42高阶线性方程解一般理论基本解组

1、4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)教学内容 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5.介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用. 教学重难点 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 教学方法 预习1、2；讲授3考核目标 认识高阶线性微分方程一般形式;

2、2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5.知道刘维尔公式及其应用. 1. 认识n阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.称为n阶齐次线性微分方程;称为n阶非齐次线性微分方程，其中f(t)为非零函数.线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n阶非齐次线性微分方程，若都是a, b上连续函数，则对和任意n个实数，方程(*)存在满足初始条件的唯一解. 声明：以下总假设方程（*）和（*）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky行列式、方

3、程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)（1） 叠加原理：设为齐次线性微分方程（*）的解函数，则都是齐次线性微分方程(*)的解. （2） 设都是定义在a, b上函数，若存在不全为零的常数使得，则称在区间a, b上线性相关，否则则称在区间a, b上线性无关. （3） 设都是定义在a, b上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行列式为这些函数Wronsky行列式. （4） 函数组线性相关的必要条件：设都是定义在a, b上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零. （5） 方程（*）解函数线性无关充要条件：设都是定义在a, b上方程（*）的解函数，则它们线性

4、无关它们的Wronsky行列式在a, b上处处不为零. （6） 若n个函数都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.（7） 齐次线性方程（*）的通解结构定理：设构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解可表为，其中常数由初始条件确定，.（8） 由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n维的线性空间. 3. 非齐次线性方程的通解结构定理考察非齐次线性方程（*），设为方程（*）的一个特解，为方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解可表为，其中由初始条件确定. 4. 例题讲解例40. 证明函数组在实直线R上线性无关，但它

5、们的Wronsky行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什么？解：当时，.当时，.这说明Wronsky行列式恒等于0. 考察方程.当时，上述方程为，得到；当时，上述方程为，得到. 这说明函数组在R上线性无关. 这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数. 例41. 验证为方程的基本解组，并求出满足初始条件的特解，其中.解：直接代入验证知，因此，为方程的两个解函数. 下面验证它们是线性无关的. ，因此，由解函数线性无关判定定理知，是线性无关的. 因此，证为方程的基本解组. 方程的通解为，为任意常数. 由初始条件知，解得，因此所

6、求特解为. 例42. （1）考察微分方程. 若为方程的任意两个解，则它们Wronsky行列式（常数）.（2） Liouville公式：考察二阶齐次线性方程，其中 . 假设为方程的一个非零解，则(a)函数为方程的解充要条件是,其中. (b) 方程的通解为，其中为任意常数. （3） 已知是微分方程一个特解，试求该方程的通解，并确定函数？证明：（1）记，下证. 由行列式定义的函数的导数公式（参见数学分析下P124 习题8），我们得到. 得证.（2） 仿照（1）可证（a）结论成立. （b）求解方程得到，满足的解. 此时相应的和是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky行列

7、式不为零. 改写为，由再次改写上述方程为，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，特别地，取C=0得到解函数. 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. （3） 记，由上述公式得到，. 因此，原方程一个基本解组为，于是所求通解为，为任意常数. 将代入原方程得到，得到. 作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设分别为非齐次线性微分方程和的解. 证明：为方程的解. 作业42. (1) 验证为方程的基本解组. (2) 验证为方程的基本解组. 作业43. 已知为方程的一个非零解，运用Liouville公式求出方程一个基本解组，并求出满足初值条件的特解. 思考44. （1）考察二阶齐次线性方程，其中 . 设是方程在区间(a, b)上一个非零解（即在区间(a, b)上不恒等于0），试证解函数在区间(a, b)上只有简单零点（