土工离心模型试验研究现状

1、一、离心模型试验概况1.1土工离心模型试验简介土工离心模型试验（geotechnical centrifugal model test）是把小比例尺模型放在离心试验机所形成的加速度场中，以获取全比例尺模型的变形破坏机理的模拟试验技术。其基本原理是：将土工模型置于高速旋转的离心机中，让模型承受大于重力加速度的离心加速度作用，来补偿模型因为尺寸缩小而导致的土工构筑物自重的损失。所以，它对模拟以重力为主要荷载的岩土结构物性状的研究就显得特别有效。在岩土工程中，土体自重引起的应力常常占支配地位，土的力学特性随着应力大小的变化而变化，常规小尺寸模型试验由于其自重产生的应力远小于原型，因而无法再现原型的特

2、性。解决这个问题的唯一途径就是提高模型的自重，使之与原型等效。把模型放置于特制的离心机中，使1/N缩尺的模型在Ng离心加速度的空间进行试验，由于惯性力与重力绝对等效，并且高加速度不会改变工程材料的性质，从而使模型与原型的应力应变相等，变形相似、破坏机理相同，能再现原形的特性。由于其能再现自重应力场以及与自重有关的变形过程，直观揭示变形破坏的机理，并能为其它分析方法提供真实可靠的参数依据，而得到越来越广泛的应用。国外发展状况虽然早在1869年法国人Edouard Phillips就提出了离心模型试验的设想，并建议用其对横跨英吉利海峡的大钢桥进行验证，根据弹性体的平衡方程推导出原型与模型之间的相似

3、关系，提出利用离心机产生的惯性力来增加模型的重力，用来研究结构的特性，但限于当时的条件，没有得到应用。此后一直沉寂了60余年，直到20世纪30年代，这一概念才在美国和前苏联重新提出并开始进行试验工作。1931年，美国哥伦比亚大学Philip Bueky将此技术应用于煤矿坑顶稳定性的模型试验中，所用的离心机半径仅25em，因离心机的半径过未取得有价值的成果，在土木工程界并未引起应有的重视。与此同时，前苏联以鲍克洛夫斯基(Pokrovsky)和费德洛夫(ECFedorov)为代表的学者们开始在大中型离心机上对离心模拟技术进行了广泛的研究。在第一届国际土力学和基础工程会议论文集中，首先介绍了前苏联应

4、用离心机进行土坝、土坡稳定性、基础下压力分布、埋管土压力等土力学方面的模型试验研究成果，引起了国际岩土工程界的关注。到20世纪70年代为止，前苏联在不同研究机构中专为岩土工程研究建置了20余台离心机，对于离心模型的相似理论，试验设备的设计技术以及试验方法等作了许多有成效的工作，自1952年至1984年先后出版了五本有关离心模型试验理论与实践的专著，所以前苏联在离心模拟技术和理论方面一直处于领先地位。但前苏联在1940至1965年期间的研究成果未公开，土工离心模拟技术被应用于军事工程和特种岩土工程中，因而未引起其他国家的注意。20世纪60年代，离心模拟技术开始在英国和日本发展起来。英国开展土工离

5、心模型试验虽晚于前苏联，但进展很快，取得了显著成就。先后分别在剑桥大学、曼彻斯特大学的科学技术研究所和西蒙工程试验室，利物浦大学建立了四个土工离心模拟技术研究基地。以斯科菲尔德(ANSchofield)和罗(PWRowe)两位教授为中心开展研究，他们都是研究土的本构关系的先驱者，坚定认为土的本构模型及其数值计算方法的可靠性必须通过物理模型，即离心模型试验来验证。他们利用离心机研究了包括白陆上至海上的各种岩土工程，并发展离心试验的测试技术及数据采集系统，以及研究离心试验用的高速摄影、微型传感器及微机控制等设备，使试验达到自动化和现代化，同时还为各国培养了离心试验研究人才。在日本，研究离心模型试验

