数目和为偶数实轴上的根轨迹右侧开环零极点数目和为偶数(2)渐近线与正实轴夹角渐近线与正实轴夹角mnka-2=(3)出射角出射角-najjjamiiapppzpa1=1=)()-(=例例4.3.4 某单位正反馈系统的开环传递函数某单位正反馈系统的开

34、环传递函数( )2+2+)2+(=2*sssKsG绘制根轨迹。绘制根轨迹。解：解：sssasHsG2344)()(1)(1)确定开环零极点确定开环零极点零点：零点：z1=-2极点：极点：p1,2=-1j(2)(2)根轨迹起止点和分支数：根轨迹起止点和分支数： 2 2(3)(3)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹0)25. 0()25. 0(32ja s2-11-(4)无渐近线无渐近线(5)分离点分离点2+2+2+=2*sssK)(-3.414=-0.584=0=11*舍舍去去，得得ssdsdK(6)出射角出射角45=9045=1-45=2.5870-52 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析

35、系统性能由根轨迹求解闭环零点、闭环极点由根轨迹求解闭环零点、闭环极点)()()()()()(2211sAsBsHsAsBsG ，设设)()()()()()()()(1)()()(212121sBsBsAsAsAsBsHsGsGsXsXio 则则所以：所以：闭环零点闭环零点= =前向通道的零点前向通道的零点闭环极点闭环极点-根轨迹上的点根轨迹上的点+反馈通道的极点反馈通道的极点 534.4.1闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 njjmiiiopszsKsXsX11* njjjnjjmiioipsAsApszssKsXttx1011*1时，时，当当 njtpjo

36、jeAAtx10 控制系统闭环的零极点控制系统闭环的零极点分布分布要保证它的输出量尽可要保证它的输出量尽可能的复现给定输入量，动态过程的能的复现给定输入量，动态过程的快速性、平稳性快速性、平稳性要好一些。要好一些。54中每一分量中每一分量 衰减得快衰减得快，即，即 应应远离虚轴远离虚轴 njtpjojeAAtx10tpjejp1. 为保证系统为保证系统稳定稳定，闭环极点必须在，闭环极点必须在左半左半S平面平面。2. 为保证为保证快速性快速性好，应使阶跃响应好，应使阶跃响应若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，虚部决定阻尼振荡频率虚部决定阻尼振荡频率55 tttxj

37、jsdtodnnnen1sin11 1 22 S0n dj n 12341234123141比较比较系统系统振荡频率振荡频率高低高低阻尼比阻尼比大小大小衰减速度衰减速度快慢快慢相等相等相等相等低低高高低低高高相等相等相等相等大大小小小小大大相等相等相等相等慢慢快快慢慢快快比较比较内容内容1、2、3、4为为4对二阶系统的极点对二阶系统的极点563、平稳性平稳性好，复极点设在与负实轴成好，复极点设在与负实轴成 线上，线上，最佳阻尼比最佳阻尼比 。45 707. 0 4 4、远离虚轴远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小。的闭环极点对瞬态响应影响很小。若某一极点比其它极点远离虚轴若某一极点比其它极点远

38、离虚轴4-64-6倍倍时，则时，则它对瞬态响应的影响可忽略。它对瞬态响应的影响可忽略。5 5、要求动态过程尽快消失，则闭环极点间的间、要求动态过程尽快消失，则闭环极点间的间距要大，使零点靠近极点距要大，使零点靠近极点( (构成偶极子构成偶极子) )。574.4.2利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 1. 1.稳定性稳定性 2.2.动态特性动态特性单位阶跃响应是否存在超调量单位阶跃响应是否存在超调量 3.3.准确性准确性稳态误差的估计稳态误差的估计 4.4.系统固有频率系统固有频率临界稳定的振荡频率临界稳定的振荡频率58S-2 -1 0433. 0 a 414. 12 6 K414.

39、13 6 K38. 0* K例例 某单位反馈系统的开环传递函数某单位反馈系统的开环传递函数( )()() 2+1+=*，sssKsG利用根轨迹分析系统的性能。利用根轨迹分析系统的性能。1.稳定性稳定性0K*6时系统稳定时系统稳定K*=6， K*=0时系统临界稳定时系统临界稳定6 38. 00*K，1= 38. 0=*K，10 60.38*K，3.稳态特性稳态特性稳态误差稳态误差型型系统系统0= =ssppeKKeKKssvv1= = = 0=ssaaeK4.系统的固有频率系统的固有频率 1.41459稳稳定定性性. 1 432. 0 sK4 .198S-3 -2 -1 01p2pz16. 3 动态性能动态性能. 2稳态误差稳态误差. 3对系统性能的影响。对系统性能的影响。后，分析后，分析加入速度负反馈加入速度负反馈动系统如图。动系统如图。参量根轨迹的绘制。随参量根轨迹的绘制。