第五章刚体的转动2014

1、5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动5-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量5-3 转动动能转动动能 力矩的功力矩的功5-4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质； 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义； 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理； 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。教学要求教学要求 5-1 5-1 刚体的平动、转动和

2、定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体一、刚体 （理想模型）（理想模型） 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时刚刚体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、速度、加速度都相同，所以可当作质点来处理。速度、加速度都相同，所以可当作质点来处理。 二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态） 1 1、平动平动 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体

3、在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。说明：说明： 1. 理想模型理想模型 ； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点，在运动中都绕同称定轴转动。作定轴

4、转动的刚体上的各点，在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时间内转过相同的角度。间内转过相同的角度。2 2、转动、转动 刚体的一般运动刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。可视为平动和转动的合成运动。 如车轮如车轮的运动。的运动。 下面观看汽车车轮的运动。下面观看汽车车轮的运动。再如：再如：描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量角位置、角位移角位置、角位移yx0P(t)P(t+dt)d运动方程：运动方程：角位置角位置 ：位矢与：位矢与 ox 轴夹角。轴夹角。角位移角位移 d ：dt 时间内角位置增量。时

5、间内角位置增量。)(t 1 1、刚体上各质点的角位移，角速、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均相同； 2 2、各质点都在垂直转轴的平面内、各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在转运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。轴上。三、定轴转动三、定轴转动 刚体的定轴转动特点：刚体的定轴转动特点：3. 线量线量 与角量的关系与角量的关系2rararvrsnt yx0vrrv 方向垂直方向垂直 和和 组成的平面组成的平面v r2. 角速度、角速度、 角加速度角加速度t dd 22ddddtt定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。规定：规定： 位矢从位矢从o

6、 x 轴逆时针方向转动时角位置轴逆时针方向转动时角位置 为正，为正，反之，为负。反之，为负。若若 是定值，刚体的运动称为：是定值，刚体的运动称为：若若 是定值，刚体的运动称作：是定值，刚体的运动称作：匀角速转动匀变速转动（或匀加速转动)刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似： axxv,00 为恒矢为恒矢 为恒值为恒值 a221202200 ttaxvvatvxatvv221202200 Example 1 1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为为 ，k k为比例系数，设初始角速度为为比例系数

7、，设初始角速度为 。求：。求：飞轮角速度与时间的关系；飞轮角速度与时间的关系；当角速度由当角速度由 时，在此时间内飞轮转过的圈数。时，在此时间内飞轮转过的圈数。k0200Solution：kdtdtdtkd00kt 0lnkte0 tdtkd02kkt2ln21ln1dtedtddtdkt0kktekk2002ln0|k420在此时间内车轮转过的圈数在此时间内车轮转过的圈数= =kktdted2ln000成的平面内。组与且在向的右手螺旋方至FrFr,一、力矩一、力矩 1 1、定义：、定义： 转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。力矩的表示式：力矩的表示式：

8、 大小：大小： FrM2 2、注意：、注意：合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩= =力矩的和力矩的和 ( (矢量和）矢量和） （对定轴转动而言为代数和）（对定轴转动而言为代数和） 合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零方向：方向：MFrd力矩是矢量力矩是矢量sinrFF1F2 转轴转轴（F1=F2）5-2 5-2 力矩、转动定律、转动惯量力矩、转动定律、转动惯量 合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零F0M力不在垂直于转轴的平面内，力不在垂直于转轴的平面内，1.1.与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零；为零；2.

9、2.与转轴平行的力对转轴的力矩为零；与转轴平行的力对转轴的力矩为零；问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？零零由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。F1F21r2r力矩力矩合力合力2211rFrF 21FF 中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的 力矩力矩00，如推门。，如推门。F2F1Fr 转轴转轴 sinrFM 定点力矩：定点力矩：FrM 垂直垂直 和和 构成的平面。构成的平面。MFr定轴力矩：定轴力矩：dFM2 合力矩：合力矩： 21MMM 2211dFdFMzM 只有两个方向，可用正、负表

10、示。只有两个方向，可用正、负表示。而且有：而且有：与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 odP F2F1F归结起来：归结起来：F0M二、转动定律二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。矩作用下，

11、转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用若用J J 表示转动惯性（表示转动惯性（J J 称为转动惯量）则有：称为转动惯量）则有：kJMJM 写成等式1在国际单位制中，在国际单位制中，k = 1 则上式为则上式为转动定律JM 它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要，物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。其在转动中的地位就相当