6、最早的是大阪市立大学三笠正人(MMikasa)教授，他认为利用离心模型试验研究土坡稳定、地基承载力是可靠而有效的方法。他曾利用离心模型研究高90m堆石坝的抗震稳定、粘土层内钢板桩的破坏以及软粘土自重作用下的固结理论。此后，日本除运输省港湾技术研究所建置了半径3.3m的大型离心机外，东京工业大学研究机构也先后建立了类似的小型离心机。日本的小型离心机规模小，但试验观测设备精良而先进。20世纪70年代，美国和西欧各国都很重视离心模拟技术在土工方面的应用，研究课题涉及到砂基承载力，固结理论，锚板抗拔力，导弹出土，爆炸，地震动力特性，水力冲刷，坝体渗流和桩的动静态模拟等。20世纪80年代以后，离心模型在

7、美国、德国、法国、荷兰、意大利等国相继开始得到不同程度的发展，使国际上离心机不仅在数量上有了显著的增长，而且在容量上也有了长足的进步。其中美国山原宇航试验中心离心机改装成的国家离心机，半径9.2m，容量达到1080gt，这一时期离心机的加速度也开始加大。如意大利1987年建成的试验模型与结构研究所(ISMES)离心机最大设计加速度达600g，但由于实现设计的运行条件较难，该机在建成后仅在较低加速度下运行。近年来，随着离心模型试验研究的深入，国际上离心机的建造逐渐开始向专业化方向发展。如东京技术学院为进行土一水一结构的界面问题的研究，于1998年建造了直径2.2m的鼓式离心机，并进行了相关问题的

8、研究；加拿大皇后大学矿业工程系为研究同矿山有关的问题，建造了一台容量309t的离心机，该机的主要设备均为矿山问题研究专门设计，可以进行岩爆、冻土工程、尾矿坝等问题的研究；美国国家工程和环境实验室为进行环境问题研究建造了一台容量50或的离心机，该机的数据采集系统采用光纤传输，并配备了一系列设备使之可以进行诸如水文和生物岩土工程等与环境有关的研究工作。此外，适应大型工程研究的需要，大型离心机的数量持续发展，如日本大林株式会社技术研究院于2000年建造了一台容量7009t的大型离心机，并配备有最大加速度50g的振动台，该机能在运转中自行调节20垂的小平衡配重。离心机数量的增加和大型化、专业化的发展趋

9、势，使世界上逐渐形成了数个专门的离心模型试验中心，并形成了各自的特色。离心机容量，离心机容量(g·ton)=离心加速度(g)×模型重量(tone)。常用(gt)或g·ton)表示，是衡量离心试验机能力的一个总体指标。现阶段，国际土工离心机已得到很大的发展，特别是美、英、法等欧美国家以及日本等国，基本都已完成了离心机的研制和建设工作，离心机的容量和规模都达到空前的水平。现在世界上土工离心机总计约120台，其中日本37台、美国20台、俄罗斯12台、英国6台，国外其它国家包括荷兰、法国、丹麦、意大利、德国等30多台。表1-1给出国外主要离心机及其性能指标。表1-1 国外

10、主要离心机及其技术性能指标单位时间（y）有效半径（m）最大载荷（kg）最大加速度（g）有效容量（g.t）1 英国曼彻斯特大学19713.245001306002 日本港湾研究所19803.827691133123 法国道桥研究中心19855.520002002004 前联邦德国鲁尔大学19874.120002505005 意大利结构模型研究所198724006002406 美国加州大学19889.1360030010807 美国科罗拉多大学1988620002002008 美国桑地那实验中心19887.672572408009 荷兰代尔夫特土工所19896550035075010 加拿大寒带海

