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文档简介
1、二分图的完备匹配 某公司有工作人员X1,X2,Xm,他们去做工作Y1,Y2,Yn,每人适合做其中的一项或几项工作,问能否每人都分配一项合适的工作。 这个问题的数学模型是:构造一个二分图G,顶点划分为两个部分:一个是工作人员集合XXl,X2,Xm,一个是工作集合YY1,Y2,Yn,当且仅当Xi适合干工作Yi时,Xi与Yi之间连一条边。问是否能从G中得出一个不含未盖点的匹配,这种将G的每一个顶点盖住的匹配称为二分图的完备匹配。 可能存在完备匹配的图是否仅限于二分图呢?答案是否定的。数学家在做了大量的图论分析后得出: (1)G是K(K0)次正则二分图; (2)G是无桥的三次正则图; (3)G在去除任
2、意一个顶点子集S后,其子图中含顶点数为奇数的连通分支个数不大于|S|。 具有上述3个特征的图肯定有完备匹配。特别是特征(3),是完备匹配的充分必要条件:含特征(3)的图一定有完备匹配;有完备匹配的图也一定含有特征(3)。求二分图最佳匹配的算法匈牙利算法变量说明; S外点集合,初始时为交错树的根; T内点集合,初始时为空; N(S)与S中的顶点相邻的顶点集合。显然,若N(S)T,表明与任一外点相连的端点都在内点集合里,找不出一条不属于交错树的边,图G无完备匹配; M匹配边集合; E(P)可增广轨P上的边。 M E(P)进行对称差运算的结果,为可增广轨P上的匹配边与非匹配边对换,P轨外的匹配边不变,使得M改进成一个多包含一条边的匹配。 O 这个算法的要点是把初始匹配通过可增广轨逐次增广,以至得到最大匹配。然后根据有无未盖点来判定这个最大匹配是否为完备匹配。 例如求图78(d)中的最大匹配,设初始匹配M(X2Y2,X3Y3,X5Y5 以未盖点X1为根,生成交错树,结果得到可增广轨X1Y2X2Y1(见)。X
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