一类具有隔离效应的随机SIS传染病系统的动力学行为.docx

1、第50春第2期2018年6月Vol.50No.2June2018东北师大学报(自然科学版)JournalofNortheastNormalUniversity(NaturalScienceEdition)文章编号1000-1832(2018)02-0035-06DOI10.16163/ki.22-1123/n.2018.02.007一类具有隔离效应的随机sis传染病系统的动力学行为赵春园微（1.东北师范大学环境学院，吉林长春130024；2.吉林交通职业技术学院管理工程学院，吉林长春130021）摘要研究了具有饱和发生率和隔离效应的随机SIS（SusceptibleInfectiveSusce

2、ptible）传染病模型的动力学行为.首先，给出具有任意正初值的随机系统全局正解存在的唯一性.其次，当RV1,白噪声强度较小时，通过构造合适的Lyapunov函数，得出随机系统在确定性系统无病平衡点附近的渐进行为，说明疾病在此条件下将灭绝；当R°>1,且满足一定条件时，利用Hasminskii遍历理论得出随机系统存在遍历的平稳分布，这意味着疾病将持久流行.所得结果表明，环境白噪声对传统病系统的阈值具有重要影响.关键词随机微分方程；灭绝性；遍历性;Lyapunov函数；平稳分布中图分类号0211.63学科代码110-64文献标志码A1预备知识研究流行病发生机理、传染规律及防治策略

3、对疾病的预防与控制具有重要意义.随着科学的发展，学者们在不断利用科学知识通过建立模拟传染病传播规律的数学模型，将疾病传播规律与特点公式化.最近，在随机干扰的作用下，研究某种疾病消失及流行的可能性已经成为流行病学中的一个研究主题,I】隔离效应也已经成为消除传染病的一个重要策略，许多学者研究了具有隔离效应的传染病模型.任扪在许多现有的模型中，双线性发生率已被频繁使用.Gray等研究具有双线性发生率的随机SIS传染病模型时，通过控制随机噪声强度得到了该系统中感染者种群灭绝及持久的充分性条件.然而，当易感者个体的数量较大时，在一定时间内易感者个体之间存在着感染性接触，即存在着饱和效应.这些事实表明，饱

4、和发生率对许多情形来讲都更为合理.s'】基于这样的考虑，本文主要考虑具有隔离效应和饱和发生率的随机SIS传染病模型$（£）=A-S（£）+vI（£）+£Q（£）+eS（£）A】（£）;=噬咨斜一侦+S+T+a）令£）岛；（1）QG）=8Ih）-（"+e+a）Q（Q+b3Q（£）B3（Q其中：3（t）（i=l,2,3">0）是独立标准布朗运动；#（i=l,2,3）表示白噪声的强度；总人口分为易感者S类，染病者I类和隔离者Q类；A,R>0,y,3,£,a20,

5、A表示易感染者S类的数量，四表示死亡率，3表示隔离率系数,a表示因病死亡率系统“和£表示从感染者类I和隔离者类Q到易感类S的恢复率，俸打表示饱和发生率文献14中考虑了确定的SIQS传染病模型，得出：若R°V1,则无病平衡点收稿日期2017-02-23金项目国家自然科学基金资助项目（11601038）；吉林省教育厅科研项目（JJKH20180939KJ）.作者胃介赵春园（1973-）,女，硕士.副教授，主要从事微分方程理论研究.P°=(普2,0)在D内全局渐近稳定;若R°>1,则无病平衡点Po不稳定，地方病平衡点P，在Q)|I=0内全局渐近稳定，其中

6、基本再生数尺=.(汗笊+。).为方便起见，设yQ)=(SQ),I(Q,Q(z).2正解的存在唯一性研究随机传染病模型的动力学行为，首先要考虑模型是否存在全局正解.众所周知，存在唯一性定理一般要求系统满足局部Lipschitz条件和线性增长条件.然而，系统(1)的系数只是满足局部Lipschitz条件，线性增长条件并不满足，所以有可能会在有限时间内爆破.本文主要利用文献口0中Lyapunov分析方法证明随机微分方程(1)存在唯一的全局正解.定理1对于任意给定初值Y(0)=(S(0),I(0),Q(0)R,系统(1)存在唯一的解YQ)=(Sh),I(t),Q("tg并且该解以概率1位于R