11、洋研究中心19936.5220020022011 日本竹中建设19976.6500020050012 日本土木研究所19973.8500015040013 日本西松建设19986130015020014 美国陆军水道试验站19986.58800350125615 瑞士联邦技术研究院20002.2200044088016 日本大林组200077000120700国内发展状况20世纪50年代，中国岩土界在前苏联学术界的影响下开始对离心机在土工试验中的应用有所认识。1957年，长江科学院提出建立一台大型的水利工程综合应用的离心机并进行了可行性研究，在苏联专家的协助下于1958年完成了整体设计，但最终

12、未能实现。南京水利科学研究院与华东水利学院率先开展了土工离心模型试验工程应用研究，并于1982年在国内首次进行了土工离心模型试验。长江科学院从1984年开始着手土工离心模型试验设备的设计和研制，1985年开始应用于解决工程问题，并将试验结果、土力学的数值分析和现场的原型观测相结合，对工程问题进行分析。中国水利水电科学研究院于1984年承担建造一台半径5m、容量400g·t，具有模拟地震功能的大型离心机。之后，相继有长江科学院、河海大学、上海铁道学院(今同济大学沪西校区)逐步建立了自己的离心机并进行了大量的土工模型试验研究。20世纪80年代，我国土工离心模型试验研究主要集中在南京水利科

13、学研究院、长江科学院、中国水利水电科学研究院三家单位。90年代，更多的科研设计单位和科研人员加入到土工离心模拟试验技术的研究和应用行列。成都科技大学1989年研制出了离心机专用加水和排水设备，并成功应用于瀑布沟高土石坝的离心模拟试验；之后又研制出离心试验加荷设备、模型参数量测设备，成功地进行了多次桩基原型性能试验。四川大学在前期科研工作基础上，对黄土路基的湿化特性、斜坡高路堤的稳定及变形和黄土强度特性进行了离心模型试验研究。上海铁道学院于1988年建成L-30型土工离心机，以上海软黏土为主要研究对象，进行了大量的离心模型试验研究，如加筋土地基、软土地基上结构物的稳定性和变形、基坑侧向土压力、土

14、工离心模拟试验的应变分析研究以及饱和黏土模型的拟合制作等。20世纪90年代，土工离心模拟试验技术在中国得到广泛的推广应用，更多的科研设计单位加入到土工离心机模拟技术的研究和应用中，在新技术研究应用领域、基础理论研究等都得到不断拓展。而且随着计算机在岩土工程中的迅速普遍及应用，土工离心模型试验技术也取得了长足进展。应用领域也得到了进一步的扩大，不仅有一般的土工问题如边坡、地基、土压力、海洋工程、隧道工程，而且有渗流、地震、爆破和模拟大地构造等领域的内容。模拟技术上，包括岩石边坡及治理工程中、类似混凝土面板堆石坝复合结构研究、结构-岩土相互作用、地下洞室的应力和变形稳定性研究、动力模型试验等。长江

15、科学院首次将离心模型试验技术应用于岩石边坡应力应变和稳定性以及边坡不连续面构造部位破坏机理，还做了土工织物加固地基的离心模型试验，验证地基在施工过程中的稳定性，并进行了加筋软基承载力的计算方法研究和验证。中国水科院对软基处理进行了离心模型试验研究，系统分析了深厚软基采用碎石振冲置换后筑坝的变形性状，并通过不同振冲置换量对比分析，优化出经济合理的方案。21世纪以来，离心模拟技术在岩土工程各领域得到普遍的认可及发展，土工离心机的数量及尺寸也不断增加，应用领域也不断扩大。2001年，世界上最大、最先进的土工离心机之一在香港科技大学正式完工，研制出世界上第一台双向振动台，安装了先进的4轴向机械手，并配

