金融工程课件第9章期权估价原理

1、1期权估价原理期权估价原理2一、复制原理一、复制原理 二、套期保值原理二、套期保值原理 三、风险中性原理三、风险中性原理 四、四、Black-Scholes 定价模型定价模型 五、二叉数五、二叉数 期权定价模型期权定价模型 3一、复制原理一、复制原理 复制原理的基本思想复制原理的基本思想是是：构造一个股票和：构造一个股票和借款的适当组合，使借款的适当组合，使得无论股价如何变动，得无论股价如何变动，投资组合的损益都与投资组合的损益都与期权相同，那么创建期权相同，那么创建该投资组合的成本就该投资组合的成本就是期权的价值。是期权的价值。4【例1】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票

2、为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%，试确定该看涨期权的价格？解：（1）先确定6个月后可能的股票价格5S0表示当前股票价格，Su表示上升后的股价，Sd表示下降后的股价，u为股价上行乘数，d为股价下行乘数（2）确定看涨期权的到期日价值6（3）建立对冲组合 股票与借款的组合： 0.5股的股票股的股票18.38元借款（半年利率元借款（半年利率2%）（）（为什么呢？为什么呢？）投资组合的收入 股票到期日价格股票到期日价格66.6637.5组合中股票到期日组合中股票到期日收入收入66.660.533

3、.3337.50.518.75减：组合中借款本利和偿还18.381.0218.7518.75（本利和）（本利和）到期日收入合计到期日收入合计14.5807结论结论 该组合的到期日净收入分布与购入看涨该组合的到期日净收入分布与购入看涨期权一样。期权一样。看涨期权的价值该投资组合成本看涨期权的价值该投资组合成本（现金流出）购买股票的支出借款（现金流出）购买股票的支出借款50500.50.518.3818.386.626.62（元）（元）核心思想：核心思想：构造投资组合的净收入分布和期权的净收构造投资组合的净收入分布和期权的净收入分布一致，从而达到复制的效果。入分布一致，从而达到复制的效果。8二、套

4、期保值原理二、套期保值原理 如何确定股票和借款的数量？如何确定股票和借款的数量？在上例中，两个方案在经济上是等在上例中，两个方案在经济上是等效的。如果调整一个方案的方向效的。如果调整一个方案的方向购购入入0.5股股票，卖空一股看涨期权，就应股股票，卖空一股看涨期权，就应该能够实现完全的套期保值。（关于借该能够实现完全的套期保值。（关于借款，由于是无风险利率借款，因此，这款，由于是无风险利率借款，因此，这里只是起一个数字上的平衡作用）里只是起一个数字上的平衡作用）9交易策略当前（0时刻）到期日Su66.66到期日Sd37.5购入0.5股股票HSo0.55025HSu0.566.6633.33HS

5、d0.537.518.75抛出1股看涨期权CoCu14.58Cd0合计净现金流量Co2518.7518.7510由于实现了完全的套期保值，因此：由于实现了完全的套期保值，因此：股价上行时的现金流量股价下行时的现金流量股价上行时的现金流量股价下行时的现金流量 HSuCuHSdCd 将上例数字代入，可以计算出将上例数字代入，可以计算出H0.5第一个问题解决了，借款数量怎么确定？第一个问题解决了，借款数量怎么确定？ 由于看涨期权在股价下跌时不会被执行，组合的现由于看涨期权在股价下跌时不会被执行，组合的现金流量仅为股票出售收入，在归还借款后，组合的最终金流量仅为股票出售收入，在归还借款后，组合的最终现

6、金流量（净收入）为现金流量（净收入）为0，因此，股价下行时的股票出，因此，股价下行时的股票出售收入，即为借款的本利和。售收入，即为借款的本利和。借款数额借款数额（12%）0.537.5（元）（元）借款数额（借款数额（0.537.5）/1.0218.38（元）（元）借款（到期日下行股价借款（到期日下行股价套期保值比率）套期保值比率）/（1年无风险利率年无风险利率 时间时间）11复制组合原理计算期权价值的基本步骤复制组合原理计算期权价值的基本步骤（针对看涨期权）（针对看涨期权）（1）确定可能的到期日股票价格）确定可能的到期日股票价格上行股价股票现价上行股价股票现价上行乘数上行乘数下行股价股票现价下

7、行股价股票现价下行乘数下行乘数（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值）根据执行价格计算确定到期日期权价值股价上行时期权到期日价值上行价格执行价格股价上行时期权到期日价值上行价格执行价格股价下行时期权到期日价值股价下行时期权到期日价值0（3）计算套期保值比率）计算套期保值比率套期保值比率期权价值变化套期保值比率期权价值变化/股价变化股价变化（4）计算投资组合成本（期权价值）计算投资组合成本（期权价值）购买股票支出套期保值比率购买股票支出套期保值比率股票现价股票现价借款（到期日下行股价借款（到期日下行股价套期保值比率）套期保值比率）/（1无风险利无风险利 率）率）期权价值投资组合成本购买股票支出