12、于平动中的牛顿第二定律。 把刚体看作质元把刚体看作质元 的集合，对的集合，对 用牛顿第二定律用牛顿第二定律的切向式与法向式。的切向式与法向式。 设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和 外力作用外力作用 imim 转动定律可由牛顿第二定律推求：转动定律可由牛顿第二定律推求： 推导的基本思想：推导的基本思想：矢量式：矢量式：法向式：法向式：切向式：切向式：iiiiamfF内外iniininamfFitiititamfFirim对整个刚体：对整个刚体：iiititrmfF 以以 遍乘切向式：遍乘切向式：ir2iiiitiitrmrfrF iritFM外刚体所受的合外力矩

13、刚体所受的合外力矩 0iritF内力矩和（内力不改变动量）（内力不改变动量）2iirmM 外定义定义： 为刚体所受的合外力矩其中MJM 转动定律转动定律说明说明：（：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩；）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。）转动惯量是刚体转动惯性的度量。为转动惯量2iirmJ.,.,大小成正比的方向一致与大小成正比的方向一致与MdtdFadtvda 牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：质点物理量：质点 m m 刚体刚体 J JFavM M规

14、规 律：质点律：质点 牛顿第二定律牛顿第二定律 刚体刚体 转动定律转动定律 aMFJM不一定不一定ExampleExample：问：问：M M大，是否大，是否 大？大？ 式中各量是对于同一轴而言，且式中各量是对于同一轴而言，且 与与M M的符号（转向）的符号（转向） 相同。相同。 该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。 该定律是力矩的瞬时作用规律。该定律是力矩的瞬时作用规律。不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？对转动定律对转动定律 M M = J= J 应注意：应注意：（M M大，大， 大，大， 的变化大。的变化大。 可为可为0

15、 0）（ 大，并不代表它的变化大，有可能它的大，并不代表它的变化大，有可能它的M=0M=0，匀角速转动。），匀角速转动。）对分离的质点组：对分离的质点组：对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：2 2、转动惯量的物理意义：、转动惯量的物理意义：J J是描述刚体转动惯性大小的量度。是描述刚体转动惯性大小的量度。( (对比平动对比平动m m是物体平动惯性大小的量度）是物体平动惯性大小的量度）2iirmJdmririmJ22dmrJ2233222211rmrmrmJ对应与mFJMa 三、转动惯量三、转动惯量m1r1m2r2m3r3转轴转轴1、转动惯量的定义：、转动

16、惯量的定义： 对质点对质点：J = m r 2 其中其中 r 为到转轴的距离。为到转轴的距离。 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 与质量的分布有关与质量的分布有关 与转轴的位置有关与转轴的位置有关4 4、转动惯量、转动惯量J J的计算方法的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、：（可将质量元变为线元、面元、体元积分求得）体元积分求得） 3 3、J J与下列因素有关：与下列因素有关：Example 1、有一均匀细杆，杆长为、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为，质量为m，c为杆的为杆的中点。设转轴中点。设转轴oo通过通过c点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量惯量

17、Jc=？Solution ：取：取x轴方向如图，杆的线密轴方向如图，杆的线密度为度为 = m/l ，取小质元，取小质元dm= dx，则，则22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 0 x00 xdxC0 x0 xdxA0若将转轴移到若将转轴移到A点，求点，求 JA=？仍有小质元仍有小质元dm= dx，（，（ =m/l）202231mldxxdmxJlA 平行轴定理：平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量刚体对某轴的转动惯量J J，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 J Jc c ，加上刚体质量，加上刚体质量 m m 乘以两平行轴之间乘以两平

18、行轴之间的距离的距离d d的平方。即：的平方。即：2mdJJcB dCB可见转轴不同，转动惯量是不同的。可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从那么将转轴从C点平行移到点平行移到A点转动惯量改变了多少？点转动惯量改变了多少？C22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA 移项得：移项得： JA= JC + md2 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理2mrJ rr221mrJ r221mrJ )(22221rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ 1r2rSolution ：取：取OXOX轴如图所

