利用空间向量求角和距离

1、.第二课时利用空间向量求角和间隔 【根底稳固】1.直线l1的方向向量s1=1,0,1与直线l2的方向向量s2=-1,2,-2,那么l1与l2夹角的余弦值为CA24B12C22D32解析:因为s1=1,0,1,s2=-1,2,-2,所以cos<s1,s2>=s1·s2|s1|s2|=-1-22×3=-22.又两直线夹角的取值范围为0,2,所以l1 和l2夹角的余弦值为22.2.点A1,2,1,B-1,3,4,D1,1,1,假设AP=2PB,那么空间P,D两点间的间隔 为DA573B83C743D773解析:设Px,y,z,因为AP=2PB,所以x-1,y-2,z-

2、1=2-1-x,3-y,4-z,所以x-1=-2-2x,y-2=6-2y,z-1=8-2z,所以x=-13,y=83,z=3.所以P-13,83,3,PD=43,-53,-2所以|PD|=773.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,那么sin<DB1,CM>的值等于BA12B21015C23D115解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,那么D0,0,0,B11,1,1,C0,1,0,M1,12,0,所以DB1=1,1,1,CM=1,-12,0.所以cos<DB1,CM>=DB1·CM|DB1|CM|=1-123

3、15;1+14=115.所以sin<DB1,CM>=1415=21015.应选B.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,那么AC与BD1所成角的余弦值为AA0B37070C-37070D7070解析:建立如图坐标系,那么D10,0,3,B2,2,0,A2,0,0,C0,2,0,所以BD1=-2,-2,3,AC=-2,2,0.所以cos <BD1,AC>=BD1·AC|BD1|AC|=0.所以AC与BD1所成角的余弦值为0.5.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,那么CD与平面BDC1所成角的正弦值等于AA2

4、3B33C23D13解析:建立如下图的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,那么B1,1,0, C0,1,0,D0,0,0,C10,1,2,故DB=1,1,0,DC1=0,1,2,DC=0,1,0.设平面BDC1的法向量为n=x,y,z,那么n·DB=0,n·DC1=0,即x+y=0,y+2z=0,令z=1,那么y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=2,-2,1.设直线CD与平面BDC1所成的角为,那么sin =|cos<n,DC>|=|n·DC|n|·|DC|=23,应选A.6.点Ma,0,a,平面过原点O,且垂直于向量n=-

5、a2,a2,a,那么点M到平面的间隔 d为. 解析:OM=a,0,a,那么M到平面的间隔 d=OM·n|n|=66a.答案:66a7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,那么BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为. 解析:建立空间直角坐标系,如图,那么B1,1,0,O12,12,1,DA1=1,0,1是平面ABC1D1的一个法向量.又OB=12,12,-1,所以BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为|OB·DA1|OB|·|DA1|=1262×2=36.答案:368. 2019·福

6、州高二期中如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为4,E为面A1D1DA的中心,CF=3FC1,AH=3HD.1求异面直线EB1与HF之间的间隔 ;2求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解:以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立直角坐标系D1xyz,那么E2,0,2,B14,4,0,H1,0,4,F0,4,1.1EB1=2,4,-2,HF=-1,4,-3,EH=-1,0,2,设平面EB1FH的法向量为n=x,y,z,那么n·EB1=0,n·HF=0,即2x+4y-2z=0,-x+4y-3z=0,取x=1,那么z=-3,y=-

7、2,那么n=1,-2,-3,异面直线EB1与HF之间的间隔 为|n·EH|n|=|-1+0-6|14=142.2EB1=2,4,-2,EA1=2,0,-2,EH=-1,0,2,设平面HB1E的法向量为m1=x,y,z,那么m1·EH=0,m1·EB1=0,即-x'+2z'=0,2x'+4y'-2z'=0,取x=2,那么y=-12,z=1.所以m1=2,-12,1.设平面A1B1E的法向量为m2=x,y,z,那么m2·EB1=0,m2·EA1=0,即2x+4y-2z=0,2x-2z=0.取x=1,y=0,z

8、=1,那么m2=1,0,1,所以cos <m1,m2>=m1·m2|m1|m2|=427.因为二面角H-B1E-A1为钝二面角,所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-427.【才能提升】9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,那么平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为BA12B23C33D22解析:如下图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,那么D0,0,0,A11,0,1,E1,1,12,所以DA1=1,0,1,DE=1,1,12.设平面A1ED的法向量为n=x,y,z,那么n·DA1=0,n·DE=0,即x

9、+z=0x+y+12z=0,令x=1,得y=-12,z=-1,所以n=1,-12,-1.又平面ABCD的一个法向量为DD1=0,0,1,所以cos<n,DD1>=-132×1=-23.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.应选B.10.矩形ABCD与ABEF全等,D-AB-F为直二面角,M为AB的中点,FM与BD所成角为,且cos=39,那么AB与BC的边长之比为CA11B21C22D12解析:设AB=a,BC=b,建立如下图的空间直角坐标系Axyz,那么相关各点坐标为Fb,0,0,M0,a2,0,B0,a,0,D0,0,b,FM=-b,a2,0,B

10、D=0,-a,b,所以|FM|=b2+a24,|BD|=a2+b2,FM·BD=-a22,|cos<FM,BD>|=|-a22|b2+a24·a2+b2=39,整理得4×b4a4+5×b2a2-26=0,所以ABBC=ab=22.应选C.11.2019·烟台高二检测棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,那么点D到平面EFD1B1的间隔 为. 解析:以点D为原点,建立如下图的空间直角坐标系,那么D0,0,0,F0,12,0,E12,1,0,D10,0,1.所以EF=-12,-12,0,E

11、D1=-12,-1,1.设n=x,y,z为平面EFD1B1的法向量,那么-12x-12y=0,-12x-y+z=0,易求平面EFD1B1一个的法向量为n=-1,1,12,又DF=0,12,0,所以d=|DF·n|n|=13.答案:1312.在直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,D是棱AC的中点,且AA=22.1试在棱CC上确定一点M,使AM平面ABD;2当点M为棱CC中点时,求直线AB与平面ABM所成角的正弦值.解:1因为直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,D是棱AC的中点,所以BDAC,所以BD平面ACCA,所以BDAM,所以在棱CC上确

12、定一点M,使AM平面ABD,只要过A作AMAD交CC于点M即可.2如图以A为原点,以AC,AA'为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,因为直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,D是棱AC的中点,且AA=22.所以A0,0,0,B3,1,22,A0,0,22,B3,1,0,M0,2,2,所以AB'=3,1,22,A'M=0,2,-2,A'B=3,1,-22 ,设平面ABM的一个法向量为n=x,y,z,那么n·A'M=0,n·A'B=0,即2y-2z=0,3x+y-22z=0,令y=1,那么n=3,1,2,设

13、直线AB与平面ABM所成的角为.sin =|cos<n,AB'>|=|n·AB'|n|AB'|=812×6=223.所以当点M为棱CC中点时,直线AB与平面ABM所成角的正弦值为223.【探究创新】13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90°,E是CD的中点.1证明:CD平面PAE;2假设直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.解:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PA=h,那么相关的各点坐标为A0,0,0,B4,0,0,C4,3,0,D0,5,0,E2,4,0,P0,0,h.1易知CD=-4,2,0,AE=2,4,0,AP=0,0,h.因为CD·AE=-8+8+0=0,CD·AP=0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.2由题设和1知,CD,AP分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos􀎮CD,PB􀎯|=|cos􀎮PA,PB􀎯