7、I中.证明由于系统的系数满足局部Lipschitz条件，那么对于任意初值Y(0)£Ri，系统(1)存在唯一的局部解Y(Q,££0,乙)，这里乙表示解爆破的时间.为了证明全局解的存在性，只需要证明乙=8a.s.设m0足够大，使得初值分量落入区间口/m。中.设整数，定义停时玲=in*0,|S(，)G(l/，m)或者或者Q(i)(l/m,m),其中令inf0=oo.这里给是单调递增的，设j=临琮，则a.s.下面利用反证法证明j=8a.s.IW.8假设上述结论不成立，那么存在常数T和<6(0,1),使得存在整数皿对于Tnmx，满足P玲VT).(2)定义C2函数V：R

8、*fR+,V(S,I,Q)=(S-log)+。-1-logI)+(Q-1-logQ).由伊藤公式可得M=LVds+s(S-)dBZ)+o2(I-l)dB2Q)+a3(QT)dB3(Q,(3)其中+§+(/z+8+y+a)+"|房+(“+e+a)+§<7：(/z+a)QK.对(3)式两边积分，取期望得EV(S(r*AT),/(r*AT),Q(qAT)<V(S(O),I(O),Q(O)+KE0AT)<V(S(0),I(0),Q(0)+KT.(4)对于Bi，令d=qWT,则P(n*)>e.由于对每一个在S(“g),I(口，s)和中至少有一个等于k

9、或1/妇所以V(S(r4,3),I(q也)，Q(n,/)不小于&一1log为或_1log=§1+log龙，仔-1+log可.于是V(S(r*，s)Kr*,a>),Q(z>,3)>龙1log妇A由(2)和(4)式,V(S(0),1(0),Q(0)+KT2Eln.(a)V(S(n,s),/(n,Q(r,G)Ne(&1logA)A(1+logA).令，一8,得到8=U(S(0),I(0),V(0)+KTV8，这显然出现矛盾.因此roo=ooa.s.，系统(1)对于任意初值Y(0)6R3k存在唯一的全局正解.3无病平衡点R）附近的渐近性行为研究传染病数学模型

10、时，疾病何时流行、何时消亡一直是关键问题.对于确定性传染病模型，许多学者通过研究传染病模型的无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，来分析得到的疾病流行与灭绝的条件.然而，随机模型中一般不存在有病平衡点和无病平衡点，那么如何研究随机传染病模型的灭绝性和持久性便成为一个非常有意义的问题.本文主要探讨随机传染病系统（1）在无病平衡点处的渐近行为和遍历性，在一定程度上反映了疾病的消亡或流行，并关注白噪声对原确定系统的动力学行为的影响.定理2若R°V/=（1+赤）（F）>E=（+3+°）+4T】+g>°'七=侦+。）+侦+；旦&_（君”>

11、76;，则系统初值为Y（O）£RL的解Yh）具有性质：limsupjri(S(s)_典)r2PCs)+g(s)ds<(i+#g(3).A证明令z=S-?,y=I,z=Q,有+(i+A/QclBi(e)；严翠纾-顷+$+*"&+dx=dy1+泌CiydB2(e)idz=8y(x+e+cOzldz+azd&Q).U=Ci_y+§(J：+y)2+c2|(z+了+N)2+c3yZ勺吼+屿+。2吼+。3吼.（5）其中Ci=*（2“+S+a+e）»c2=4-,利用伊藤公式，dVu/Vdt+cmydBz（£）+（了+少。1（z+A/Gd

12、Bi（£）+。2卯岳（£）+cz（z+'+z）bi（z+A/GdB（Q+aydBz（z）+b3zdB3"）+。3与z2dBt（t）.由于R°V1,得到LV<_（1+点）（“F）z'_（"+8+a）+券?_（+_就每）。；丁_扁侦+。）+件迅-WF+0+扁同”注意到当酣3屈2君盖甘1侦+a+a）+J?，成立时，定理条件H,r2,r3均大于0,从而EV（t）-V（O）<一£：卜"+a/+3/（1+房（f）ds.于是""叩TE£&"+a寸+七/ds<

13、（1+M（7）2>因此limsup-i-E?*i（S（s）典）+aP（s）+Qsds<（1+房（普）,a.s.注1定理2表明，在R°V1和白噪声强度满足一定条件的情况下，系统C）的解会在确定系统的无病平衡点附近震动，且震动强度和白噪声强度成正比.从生物学角度来解释，若传染病系统受到白噪声的影响越小，则系统（1）解的长时间行为会越接近于无病平衡点.4随机系统的遍历性行为由于随机系统（1）的扩散项是非退化的，本文利用Hasminskii理论给出系统（1）存在平稳分布，并且证明此平稳分布具有遍历性，从而表明疾病在定理条件下将会流行.引理1存在具有正则边界的有界区域UUE”具有如