16、备了精确的数据采集和控制系统，先后在这台土工离心机上进行了船舶撞击桥墩、松散填土的潜在静态液化机理、浅表层松散填土边坡稳定性研究等。除香港科技大学外，我国已建立的3套土工离心振动台(清华大学2001年、南京水利科学研究院2004年、同济大学2006年)均停留在一维水平。目前，浙江大学和中国水利水电科学研究院的振动台正处于研制阶段。中国水利水电科学研究院的振动台将可能成为我国首台可在水平和垂直方向同时振动的水平垂直2D振动台。这标志着土工离心机已向动态二维或三维研究方向发展。我国土工离心模拟实验技术就其应用类型而言大致有如下4类：（1）原型的模拟。这是最常用的方面，用来预测和验证工程的工作状态。

17、尤其适用于地震和降雨导致边坡破坏，以及近海石油勘探中，风荷或浪涌作用下桩的特性研究。很多场合，对工程结构作原位试验以验证其安全性是极为困难的。如高土石坝性态预测、深水结构及近海桩结构的安全性评定等。在我国已用土工离心机完成了挡土墙与岩土结构相互作用、 埋入式结构与地下开挖、 基础承载力及稳定性、动力响应、环境岩土力学与运移过程等方面的设计研究工作。由材料试验和数值计算、反馈分析向结构设计与离心试验并举，是未来岩土工程设计的发展趋势。（2）新现象和新理论的研究。离心模拟技术已经成功应用于研究各种难解的现象。如大地构造、土的液化研究、污染物运移、渗流研究等，他们所用的材料与原型材料没有相似的关系。

18、（3）参数研究。这也是应用很广的一个方面，因为这是比较容易和比较可靠的测定方法。一般来说，在实际测试和参数变化试验之前，必须设计一个测试试验。通过改变模型参数（如几何性状，荷载以及边界条件，降水强度或土的类型等）可以获得测试结果对各参数变化的敏感度以及关键参数，从而指导工程设计。（4）数值分析成果验证。无论是数值模拟还是物理模拟，都必须进行条件简化及假设。很多情况下，数值模拟仍然受限于进行二维模拟。而土工离心模拟则不存在这些问题，相反，其模拟三维问题比二维平面应变问题更简单。数值分析的精度不仅取决于材料所用的模型，也取决于参数的选取。通常，模型参数可能不具备任何物理意义或者通过试验手段难以确定

19、。由此得出的模拟结果和基于此的工程设计必然会存在争议。例如，对于离岸石油钻井平台的升降式或铲罐式钻油台，受竖向、横向和弯矩荷载的作用，数值模拟的效果并不理想。应力条件和参数已知的离心模拟试验就成为校正数值分析最可靠的手段。我国的土工离心机都集中在高校和科研设计单位，目前拥有土工离心机近20台。表1-2给出国内主要的离心机及其性能指标。表1-2国内主要离心机主要技术性能指标单位时间（y）旋转半径（m）有效荷载（kg）最大加速度（g）有效容重（g.t）吊篮尺寸（cm）1 航空部51119606.580850682 九院总体所196910.824009021667×30×903

20、上海铁道大学80年代1.552001002025×31×424 河海大学19833.42501002590×20×355 长江科学院1983330050015070×70×826 南科院19892.12502005070×35×507 四川大学19901.51002502548×33×398 原成都科技大学19911.52501002560×40×409 南科院19925200020040020×120×11010 北科院19934150030045015

21、0×100×15011 清华大学199322502005075×50×6012 香港科技大学20004.4400150400150×150×10013 西南交通大学20022.750020010060×40×4014 重庆交通学院200523002006070×60×4015 长安大学200523002006070×36×5016 同济大学2005375020015070×70×9017 长沙理工大学建设中3.21000150150110×92&

22、#215;15018 浙江大学建设中42500150400150×120×150国内外研究现状Chambon 等（1994）开展了砂土地层开挖面失稳离心模型试验，研究了土体密度、隧道直径、隧道埋深等因素对开挖面极限支护力的影响规律。该试验采用应力控制式，模拟了整个隧道，只能在失稳后停机开挖地基给出失稳区大致范围。Chiang等（2007）运用了离心模型试验方法研究了砂土地基中隧道开挖对单桩的影响，得出邻近端承型单桩的承载能力发生明显降低的结论；A.M.Marshall（2009）对新建隧道正交穿越既有管道的影响进行了离心模型试验研究，他采用离心模型试验对砂土中盾构隧道穿越既

