对称三支座悬臂梁均布荷载下任意一点位移方程

1、对称三支座悬臂梁均布荷载下任意一点位移方程摘要：本文经过严密的逻辑推理，给出了对称三支座悬臂梁力学计算的通用公式，这些通用公式在桥梁盖梁无支架抱箍工字钢施工等力学验算中将得到应用。关键词：三支座；悬臂梁；工字钢对称三支座悬臂梁，由于其力学体系为一次超静定结构，因此其抗弯强度、抗剪强度及其挠度的计算很复杂，必须经过严密的逻辑推理，求出其力学计算的通用公式，这些通用公式在桥梁盖梁无支架抱箍施工中工字钢做为横担梁等力学验算中将得到应用。一、 已知参数悬臂梁上承担均布荷载q，悬臂梁长le，两支座间距ale,则悬臂梁长为（0.5-a）le,其基本受力体系如下：ale（0.5-a）lealele（0.5-

2、a）leX1q二、受力计算本受力组合为一次超静定结构，结构简图如下：alealele（0.5-a）le（0.5-a）le对称三支座悬臂梁计算简图alealeX1根据一次超静定结构的力法基本方程：11X1+1P=0进行求解，为了计算，分别绘出基本结构在X1=1作用下的弯矩图图及荷载q和作用下的弯矩图M图，求得：图由于中轴两侧对称，因此可取单侧计算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = alealeM图而对于1P：1P =2 =2 = 根据：X1- =0从而得：X1=根据下图，可知：ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1qX2X3X2=X3； X1+X2+X3=qle从而求得：X

3、2=X3=对于截取的隔离体做顺时针旋转的剪力为正，做逆时针旋转的剪力为负，则剪力图如下：alealeQ图（kN）当x从左侧向支座X2增加时：当x从X2向支座X1增加时：对上述函数进行求导，得：可知当：时：则弯矩图如下：alealeM图（kNm） 抗弯强度计算根据弯矩图，可计算悬臂梁的最大弯矩，并可知最大正应力在接近跨中位置：=Mmax/Wx = / Wx 抗剪强度计算k由于剪力产生的剪应力沿截面分布不均匀而引用的修正系数，其值与截面形状有关，A为截面面积，则最大剪应力：= 挠度计算对于对称的三支座一次超静定悬臂梁结构，最大挠度会在两个位置形成，一是悬臂梁两边最边缘位置，一是中间支座与边缘支座之

4、间某一位置，挠度最大值即是这两位置中的最大值。ale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1P为求得最大位移，先求在荷载P作用下的弯矩图图，以支座X2为坐标原点，设P的作用点距离支座X2的距离为y，y取值范围为：-（0.5-a）le，ale：alealeX1根据一次超静定结构的力法基本方程：11X1+1P=0进行求解，为了计算，分别绘出基本结构在X1=1作用下的弯矩图图及荷载q和作用下的弯矩图M图，求得：图在X1=1作用下的弯矩M有：当0xale时：当alex2ale时：由于中轴两侧对称，因此可取单侧计算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而对于1P：alealeP=1当-（0.

5、5-a）lexy时：当yx+（0.5+a）le时：1P = 则有：解得：以X2支座为坐标原点，根据M=0，可知：解得：根据Q=0，可知：X1+X2+X3=Pale（0.5-a）lealele（0.5-a）leX1PX3X2从而求得超静定梁距X2支座x的截面上的弯矩M（x）：当0xy时：当yxale时：当alex2ale时：当P=1时的弯矩图如下：alealeX1P=1X3X2而对于1P，在均布荷载q作用下，当x从左侧向支座X2增加时：当x从X2向支座X1增加时：而当x从支座X1增加到X3时，其直接推理的计算公式很复杂，但如果计算x从X3向支座X1增大时的弯矩，则简单很多，而此段的单位位移弯矩为

6、：当0xale时：而其均布荷载弯矩公式依然是：则：1P = 对上述公式进行求导，得：设其值为等于0，用渐近法求解，则可求得y，从而求得最大挠度。同理，单位力P=1位于端点时：为求得伸臂梁两端的挠度，须先求单位力P=1位于端点时的弯矩，如想先求得P=1位于伸臂梁端时的弯矩图，则需知道各支座反力，各支座反力的求法如下：alealeX1图在X1=1作用下的弯矩M有：当0xale时：当alex2ale时：由于中轴两侧对称，因此可取单侧计算后再乘以2，因此有：11=2 =2 = 而对于1P：alealeP=1当x从端点变化到支座X2时：当x从支座X2变化到支座X1时：1P=根据11X1+1P=0，得：从而求得：alealeP=1在P=1作用下各段弯矩表达式：当x在-（0.5-a）le至X2之间时：当x在X2至X1之间时：当x在X3至X1之间时，并由X3向X1增大时：而对于1P，在均布荷载q作用下，当x从左侧向支座X2增加时：当x从X2向支座X1增加时：而当x从支座X1增加到X3时，其直接推理的计算公式很复杂，但如果计算x从X3向支座X1增大时的弯矩，则简单很多，而此段的单位位移弯矩为：而其均布荷载弯矩公式依然是：则：1P = 三、结束语根据受力计算公式，可求最大正应力，最大剪应力，及悬臂梁两边及跨中的最大挠度。当这些计算结果都符合规范要求时，其力学验算通过，才能使