14、下性质：（1）在U和它的一些邻域，扩散阵AGc）的最小特征值是非零的.（2）当JcEEtU时，从x出发的轨道到达集合U的平均时间r是有限的，且对每个紧子集KUE,有suExt<oo.则Markov过程XQ）存在不变分布*-），令，（-）为关于测度可积的函数，那么对所有的Plimy£/（X（O）dr=/（）（&）=1.定理3若R°>1,耕*（“+球）+券是（“+）+件:西I，使得KmT（l+,）（F）（S）U（+S+a）+4-（l+gki则对任意的初值y（0）£R,系统（1）存在不变分布（-），且是遍历的.证明由于死>1,则确定系统存在地方

15、病平衡点P*，因此S=_0（?；3：”_“（s_s）一顷+3+。）（1一广）+e（Q-Q）4-a1Sfi1（O;<质丁（1.一1）|8I（SS）fm'（1+H）（1+U）+1+/U，+。2阻（£），Q=S（I一厂）-（A/+e+Q）（Q-Q）+贝。白3（£）定义们R*fR+,V8=3（2”+8+a+e）（I一广-flogp-）+y（S-SB）+（1广）了+(S_s)1(-")+(QQ)T+(qq.)利用伊藤公式求导有dV=LVdt+*(2"+3+a+Q如(I一广)dB2(Z)+p(S-S)+(1广)alSdB1(t)+(72ZdB2(t)4

16、-x-n-C(s-s-)+(!-/)+(Q-Q.)-平十a命SdB+sMB?(:)4-(f3QdB3h)+g商(QQ)QdBe其中LVW_(l+pJ(_a；)(S_S)2_(+)+供(1+右间扁&+。)+也亨d一园严(Q-Q)f,这里"=（】+煮）房（Sf+（1+点）房（2+（声+（2供竿a）J房（Q"）2+*2#+B+a+£）房广当尿V“,且成房>+a）+%,由于9"（1+声）（一。；）顷）2,3+8+。）+（1+）司（广）2,点（“+。）+件t*捋d（Q.，则椭圆：)(一b：)(SS，)21+扁)<4，-2-("+

17、63;+a)Q(3+a)oj"B&-J：)(一b：)(SS，)21+扁)<4，-2-("+£+a)Q(3+a)oj"B&-Je2尸+eM+a)2+a一（;z+8+a）T点顷+齐Ja全部位于R*中.取U为包含椭圆的邻域，使得口WE,=R1,且当xRiW,LV<-K（K>0）.另一方面，存在M=min0S2屈已房。>0,使得对所有的（S,I,R）U,$£R3,有(Q_Q.)2+甲=0=屏警好+房卜角+房>m|$|1由引理1,随机系统（1）存在平稳分布（），且是遍历的.5总结本文研究具有隔离效应和饱和发生

18、率的随机SIS传染病模型的动力学行为.首先考虑具有任意正初值系统（1）全局正解的存在唯一性.然后根据基本再生数和白噪声强度，得到保证疾病持久和灭绝的充分条件.所得结果表明环境白噪声对疾病的持久性与灭绝性具有重要的影响.当然一些有意义的问题值得进一步研究.一方面，可以提出一些更加符合实际情形并且复杂的模型，例如可以考虑时滞对系统（1）的影响.另一方面，本文所用到的方法也可以用来研究其他有意义的模型，如具有其他形式的非线性发生率的SIS（SusceptibleInfectiveSusceptible）模型、SIRS（SusceptibleInfectiveRemovedSusceptible）模型

19、和SEIRS（SusceptibleExposedInfectiveSusceptible）模型等.参考文献1JDALALN.GREENHALGHD,MAOXR.AstochasticmodelofAIDSandcondomuseJ.JMathAnalAppL2007,325：36-53.2jJIANGD,JIC»SHIN,etal.ThelongtimebehaviorofDISIRepidemicmodelwithstochasticperturbation.JMathAnalAppl,2010,372,162-180.3 JIANGD.J1C,SHIN.MultigroupSI

20、RepidemicmodelwithstochasticperturbationJ.PhysicaA,2011,390：1747-1762.4 YANGQS,JIANGDQ,SHINZ,etal.TheergodicityandextinctionofstochasticallyperturbedSIRandSEIRepidemicmodelswithsaturatedincidence。.JMathAnalApp】，2012,388：248-271.5 杨俊仙，徐丽.一类具非线性发生率和时滞的SIQS传染病模型的全局稳定J.山东大学学报(理学版),2014,49(5):67-74.61CHE

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