21参数方程的概念

1、 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.1 参数方程参数方程的概念的概念一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程1、参数方程的概念、参数方程的概念探究：如图探究：如图, 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以的高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行, 为使为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计不计空气阻力空气阻力), 飞行员应如何确定投放时机呢？飞行员应如何确定投放时机呢？,100tx ,215002gty xyOAM(x,y)v=100500 ,21500,1002gtytx一、

2、一、方程组有方程组有3个变量个变量,其中的其中的x, y表示点的坐标表示点的坐标,变量变量t叫做参变量叫做参变量, 而且而且x, y分别是分别是t的函数。的函数。二、二、由物理知识可知由物理知识可知,物体的位置由时间物体的位置由时间t唯一决唯一决定定, 从数学角度看从数学角度看, 这就是点这就是点M的坐标的坐标x, y由由t唯一唯一确定确定, 这样当这样当t在允许值范围内连续变化时在允许值范围内连续变化时, x, y的的值也随之连续地变化值也随之连续地变化, 于是就可以连续地描绘出于是就可以连续地描绘出点的轨迹点的轨迹.三、三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组平抛物体运动轨迹上的点与满足方程

3、组的有序实数对的有序实数对(x, y)之间有一一对应关系之间有一一对应关系. 1. 参数方程的意义参数方程的意义: 一般地一般地, 在取定的坐标系中在取定的坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数, 即即 ),(),(tgytfx 并且对于并且对于 t 的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组所确定由方程组所确定的点的点M(x, y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程组就叫那么方程组就叫做这条曲线的参数方程做这条曲线的参数方程, 其中联系其中联系x, y之间关系之间关系的变数的变数 t 叫做参变数叫做参变数, 简称参数

4、简称参数. 它可以是有物理、几何意义的变数它可以是有物理、几何意义的变数, 也可以也可以是没有明显意义的变数是没有明显意义的变数.相对于相对于参数方程参数方程来说来说,前面学过的直接给出曲线前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程上点的坐标关系的方程, 叫做曲线的叫做曲线的普通方程普通方程.注：注：1. 参数方程的特点是没有直接体现曲线上参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系点的横、纵坐标与参数之间的关系.2. 参数方程的应用往往是在参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难

5、或不可能体现时或不可能体现时, 通过参数建立间接的联系通过参数建立间接的联系.例例 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 ( t 是参数是参数 ): (1) 判断点判断点 M1 ( 0 , 1 ), M2 ( 5 , 4 )与曲线与曲线C的位置的位置关系关系; (2) 已知点已知点 M3 ( 6 , a )在曲线在曲线C上上, 求求 a 的值的值. 1232tytx解解:(1)把点把点 M1 的坐标的坐标(0, 1 )代入方程组代入方程组, 解得解得 t = 0 , 所以点所以点 M1 在曲线在曲线C上上; 把点把点 M2 的的坐标的的坐标(5, 4)代入方程组代入方程组, 这个方程组无

6、解这个方程组无解, 所以点所以点 M2 不在曲线不在曲线C上上. 124352tt解解:(2) 因为点因为点 M3 (6, a) 在曲线在曲线C上上, 12362tat所以所以解得解得 t = 2 , a = 9 .所以所以, a = 9 . 1232tytx例例1. 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是(1)判断点判断点M1(0, 1), M2(5, 4)是否在是否在C上上;(2)已知点已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上，求上，求a.100:1 ytxM4959355:2 ytxMaytxM 926:3212 ,().xttayat 为参数,R训练训练1:已知曲线已知曲线C的参数方

7、程是的参数方程是点点M(5, 4)在该在该 曲线上曲线上, 求常数求常数a. 解：将点解：将点M的坐标的坐标(5, 4)代入方程组，得到代入方程组，得到解得解得 t=2，a=1 24215att2.曲线曲线 (t为参数为参数)与坐标轴的交点与坐标轴的交点为为( )25 ,1 2xtyt 2111.(0, ),( ,0).(0, ),( ,0)5252AB5.(0, 4),(8,0).(0, ),(8,0)9CD1512B解析解析:消去参数消去参数t,可得可得2x+5y-1=0,令令x=0,则则y= ; 令令y=0, 则则x= .1( ,0)21(0, ).5即与即与x轴交点为轴交点为 和和y轴

8、交点为轴交点为3. 由方程由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t为参数为参数)所表示所表示的一组圆的圆心轨迹是的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点一个定点 B.一个椭圆一个椭圆 C.一条抛物线一条抛物线 D.一条直线一条直线解析解析:上述方程可变形为上述方程可变形为(x-2t)2+(y-t)2=4,这组圆的圆心坐标为这组圆的圆心坐标为(2t, t).令令圆心的轨迹是一条直线圆心的轨迹是一条直线.2 ,xtytDx-2y=0.5. 已知曲线已知曲线C的参数方程为的参数方程为 已知已知 在曲线在曲线C上上,则相应的则相应的 值为值为( )(,)2,2,xcosysin02为参数(

9、1,3)A2511.3336ABCD12,:32,cossin解C5.3 21cos23sin 二二、参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化1. 普通方程化为参数方程需要引入参数普通方程化为参数方程需要引入参数如：直线如：直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0, 令令x=t可以化为参数方程可以化为参数方程. 22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1中中, 令令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx（ 为参数）为参数）(2)参数方程通过参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方

10、程如如:参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数消去参数 可得可得圆的普通方程圆的普通方程 (x-a)2+(y-b)2=r2.可得普通方程：可得普通方程：y=2x-4. 42,tytx参数方程参数方程（t为参数）为参数）通过代入消元法消去参数通过代入消元法消去参数t ,(x0)注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中, 必须使必须使x，y的取值范围保持一致的取值范围保持一致. 否则否则, 互化就是不等价的互化就是不等价的. 例例1. 把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程, 并说明它并说明它们各表示什么曲线？们各表示什么曲线？1()12ty

11、tx=t(1)为参数sincos().1sin2y x=(2)为参数(1)11231)11xtyx 解解： 因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（ ， ）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端端点点）sincos().1sin2y x=(2)为参数2(2)sincos2sin()42,2,2,2 .因为：所以所以普通方程是xxxy x 例例2. 参数方程参数方程)20()sin1 (21|,2sin2cos| yx表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点）双曲线的一支，这支过点(1，);21（B）抛物线的一部分，这部分过）抛物线的一部分，这部分过 （C）双曲线的一

12、支，这支过点）双曲线的一支，这支过点 （D）抛物线的一部分，这部分过）抛物线的一部分，这部分过 );21, 1 ();21, 1( ).21, 1( 分析分析 一般思路是：化参数方程为普通方程一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断求出范围、判断.解解:22)2sin2(cos x=1+sin =2y，普通方程是普通方程是x2=2y, 为抛物线为抛物线. , )42sin(2|2sin2cos| x又又0 2 ，, 20 x故应选（故应选（B）说明说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论这里切不可轻易去绝对值讨论, 平方法是平方法是最好的方法。最好的方法。例例4. (1)设x=3cos ， 为

13、参数；2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数解解:2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。)1 ( 9222txty 解解: 由由223 13 1222xtxtytyt（ ）参参数数方方程程是是或或思考：思考：为什么（为什么（2）中的两个参数方程合起来）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？才是椭圆的参数方程？练习练习:1. 曲线曲线y=x2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. 2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、分析分析: : 在在y=x2中中, xR, 在在A、B、C中中, x, y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，因而与因而与 y=x2 不等价；不等价；注意：注意：