23、有管道进行了模拟， 并使用先进的 PIV 技术结合传统的传感器对模型变形进行量测， 得出了一个修正的高斯公式来计算砂土中盾构引起的地面变形。其试验采用排液来模拟地层损失， 可以精确控制地层损失率。Ng C W W， Boonyarak T.（2013）对单线隧道正交垂直下穿既有隧道进行了离心模型试验研究，对如下3种工况分别进行了模拟，即：1、只考虑隧道外层地层损失，保留隧道内部土体；2、地层损失与隧道内部土体开挖同步模拟；3、先模拟外层地层损失，再模拟隧道内部土体开挖。测地表沉降、既有线变形、既有线应力分布。结果显示，由于地层回弹与土层竖向挤压力作用，无论是既有隧道与地表的沉降均为工况一最小，

24、工况三最大，并且既有隧道的存在明显降低了地表沉降。2001年周小文通过三组离心模型试验(无间隙、10cm间隙、20cm间隙)，研究砂土中土压力、间隙以及变形特征的影响。由于土拱效应增强洞室围岩的稳定性，使得洞室砂土围岩在较小的支护作用下也能够保持稳定。马亮等于2005年利用离心模型试验技术对暗挖施工的深圳地铁围岩稳定性进行了研究。研究表明地表沉降槽随离心模型试验转动时间变化，呈现有规律的曲线。并认为在富水地层控制地下洞室可利用水平旋喷桩控制地下洞室的地表沉降。漆泰岳（2006）等利用离心模型试验研究富水地层开挖地下洞室的施工方法，试验中综合对比了模型时间、围岩的流固耦合和隧道施工3种不同控制条

25、件。并对三种不同降水条件的施工方法进行了研究。研究表：非降水条件下隧道施工是控制沉降的最好施工方法。该成果已应用于富水地层隧道施工过程中。余峰（2008）在其硕士论文中以0.5%的地层损失率，对双孔盾构隧道不同相对位置的情况分别进行了4组离心模型试验研究，试验中测定了不同施工进程下盾构隧道的地表位移、围岩压力以及衬砌内力。通过对试验数据的分析，得出不同工况下双孔盾构隧道近接施工时的地表位移、围岩压力和衬砌内力的分布规律。马险峰，王俊淞等（2012）以上海软土地区某大直径越江隧道工程为背景，以0.5%、1%、1.5%三种损失率为工况，研究不同地层损失率下地表沉降与隧道变形的施工期与长期变化规律，

26、研究显示：地层损失越大，施工期和工后地表沉降越大；地表纵向沉降量大约是隧道结构沉降量的 2 倍；较大的地层损失率与地层长期沉降会导致隧道周围土体应力重分布；得出了隧道和地表纵向长期沉降量公式：S = alnt + b。凌昊，仇文革等（2010）通过室内离心模型试验模拟双孔盾构隧道近接施工，固定损失0.5%研究了两条隧道4种不同相对位置下衬砌结构横向内力的量值、分布规律以及随盾构推进距离和两隧道相对位置的变化规律。研究表明：隧道衬砌拱顶和拱底内侧受拉，左右拱腰外侧受拉，结构均匀受压；新建隧道近接施工对既有隧道衬砌结构内力影响明显。汤旅军等（2013）利用离心模型试验，通过 3 种不同隧道埋深比（

