《三角形内角和定理的证明》

1、三角形内角和定理的证明教学设计任丘市西环路中学 李薇一、课题：三角形内角和定理二、教材：冀教版数学八年级下册第二十四章第五节三、学习目标：1、知识与技能目标：掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。2、过程与方法目标：经历利用剪拼三角形验证三角形内角和定理探索证明思路的过程，初步领会辅助线在证明中的作用。3、情感态度与价值观目标：通过多角度探索证明思路，体会思维的多向性。四、教材分析1、内容分析三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。(2)实际生活、生产中有广泛的应用。(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。2、学情分析：（1）学生已经

2、在小学和七年级的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。 （2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。3、障碍预测： 辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。五、教学重

3、点、难点重点：三角形的内角和定理的证明及其简单应用。难点：三角形内角和定理的证明及辅助线的添加。六、教学方法：实验操作法 ，讨论法 小组的合作与交流七、教学过程（一）知识回顾，积累经验1、平行线的判定：2、平行线的性质： 3、证明一个文字命题的一般步骤：（二）情景再现，导入新课我们知道三角形的内角和等于180°，你们还记得这个结论的探索过程吗？引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图，把A剪下放在1位置上，B剪下放在2位置上，拼成一个平角，由此得到三角形的内角和是180°（多媒体展示剪纸拼图过程）。（三）活用化归，证明定理这只是实验得出的命题，不能当做定理，那么如何证明此命题

4、是真命题呢？当时我们是把A移到了1的位置，如果不实际移动A，你有什么方法可以达到同样的效果？能否用学过的旧知识作平行线，利用平行线的性质来证明呢？教师引导，要证三角形三个内角和是180°，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？（学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：平角，两平行线间的同旁内角。）要把三角形三个内角转化为这两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的三角形纸片拼一拼，画一画。（用尽可能多的方法）

5、 学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法：CABEAABBC（1）CAB型12DCABDE（2）CBA型BBACAAABBC（3）BCA型ABCDE（4）B（CA）型ABCDBACAABCABCBADCAACBA根据以上几种辅助线的作法，选择第一种,师生合作，写出示范性证明过程。老师提出这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？CABDE学生回答需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。已知：如图,ABC求证：ABC180°（多媒体展示辅助线的添法及证明的过程，考查学生说理的依据)证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CEAB则ACEA(两直线平行，内错角相等) ECD

6、B(两直线平行，同位角相等) ACBACEECD180°(1平角180°) ABACB180°(等量代换) 即：ABC180°我们选择了一种方法来证明三角形内角和定理，那么你们能写出其他的方法的证明过程吗？教师展示其他添加辅助线的方法 【BCA型B(CA)型】由学生自主完成证明过程后展示并评价书写格式及符号语言的应用。（四）开启智慧，分组探究除了以上的方法，你还有新的证法吗?1、组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适

7、当的提示和引导。3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明4、分组探究，成果展示教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。（五）实践应用，培养能力1、随堂练习（例题1的讲解）我们知道并且证明三角形内角和定理后，对于某些特殊的三角形应予以关注直角三角形的两锐角之和是多少度? 请证明你的结论。学生自己独立完成后(对学困生教师可适当

8、指导)，小组交流，集体订正。2、小试牛刀（1）在ABC中，ABC=C，ABC的平分线BD交AC于点D，A=36OABCD如图，求ADB的度数。学生自主探索，教师巡视、诊断，不同解法的学生板演，学生辨析。A（2）如图，在ABC中， AD垂直于BC,点D为垂足，1=C。求证：ABC为直角三角形。 CBD（六）知识回顾，拓展延伸， 用运动变化的观点理解和认识数学在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, A就越来越大(越来越接近1800),而B和 C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小

9、(越来越接近0°),而B和C则越来越大,它们的和越来越接近180°, 当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么? （七）畅谈收获，反思升华本节课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。在三角形中，求角的大小可将被求角看作三角形的内角来求。证明的基本思想是：借助辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或两个互补的角通过本节课的学习,你有哪些收获? （八）课外作业，巩固练习课外作业：课本P132习题 教学反思 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：（1） 通过折