8、借款期权价值投资组合成本购买股票支出借款12【例例1】假设甲公司股票现在的市价为假设甲公司股票现在的市价为10元，有元，有1股以该股票为标的资产的看涨股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为期权，执行价格为12元，到期时间是元，到期时间是9个月。个月。9个月后股价有两种可能：上升个月后股价有两种可能：上升25%或者降低或者降低20%，无风险利率为每年，无风险利率为每年6%。现在打算购进适量的股票以及借入。现在打算购进适量的股票以及借入必要的款项建立一个投资组合，使得该组合必要的款项建立一个投资组合，使得该组合9个月后的价值与购进该看涨期权相个月后的价值与购进该看涨期权相等。要求：（结果均保留

9、两位小数）等。要求：（结果均保留两位小数）（1）确定可能的到期日股票价格；）确定可能的到期日股票价格；（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值；）根据执行价格计算确定到期日期权价值；（3）计算套期保值率；）计算套期保值率； （4）计算购进股票的数量和借款数额；）计算购进股票的数量和借款数额；（5）根据上述计算结果计算期权价值；）根据上述计算结果计算期权价值；13解解：（：（1）确定可能的到期日股票价格）确定可能的到期日股票价格 上行股价上行股价10（125%）12.5（元）；下行股价（元）；下行股价10（120%）8（元）（元）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值；）根据执行价格计算确定到

10、期日期权价值； 股价上行时期权到期日价值上行股价执行价格股价上行时期权到期日价值上行股价执行价格12.5120.5（元）（元） 股价下行时期权到期日价值股价下行时期权到期日价值0（3）计算套期保值率；）计算套期保值率； 套期保值比率期权价值变化套期保值比率期权价值变化/股价变化（股价变化（0.50）/（12.58）0.11（4）计算购进股票的数量和借款数额；）计算购进股票的数量和借款数额； 购进股票的数量套期保值比率购进股票的数量套期保值比率0.11（股）（股）借款数额（到期日下行股价借款数额（到期日下行股价套期保值比率）套期保值比率）/（16%9/12）（80.11）/（14.5%）0.84

11、（元）（元）（5）根据上述计算结果计算期权价值；）根据上述计算结果计算期权价值； 期权价值购买股票支出借款期权价值购买股票支出借款100.110.840.26（元）（元）14【练习练习】ABC公司股票现在的市价为公司股票现在的市价为100元，有元，有1股以该股票为标的资产的看涨股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为期权，执行价格为102元，到期时间是元，到期时间是3个月。个月。3个月后股价有两种可能：上升个月后股价有两种可能：上升10%或者降低或者降低10%，无风险利率为每年，无风险利率为每年4%。要求：（结果均保留两位小数）要求：（结果均保留两位小数）（1）确定可能的到期日股票价格；）确

12、定可能的到期日股票价格；（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值；）根据执行价格计算确定到期日期权价值；（3）计算套期保值率；）计算套期保值率； （4）计算购进股票的数量和借款数额；）计算购进股票的数量和借款数额；（5）根据上述计算结果计算期权价值；）根据上述计算结果计算期权价值；15三、风险中性原理三、风险中性原理 风险中性原理的基本思风险中性原理的基本思想是想是：假设投资者对待：假设投资者对待风险的态度是中性的，风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承要额外的收益补偿其承

13、担的风险。在风险中性担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。获得现金流量的现值。16三、风险中性原理三、风险中性原理在这种情况下，期望报酬率应符合下列公式：在这种情况下，期望报酬率应符合下列公式：期望报酬率（上行概率期望报酬率（上行概率上行时收益率）（下行概率上行时收益率）（下行概率下行时收益率）下行时收益率）根据这个原理，在期权定价时，只要先求出期权执行日的期望值，然后，根据这个原理，在期权定价时，只要先求出期权执行日的期望值，然后，使用无风险利率折现，就可以求出期权的现值。使用无风险利率折现，就可以求出期权的现

14、值。 风险中性原理计算期权价值的基本步骤风险中性原理计算期权价值的基本步骤1.确定可能的到期日股票价格确定可能的到期日股票价格2.根据执行价格计算确定到期日期权价值根据执行价格计算确定到期日期权价值3.计算上行概率和下行概率计算上行概率和下行概率期望报酬率（上行概率期望报酬率（上行概率上行时收益率）（下行概率上行时收益率）（下行概率下行时收益率）下行时收益率）4.计算期权价值计算期权价值期权价值（上行概率期权价值（上行概率上行时的到期日价值下行概率上行时的到期日价值下行概率下行时的到期日下行时的到期日价值）价值）/（1r T）17【例例1】假设假设ABC公司的股票现在的市价为公司的股票现在的市

15、价为50元。有元。有1股以该股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间元，到期时间是是6个月。个月。6个月后股价有两种可能：上升个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低，或者降低25%。无风险利率为每年。无风险利率为每年4%，试确定该看涨期权的价格？，试确定该看涨期权的价格？解：解： 期望回报率期望回报率2%上行概率上行概率33.33%下行概率下行概率（25%） 解得：上行概率解得：上行概率0.4629下行概率下行概率10.46290.5371期权期权6个月后的期望价值个月后的期望价值0.462914.580.537106.75