27、C/D=0.5，1 和 2）对沙土地层开挖面失稳进行了研究，试验研究发现，随着开挖面位移的增大，开挖面支护力先减小为极限值而后逐渐增大并最终趋于残余值；开挖面前方土体总体呈现“楔形体+棱柱体”的失稳区；极限支护力随着隧道埋深比的增大先增加而后基本保持不变。黄德中等（2012）利用离心模型试验对上海外滩通道上穿地铁2号线工程进行了研究，采用排液法和补液法在不停机状态下模拟地层损失和盾构注浆，并结合实测数据对盾构上穿越施工引起的地层、新建隧道与既有隧道的纵向位移变化规律进行了分析。马险峰，余龙等（2010）依托上海地铁8号线的工程背景，选择两种典型的下卧层来研究不同地质条件下地铁隧道纵向长期沉降特

28、性。发现不同下卧层地质条件下隧道沉降量和沉降稳定历时差别明显，隧道纵向应力分布不均，但土压力分布均为拱底处土压力最大，起拱线处土压力最小。1.2土工离心模型试验原理离心模型试验原理的正确性是基于下面两个物理原理：(1)根据近代相对论解释牛顿的重力与惯性力是等效的，所以原型受地球重力与模型在离心机上受离心惯性力其物理效应是一致的。(2)土壤的材料性质在离心力场内不会改变。相似的概念和相似理论在模型试验中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验的数据和结果推算出原结构的数据和结果。通常所说的“相似”有三种情况：相似，或称同类相似；拟似，或称异类相似；差似，或称变态相似。模型试验中主要讨论的是第一种

29、相似，即两系统(或现象)，如原型、模型，如果它们相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统(或现象)相似。相似系统中，各相同物理量之比称为相似常数(或称为相似比、比例尺、比尺、模型比、相似系数)即：原型物理量模型物理量=相似常数几何相似常数：原型与模型对应的尺寸成比例，则称它们是几何相似。其比值称为几何相似常数，用符号Cl表示，则有：Cl=xpxm=ypym=upum=vpvm=lplm其中：C表示常数，l表示尺寸，p表示原型，m表示模型。同理有：应力相似比： C=(x)p(x)m=(y)p(y)m=(xy)p(xy)m=pm应变相似比： C=(x)p(x)m=(y)p(

30、y)m=(xy)p(xy)m=pm位移相似比： C=pm弹性模量相似比： CE=EpEm泊松比相似比： Cv=vpvm容重相似比： C=pm体积力相似比： CX=XpXm将上述个相似比代入弹塑性力学的基本方程，可推导出各相似比之间的关系。其关系如下：C=ClCxC=CCECv=1C=1模型试验要求在模型上模拟围岩、隧道的几何形状以及材料的某些物理力学性质。为使模型上产生的物理现象与原型相似，模型材料、模型形状和荷载等必须遵循一定规律，这个规律就是相似原理。为了满足模型特性同原型的严格相似，模型试验还必须在相似三定理的指导下进行。第一定理(正定理)：对于两个彼此相似的现象，其相似指标等于1；或者

31、说其相似判据是一个定数；第二定理(定理)：设一物理系统有n个物理量，其中有k个物理量的量纲是相互独立的，则可有n-k个相似准则，而且，描述相似系统的相似准则之间的关系式可表示为：F(1，2，3,n-k)=0第三定理(逆定理)：对于同一特征的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等，则这些现象必定相似。单值条件如下：(1)原型和模型的几何条件相似；(2)在研究过程中具有显著物理意义的常数成正比；(3)两个系统的初始状态相同；(4)在研究过程中，边界条件相似。几何相似只要模型与原型各部分按相同的比例缩小或放大。对于二维问题或可简化为平面问题来考虑的三维问题，只要保

32、持平面几何尺寸相似而厚度可按稳定条件选取。对土工模型除了必须与原型保持几何相似外，还应使模型和原型二者相对应各点的应力、应变满足相似的要求。这对选择制作模型的材料是非常困难的，因而在土工模型试验中，一般都采用原型材料，按原型的密度制作模型。量纲分析法量纲的概念是在研究物理量的数量关系时产生的，它说明量测物理量时所用单位的性质。量纲是物理量的单位，通过基本度量单位推导出其他单位的表达式，就叫量纲分析法。它先求出特征值(物理量)间的关系式，再求相应的相似准则。任何一个物理方程都可以用量纲方程来表示。量纲分析的理论基础是：方程等号两边量纲的齐次性。在科学界选定几个基本量的量纲为基本量纲，基本量纲间是

