第7章梁弯曲变形的计算

1、第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用表示。而，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件式中的和分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪

2、力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：式（a）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比。如图7-2所示。而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系： （a） （b）将上式代入式（a），得到 （c）小挠度条件下，式（c）可简化为： （d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着的正值（图7-3a），负弯矩对应着的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值 （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。§7-3 用积分法求弯曲变形将式（7-1）分别对 积分一次和

3、二次，便得到梁的转角方程和挠度方程： （a） （b）其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。例7-1 求图示简支梁的挠曲线

4、方程，并求和。解：（1）求支座反力，列弯矩方程梁的支座反力和所选坐标系如图所示。因载荷在处不连续，应分二段列出弯矩方程。段 段 （2）列出挠曲线近似微分方程，并进行积分 （a1） （a2） （b1） （b2） （c1） （c2）（3）确定积分常数根据连续条件处，求得，根据边界条件， ，求得， ，求得将求得的4个积分常数代回、，求得两段梁的转角和挠度方程。 （d1） （d2） （e1） （e2）（4）求最大转角和最大挠度将代入式，求得 （顺时针）将代入式，求得 （逆时针） ，发生在支座处。将代入式，求得 （顺时针）故的截面位于段内，令，可解得挠度为最大值截面的位置，进而利用求出最大挠度值。但对简

5、支梁，通常以跨中截面的挠度近似作为最大挠度。§7-4 用叠加法求弯曲变形在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。例7-2 车床主轴如图a所示。在图示平面内，已知切削力，啮合力；主轴的外径，内径，；处的许用挠度，轴承处的许用转角；材料的弹性模量。试校核其刚度。解：将主轴简化为如图b所示的外伸梁，外伸部分的抗弯刚度近似地视为与主轴相同。（1）计算变形 主轴横截面的惯性矩为由表7-1查得，因而引

6、起的端的挠度和截面的转角（图c）分别为： 因而引起的截面的转角（图d）为因而引起的端的挠度为最后由叠加法可得，端的总挠度为处截面的总转角为（2）校核刚度 主轴的许用挠度核许用转角为：而故主轴满足刚度条件。本题要点：（1）叠加法求梁的变形（2）刚度计算例7-3 梁受力如图a所示，试绘出其内力图。解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座C去掉，以简支梁作为静定基（图b）。在静定基上作用均布载荷和多余约束力，成为原静不定梁的相当系统（图c）。（2）相当系统在点的挠度应为零，即。根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式：求得 （3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d）画出静不定梁的、图，如图e、

7、f所示。静不定梁的，而简支梁的，前者仅为后者的。本题要点用变形比较法求解简单静不定梁。要点讨论1平面弯曲时，梁变形后的位移用挠度和转角度量。在小变形和材料为线弹性的条件下，且忽略剪力对变形的影响，则挠度曲线上任一点切线的斜率即为该处截面的转角，因此分析梁变形的关键是，求出梁轴线变形后的挠度曲线方程。2小挠度近似微分方程，反映了梁微段受力与变形的关系。将各微段的变形叠加起来即为梁的整体变形，但梁变形后的位移还与支承条件有关，这反映在根据边界条件和连续条件确定积分常数、上。3用叠加法求梁的变形时，要注意到梁的挠度曲线既与受力（弯矩）有关，又与梁的支承条件有关。4用变形比较法解静不定梁时，次静不定必

8、有个多余约束，除去这些多余约束，则有个多余约束力，必须有个补充方程才能解出这些多余约束力。由于相当系统的受力（包括载荷和多余约束力）和变形与原静不定梁相同，在那里拆除约束，则在那里找变形条件和建立相应的补充方程式。§7-5 简单静不定梁静不定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡

9、方程和补充方程可联立求解静不定问题。例如图7-5a中，车削工件的左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图7-5b所示。此为一次静不定问题。图7-5c为静定基。图7-5d为相当系统，支座反力由表示，静力平衡方程为，在多余约束处建立变形协调条件利用表7-1可知因此利用平衡方程可解得，和，画出其弯矩图如图7-5g所示 。例7-4 试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。l/2l/2FFBFAMAFFBABCFBB(a)ACFC(b)BA解：分析： 此题属于一次超静定问题。用变形比较法列出变形比较条件其中，解得：用叠加法解得C处的挠度为：其中，如果没用顶尖的作用，在刀尖作用点处挠度为yC2。求得有无刀尖作用时，在刀尖处变形比为：结论：可见用顶尖可有效地减小工件的变形，因而，在细长轴加工中要设置顶尖，甚至使用跟刀尖。§7-6 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面