19、示，轴如图所示，则棍上任一段元则棍上任一段元dxdx的的质量质量 至转轴的距离至转轴的距离 dxdmlmsinxr dxdxX Xd dO Or rX X OExample 2 2、质量为质量为m m、长度为长度为l的均质细直棍的均质细直棍，对通过其中，对通过其中心心O O且与棍斜交成角的轴的转动惯量。且与棍斜交成角的轴的转动惯量。过棒一端过棒一端 O O、仍与棍斜交成角、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量的轴的转动惯量J J。转动惯量：转动惯量：2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 讨论：讨论： 当当 时，时， 即为棍对于过它的中心即为棍对于过它的中心 且与棍垂直的转轴的

20、转动惯量。且与棍垂直的转轴的转动惯量。 2 2121mlJ 2mdJJoo2222121)sin(sinlmml 2231sinml 为棍对过棍一端、且与棍为棍对过棍一端、且与棍 垂直的轴的转动惯量。垂直的轴的转动惯量。 231,2mlJ 时当由平行轴定理：由平行轴定理：Example 3、求质量为、求质量为m，半径为，半径为R的细圆环对过环心垂直于的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。环面的转轴的转动惯量。Solution ：圆环的线密度为：圆环的线密度为 =m/2 R 环上取小质元环上取小质元 dm= dl = R d 则则 23203222mRRmRdRdmRJ dld Examp

21、le 4、求质量为、求质量为m，半径为，半径为R的薄圆盘对过圆心垂直的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。于盘面的转轴的转动惯量。 rdrSolution ：圆盘的面密度为：圆盘的面密度为 =m/ R2取一半径为取一半径为 r，宽为，宽为dr 的圆环为质元的圆环为质元 dm = 2 r dr2403221212mRRdrrdmrJR 即圆盘对其中心轴的转动惯量为即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑所以定滑轮绕中心轴的转动惯量为轮绕中心轴的转动惯量为J =mR2/2 ，滑轮绕其过边缘一点滑轮绕其过边缘一点的平行轴的转动惯量为的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 +

22、 mR2 。（。（平行轴定理平行轴定理） 转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体的转动惯量只能用实验的方法得出。的转动惯量只能用实验的方法得出。Example 5、如图所示，求大圆盘的实心部分对、如图所示，求大圆盘的实心部分对O轴（垂直轴（垂直于盘面）的转动惯量。于盘面）的转动惯量。 （已知（已知 R = 2 r ，大盘质量为，大盘质量为M，小，小盘质量为盘质量为m）Solution ：由于转动惯量有可加性，：由于转动惯量有可加性，所以先分别求出大盘和小盘对所以先分别求出大盘和小盘对O轴的轴的转动惯量，再把小盘的除去即得大盘转动惯量，再

23、把小盘的除去即得大盘实心部分对实心部分对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。大盘对大盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：J1 = MR2/2 小盘对小盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2所以实心部分对所以实心部分对O轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：0RrMm22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ Example 6 6、一质量为、一质量为M M、半径为、半径为R R的定滑轮上面绕有细绳，绳的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩

24、檫，绳不可伸长不计质量），另一端挂有一质量为质量），另一端挂有一质量为m m 的物体而下垂。求物体的物体而下垂。求物体m m由静由静止下落止下落h h高度时的速度和此时轮的角速度。高度时的速度和此时轮的角速度。Solution ： 对象：对象：M M刚体刚体 m m 质点质点 受力分析：如图所示受力分析：如图所示依牛顿第二定律与转动定律列方程依牛顿第二定律与转动定律列方程h hT1T1mgmmM对物体有：对物体有： mg - T = m a 对滑轮有：对滑轮有： TR = J = M R2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系： a = R 运动学关系：运动学关系： v2 = v02 +

25、2ah = 2ah 解方程得：解方程得：12224mmghmv122241mmghmRRv 在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物体以体以v0的速度匀速上升，撤去力矩后，问过的速度匀速上升，撤去力矩后，问过多少时间后滑轮开始反向运动？多少时间后滑轮开始反向运动？ 解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和前面完全一样和前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二。因此对物体应用牛顿第二定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。h hT1T1mgmmMv0 对物体有：对物体有： mg - T = m

26、 a 对滑轮有：对滑轮有： TR = J = M R2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系： a = R 运动学关系：运动学关系： v = v0 + at = 0 由第由第1、2、3个方程可解得：个方程可解得：由第由第4个方程可解得：个方程可解得：)2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 h hT1T1mgmmMv0 看书看书123页例题页例题 5 - 4（讲解）（讲解） 例题例题5 5-4 -4 半径分别为半径分别为R1、R2的阶梯形滑轮转动的阶梯形滑轮转动惯量为惯量为 J ，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量为，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量为m1、m2的物体，忽略滑轮与轴间