33、彼此独立的。在工程技术领域中一般取时间、长度和力为基本物理量，秒、米和牛顿为基本单位。由基本量纲所导出的量纲称为导出量纲。量纲分析法用于相似模型的试验研究，可以用来确定相似判据，进行模型试验。用量纲分析法来推导相似判据是根据方程式量纲均衡性原理进行的，其并不要求建立现象的物理方程式，只要求确定哪些物理量参加所研究的现象，及明确量测这些量的单位系统的量纲。具体方法就是定理(Buckingham，1914)。其内容是：若物理方程F(x1，x2，x3,xn)=0共含有n个物理量，其中有k个基本量，并且保持量纲的和谐性，则这个物理方程可以简化为：(1，2，3,n-k)=0式中1，2，3,n-k是方程中

34、的物理量所构成的无量纲积，即相似判据。由此可知，参数1，2，3,等看做新的变量，则变量的数目将比原方程所包含的减少k个。以本试验为例介绍用量纲分析法求相似判据。本研究课题主要针对盾构隧道下穿既有地铁线路展开研究，研究范畴涉及地层、结构均具有相关性，总结当前实验研究所需系统参量如下：（1）材料参数地层参数：粘聚力C、内摩擦角、土体容重'、土体变形模量E0、孔隙比e、泊松比s；隧道结构：隧道弹性模量Et、泊松比t；（2）几何参数覆土厚度H（既有隧道）、隧道直径D、新旧结构净距Hu、衬砌厚度t、隧道截面惯性矩I；（3）环境参数重力加速度g、外部荷载F、时间T；（4）响应参数位移、应力、应变、

35、弯矩M设A1, A2A20分别代表参量C, ', E0, e,s, Et,t, H, D, Hu, t, I, g, F, T, , , , M 的指数，取外部荷载F、长度L、时间T作为3个基本量纲，采用量纲矩阵的分析方法，求取因子建立各物理量的关系。物理量函数形式为：f (C, ', E0, e,s, Et,t, Hp, D, L, I, t, I, g, F, T, , , , M )=0量纲矩阵为：A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16A17A18A19A20C'E0esEttHDHutIgFTMF1011001000000

36、0100101L-20-3-200-20111141001-201T0000000000000-2010000建立指数方程如下：A1+A3+A4+A7+A15+A18+A20=0-2A1-3A3-2A4-2A7+A9+A10+A11+A12+4A13+A14+A17-2A18+A20=0-2A14+A16=0选取T(A16)、C（A1）、H（A9）作为三个独立待求基本物理量，建立新的指数方程如下：A1= -A3-A4-A7-A15-A18-A20A16=2A14A9=2A1+3A3+2A4+2A7-A10-A11-A12-4A13-A14-A17+2A18-A20列出矩阵如下：A2A3A4A5

37、A6A7A8A10A11A12A13A14A15A17A18A19A20A1A9A16'E0esEttDHutIgFMCHT1121-1331-12415161-127181-191-1101-1111-4121-12131-1141-1151-12161171-1-1根据以上矩阵可以得出：1=, 2='H3 /C, 3= E0H2/C, 4=e , 5=s , 6= EtH2/C , 7=t , 8=D/H , 9= Hu/H , 10= t/H , 11=I/H4 , 12=gT2/H , 13=F/C , 14= /H , 15=H2/C , 16= , 17=M/CH;保持无量纲因子1=, 4=e , 5=s , 7=t , 16= 为不变量，将原型尺寸1/n模型试验置于ng离心力场内，忽略颗粒尺寸效应，根据第二相似定理Buckingham定理，可得离心力场内模型的参量比例常数如表1-4所示：