专题训练(五)　 特殊三角形性质的四种应用

1、.专题训练五 特殊三角形性质的四种应用应用一等腰三角形“等边对等角性质的应用1如图5ZT1，在ABC中，ABADDC，B70°，那么C的度数为A35° B40°C45°D50°图5ZT12如图5ZT2，在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，B30°，DAB45°.1求DAC的度数；2求证：DCAB.图5ZT23如图5ZT3，在ABC中，ABAC，A36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.1求ECD的度数；2假设CE5，求BC的长图5ZT3应用二等腰三角形“三线合一性质的应用4如图5ZT4，在AB

2、C中，ABAC，D为BC的中点，BAD20°，那么C_°.图5ZT45如图5ZT5，在ABC中，ABAC5，BC6，假设点P在边AC上挪动，那么BP 的最小值是_. 图5ZT56如图5ZT6，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，点E在AD上1求证：BECE；2如图，假设BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC45°.原题设其他条件不变求证：AEFBCF.图5ZT6应用三“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的应用7假如一个直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为A10° B20°C30° D60&#

3、176;8如图5ZT7所示，在等边三角形ABC中，CE，BF均为ABC的中线，CE和BF交于点N，M为BN的中点判断EMN的形状并说明理由图5ZT7应用四勾股定理的应用9如图5ZT8，在RtABC中，C90°，AC9，BC12，那么点C到AB的间隔 是A. B. C. D.图5ZT810如图5ZT9，在长方形纸片ABCD中，AB12，BC5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，那么AE的长为_图5ZT911如图5ZT10，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到DCE，连接BD，交AC于点F.1猜测AC与BD的位置

4、关系，并证明你的结论；2求线段BD的长图5ZT1012如图5ZT11，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的间隔 分别为AA12 km，BB14 km，且A1B18 km.现要在高速公路上A1，B1两点之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的间隔 之和最短，那么这个最短间隔 和是多少千米？图5ZT11详解详析1A解析 在ABD中，ABAD，B70°，ADBB70°，ADC180°ADB110°.ADDC，C180°ADC÷2180°110°÷235°.2解：1ABAC，BC

5、30°.CBACB180°，BAC180°30°30°120°.DAB45°，DACBACDAB120°45°75°.2证明：DAB45°，B30°，ADCBDAB75°，DACADC，DCAC.ABAC，DCAB.3解：1解法一：DE垂直平分线段AC，CEAE，ECDA36°.解法二：DE垂直平分线段AC，ADCD，ADECDE90°.又DEDE，ADECDE，ECDA36°.2ABAC，A36°，BACB72°.

6、 BECAECD72°， BECB，BCCE5.4705.解析 根据垂线段最短，知当BPAC时，BP 有最小值如图，过点A作ADBC于点D.因为ABAC5，BC6，根据“三线合一的性质，得BD3，由勾股定理得AD4，根据AD·BCBP·AC，得4×65BP， BP.6证明：1ABAC，D是BC的中点，BAECAE.在ABE和ACE中，ABEACESAS，BECE.2BAC45°，BFAF，ABF为等腰直角三角形，AFBF.ABAC，D是BC的中点，ADBC，EAFC90°.BFAC，CBFC90°，EAFCBF.在AEF和B

7、CF中，AEFBCFASA7C 解析 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而斜边上的中线等于最短的直角边长，故此直角三角形的斜边长是短直角边长的2倍，那么它的最小内角是30°.8解：EMN为等边三角形理由：因为ABC为等边三角形，CE，BF均为ABC的中线，所以NBCABC30°，NCBACB30°，CEAB，所以CEB90°，ENBNBCNCB60°.因为M是BN的中点，所以EMBNMN，即EMMN，所以EMN为等边三角形9A解析 过点C作CDAB，垂足为D.由勾股定理得AB15，根据三角形面积公式有等积式AC·BCAB·CD，于是可求得CD.10.11解：1ACBD.证明：DCE是由ABC平移而成的，DCE是等边三角形，BCDC，DCECDE60°，DBCCDB.又DCEDBCBDC，CDB30°，BDECDBCDE90°.又易知EACB60°，ACDE，ACBD.2由1知BED是直角三角形，BE6，DE3，BD3 .12解：作点B关于MN的对称点B，连接AB，交A1B1于点P，连接BP，那么APBPAPPBAB.易知，点P即为到A，B两点间隔 之和最短的点过点A作AE