27、摩擦，求滑轮的角的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的角加速度加速度 及各绳中张力及各绳中张力FT1、FT2。m1m2m2m1T1FT1F T2FT2F NFgm1gm21a2a 解解 分析各物体的分析各物体的受力情况，对轻绳应有受力情况，对轻绳应有T2T2T1T1 ,FFFF 假设滑轮沿顺时针假设滑轮沿顺时针方向转动方向转动 选取物体运动方向为坐标轴正向，根据牛顿第选取物体运动方向为坐标轴正向，根据牛顿第二定律和转动定律可得二定律和转动定律可得 JRFRFamgmFamFgm 2T21T1222T211T11滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度 2211,R

28、a Ra 解以上各式得解以上各式得gRmRmJRmRm2222112211 gmRmRmJRRmRmJRgmFgmRmRmJRRmRmJRgmF2222211211211222T1222211212222111T 右图中，滑轮两边张力不相同右图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）两物体的加速度相同。（绳不可伸长）Mm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g g m m2 2g gMm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g gm m2 2g gMT TT T amTgm1

29、11amgmT222JrTT)(21ra amTgm111amgmT222JrTT )(1ra 221MrJ JrTT)(2 Solution ： （1 1）选细杆、刚体为研究对象）选细杆、刚体为研究对象受力与受力矩分析如图受力与受力矩分析如图由转动定律有方程：由转动定律有方程：)31(22mlCoslmgCoslg23（2 2）由于力矩）由于力矩M= mgM= mg（l/2l/2）coscos 属变力矩，故由属变力矩，故由 求角速度求角速度 时用积分法。时用积分法。 得得l lr r mg2O OExample 7 7、质量、质量m m、长为、长为l的均质细杆，可绕过固定端的均质细杆，可绕过

30、固定端O O的水的水平轴转动，将杆从水平位置由静止释放，如图。试求：平轴转动，将杆从水平位置由静止释放，如图。试求：转到任一角转到任一角 时，杆的角加速度时，杆的角加速度 等于多少？等于多少？此时的角此时的角速度速度 等于多少？等于多少？ 当当 = = /2/2 （杆转到竖直位置）时，（杆转到竖直位置）时，lgSin3讨论：讨论： 越小，越小， 值越小；值越小； 越大，越大， 值越大。值越大。0,3 lgmdCoslgdd00023作业：作业：5-4、5-5、5-7、5-10。dddtddddtdsin23212lgCoslg23例例6 6。如图示，一长为。如图示，一长为L L、质量可以忽略的

31、刚性直杆，两端分别固、质量可以忽略的刚性直杆，两端分别固定质量分别为定质量分别为2 2m m和和m m的小球，杆可绕通过其中心的小球，杆可绕通过其中心O O且与杆垂直的水且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平成某一角度平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平成某一角度，处于静止状态，释放后，处于静止状态，释放后， 杆绕杆绕O O轴转动，则当杆转到轴转动，则当杆转到水平位置水平位置时，时，求（求（1 1）该系统所受到的合外力矩）该系统所受到的合外力矩M M的大小；（的大小；（2 2）该系统对光滑）该系统对光滑固定转轴的转动惯量；（固定转轴的转动惯量；（3 3）此时该系统角加速

32、度）此时该系统角加速度的大小。的大小。解：已知：略。解：已知：略。研究对象：两小球研究对象：两小球+ +杆系统（刚体），受力分析杆系统（刚体），受力分析mm2oogmgm21r2r（1 1）mgLLmgLmgMMgmrgmrM21|222|221逆时针为正逆时针为正计计2 2（2 2）dmrrmJiii2222243)2(2)2(mLLmLmJ（3 3）JM LgmLmgLJM3243212任意位置时：转动惯量不变任意位置时：转动惯量不变gmgm21r2r243mLJ 力矩：力矩：gmrgmrM221)2sin(221)2sin(21mgLmgLMcoscos21mgLmgLcos21mgL（

33、负号表顺时针）（负号表顺时针）JM cos23lg例题例题8 8、（、（125125页页5-155-15，习题集计，习题集计 4 4）质量为）质量为 的鼓形轮，可绕的鼓形轮，可绕水平轴转动。一绳缠绕于轮上，另一端通过质量为水平轴转动。一绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 的圆盘形的圆盘形滑轮悬有滑轮悬有 的物体，当重物由静止开始下降了的物体，当重物由静止开始下降了 时，求：时，求：（1 1）物体的速度；（）物体的速度；（2 2）绳中张力。（绳与滑轮无相对滑动）绳中张力。（绳与滑轮无相对滑动）已知：略。已知：略。解：研究对象：鼓轮、滑轮、重物。解：研究对象：鼓轮、滑轮、重物。受力分析：受力分析：kg

34、24kg5kg10m5 . 0RrRRFTFgm31m2m3mrTFRF1211121RmJRFR(1)(1)计计4 4amFgmT33(2)(2)2222221)(rmJrFFRTRa1ra2(5)(5)(4)(4)(3)(3)1211121RmJRFR(1)(1)smasvasvvvttt/2222202联立求解得：联立求解得：2/4sma )(58 NFT)(48 NFR所以刚体的转动动能所以刚体的转动动能221 JEk 一、转动动能一、转动动能 刚体转动时，各质点都绕定轴作圆运动，都刚体转动时，各质点都绕定轴作圆运动，都具有动能。刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之具有动能。刚体

35、的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。和。 质点的动能为质点的动能为（1/21/2） m mi iv vi i2 2= =（1/21/2） m mi ir ri i2 2 2 2 则刚体总动能为则刚体总动能为 2222121 iiiikrmvmE与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。Ek=mr2 2 2=ML=ML2 2T T-2-2二、力矩的功二、力矩的功5-3 5-3 转动动能、力矩的功转动动能、力矩的功这就是刚体绕定轴转动的动能定理这就是刚体绕定轴转动的动能定理转动动能定理转动动能定理 M M：X Xd Frds 0 刚体转过刚体转过

36、d 角，角，合外力合外力F作的元功为作的元功为 ：cosFdssdFdwsincos rddsdFrdwsinMddwFrMsin力矩的大小又当刚体在当刚体在F力作用下，从力作用下，从 1转到转到 2时所作的功为：时所作的功为：21222121212121JJdJddtdJMddww2122212121JJMdw即21222121JJW力矩转力矩kEW 转动动能定理转动动能定理： 合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。使用中应注意使用中应注意： E Ek k转转 是相对量；是相对量； 转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为

37、标量式。 应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。凡是涉及杆的转动问题，要应用转动动能定理凡是涉及杆的转动问题，要应用转动动能定理下面用转动动能定理求解下面用转动动能定理求解Example 7 72122212121JJMdwSolution ：对象：杆：对象：杆由转动动能定理有：由转动动能定理有：021cos220Jdlmg22)31(212mlmgSinllgSin3cos23lgdtd可见：求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律可见：求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律 简单。求角加速度又是用转动定律为简单。简单。求角加速度又是用转动定律为简单。l

38、lr r mg2O O 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守力作功时，机械能守恒，即只有保守力作功时，机械能守恒，即 21EE,恒量转pkEE为质心处的势能cpmghE用机械能守恒定律求解用机械能守恒定律求解Example 7 7中的中的Solution ：在杆转动的过程中，由于只有重：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守恒。取杆的水平位置为力作功，故机械能守恒。取杆的水平位置为势能零点，有势能零点，有: :)2(02SinlmgEkSinlmgml2)31(2122lgSin3lr r mg2O O0pE一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律一、质点的角动量（动量矩）和角动量

39、守恒定律定义为：定义为：PrLLrsin,rmvL大小为为矢量方向：从方向：从 至至 的右旋前进方向（右手螺旋法则）。的右旋前进方向（右手螺旋法则）。rP当质点绕当质点绕O点作圆运动时点作圆运动时1sin90则有则有 L = P r = m v r dtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd)()0(0mPdtrddtPdrdtLd5-4 5-4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律质点角动量原理：质点角动量原理：LLLMdt0质点所受冲量矩质点所受冲量矩=质点角动量的增量质点角动量的增量 当质点所受合外力矩当质点所受合外力矩 M=0 时，质点角动量守恒时，质点角动量守恒 L =

40、恒恒量量 。此即质点角动量守恒定律。此即质点角动量守恒定律 。dtLdM12LLLddtMdtdPFdtpdrFrMdtpdrdtLd又Example 1、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住中心的线拉住 。开始时绳半径为。开始时绳半径为r1 ，小球速率为，小球速率为 v1 ；后；后来，往下拉绳子，使半径变为来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ，小球速率变为，小球速率变为 v2 ，求，求v2 =？Solution ：受力分析如图所示。：受力分析如图所示。Mg = N , T为小球圆运动的向心力，为小球圆运动的向心力，合外力合外力= T ，但过

41、转轴而无力矩。，但过转轴而无力矩。合外力矩为合外力矩为0，小球角动量守恒，小球角动量守恒 。 有：有： L = mvr = 恒量恒量 即即 m v1 r1 =m v2 r2mgNT1212)(vrrv 二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律 JrmrvmrLiiiiii2 刚体对定轴转动的角动量等于刚体刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和：中所有质点对转轴的角动量之和： )(iiiivmRL iiimvRLdz0 miivLiRri刚体对定点的角动量：刚体对定点的角动量：JL 由刚体的转动定律：由刚体的转动定律：dtdLd

42、tdJdtdJJM 的方向与的的方向与的 的方向相同。的方向相同。LdtdLM1212JJLLdLdtM角动量定理：角动量定理：合外力矩的冲量矩合外力矩的冲量矩= =角动量的增量角动量的增量。定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 常量0)(JJL当当0M时，时， 刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变。即刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变。即大小，正负（方向）均不变。大小，正负（方向）均不变。（ 角动量守恒条件角动量守恒条件 ）0M质点与刚体的角动量量纲相同质点与刚体的角动量量纲相同mrmrJL2刚体JmrmrL2质点mimir.推广至人推广至人 人非刚体，

43、只要满足人所受的人非刚体，只要满足人所受的 则人的角动量也守恒。则人的角动量也守恒。使用中的几种情况：使用中的几种情况：.一个刚体（质点）一个刚体（质点） J J不变，不变， 不变，不变，L=L=恒量恒量 。注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用条件分析：条件分析： ，即力矩的和为零。，即力矩的和为零。 0iM.几个刚体（几个质点）几个刚体（几个质点） J J变，变， 变，变， 不变。不变。合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。J0iM 花样滑冰运动员，伸开手：花样滑冰运动员，伸开手：J0 、 0 。收拢手：收拢手

44、：J=J0/3 ， 则则 = J0 0/J=3 0 Example 2 2、一根长为、一根长为 l 、质量为、质量为 m m1 1 的均匀细棒，其一端的均匀细棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一子弹质挂在一个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一子弹质量为量为m m2 2 、以水平速度、以水平速度 v0 射入棒下端距轴高度为射入棒下端距轴高度为 a 处如图。处如图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置 3030。，求子弹的水平速度求子弹的水平速度 v0 的大小？的大小？Solution ： 对象：对象： 棒棒 刚体刚体 子弹子

45、弹 质点质点 过程分析：过程分析： 第一阶段：第一阶段： 与与 碰撞碰撞2m1m第二阶段：第二阶段： + + 转动转动1m2m角动量守恒角动量守恒 )0(0iM恒矢iL只有重力作功，只有重力作功，故机械能守恒。故机械能守恒。30a0pE0m m2 2m m1 1列方程列方程)31(222102amlmam303020)2()()31(2121212221221gaCosmCoslgmgamlgmamlm)3)(2)(32(6122212120amlmamlmgam解得：解得：上面例子说明：上面例子说明： 1. 动量矩（角动量）保持不变是转动惯量与角速度的积不变；动量矩（角动量）保持不变是转动惯

46、量与角速度的积不变；2. 多物体组成的系统角动量的可叠加性；多物体组成的系统角动量的可叠加性；3. 角动量守恒定律是一条普适定律。角动量守恒定律是一条普适定律。 2211 JJJ300pE0m m2 2m m1 1a角动量守恒角动量守恒: : 机械能守恒机械能守恒: :Example 3 3、质量为、质量为M M、长为、长为L L的均匀直棒，可绕垂直于棒的一的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴端的水平轴O O无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现在无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现在有一质量为有一质量为m m的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒垂直相碰撞，的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒垂直相碰撞，碰撞后，棒从平衡位置处摆动到最大角度碰撞后，棒从平衡位置处摆动到最大角度 =30=30。，如图所示。，如图所示。求：（求：（1 1）小球碰撞前的速度）小球碰撞前的速度v v0 0= =？ （2 2）碰撞时，小球受到多大的冲量？）碰撞时，小球受到多大的冲量？30L0pE0mOSolution ：（：（1 1）选小球和棒为研）选小球和棒为研究对象究对象, ,碰撞时系统所受合外力矩