16、（元）（元）期权的价值期权的价值6.75/（12%）6.62（元）（元）18【练习练习】ABC公司股票现在的市价为公司股票现在的市价为100元，有元，有1股以该股票为标的资产的看涨股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为期权，执行价格为102元，到期时间是元，到期时间是6个月。个月。6个月后股价有两种可能：上升个月后股价有两种可能：上升10%或者降低或者降低10%，无风险利率为每年，无风险利率为每年4%。要求：根据风险中性原理计算该期权的价值要求：根据风险中性原理计算该期权的价值19四、四、Black-Scholes 定价模型定价模型 20在我们学习布莱克斯科尔斯期权定价模型之前，先来看一看

17、金融资产定价问题的发展历程吧！我是怎样为期权定价的？21 金融资产的定价问题（asset pricing）是现代金融财务理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融产品（如债券）其价格是通过净现值方法来确定的。人们为什么不用此方法对期权进行定价呢？ 其主要原因是，运用净现值方法需要事先确定一个适当的折现率，即资本成本和未来的现金流。按照财务管理理论，该折现率的大小应该和投资风险的大小呈正比例，也就是它应该由无风险利率和风险溢价组成。对期权来讲，其风险究竟有多大？如何计算出风险溢价以及未来的现金流都是比较难以解决的问题。 既然现金流和折现率的方法不行，那么人们只有另僻蹊径。22 关于期权定价的研

18、究最早可以追溯到1900年。当时，法国有位不太出名的天才巴切列尔，他在其博士论文TheTheory of Speculation中首次给出欧式买权的定价公式。当他建立模型时有3个假设与现实不符：股票的价格服从正态分布；他认为在离到期日足够远的时候，买权价值可以大于标的股票的价值，这显然不可能；他假设股票的期望收益率为0，这也违反股票市场的实际情况。 尽管如此，巴切列尔的研究结果（特别是他提出的效率市场概念），还是为后人的研究指出了方向。23 在巴切列尔的研究基础上，1964年斯普论科尔提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。 1965年，著名经济学家萨缪

19、尔森把上述结果综合到一个模型中。1969年，他与其研究生莫顿合作，提出期权价格作为标的股票价格的函数思想。 20世纪60年代末期，布莱克在哈佛大学数学系完成博士学位后，到了波士顿的一家管理公司Arthur Little公司，在这里他认识了年轻的教师斯科尔斯，两人开始合作研究期权问题，并找到期权定价的突破点。即构造一个股票与无风险债券的组合，使得无论未来标的资产的价格如何变化，其收益分布与期权分布一致。24 根据上述基本思路，布莱克和斯科尔斯得到描述期权价格变化所满足的微分方程，即B-S模型方程。在求解这一方程时，他们遇到一定的困难。但幸运的是，布莱克发现这一微分方程从形式上看与描述热传导的微分

20、方程相同，而后者的解已经由物理学家得到，他们得出了期权定价模型的解系解，这就是B-S模型。25期权定价的发展过程期权定价的发展过程1965年萨缪尔森提出综合模型1964年波恩斯引入货币时间价值1900年巴切列尔首次给出买权公式1973年B-S模型产生1969年莫顿期权是股价的函数思想options26证券价格的变化过程证券价格的变化过程 期权定价采用的是相对定价法，即相对于证券的价期权定价采用的是相对定价法，即相对于证券的价格来定价，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的格来定价，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。目前，学术界普遍用随机过程（变化过程。目前，学术界普遍用随机过程（

21、Stochastic Process）来表述。）来表述。一、布朗运动一、布朗运动 布朗运动（布朗运动（Brownian Motion）起源于物理中对浸泡）起源于物理中对浸泡于液体中的小粒子运动的描述，以发现该现象的英国科于液体中的小粒子运动的描述，以发现该现象的英国科学家罗布特学家罗布特布朗命名，而真正用于描述布朗运动的随布朗命名，而真正用于描述布朗运动的随机过程的定义是数学家维纳（机过程的定义是数学家维纳（Wiener）给出的，故布朗）给出的，故布朗运动也称维纳过程。运动也称维纳过程。27证券价格的变化过程证券价格的变化过程（一）标准布朗运动（一）标准布朗运动 设设 表示一个很小的时间长度，

22、表示一个很小的时间长度， 表示变量表示变量 在在 时间内时间内的变化，标准的布朗运动的的变化，标准的布朗运动的 具有两个特征：具有两个特征：（1） 和和 满足如下关系：满足如下关系： 其中，其中， 代表均值为代表均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布的标准正态分布 。 显然，显然， 也服从正态分布，其均值为也服从正态分布，其均值为0，方差为，方差为 。（2）对于任何两个不同时间间隔）对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。的值相互独立。 在一个较长的时间在一个较长的时间T 内，标准布朗运动满足内，标准布朗运动满足tzztzztzt zttz1()(0),NiiTz TztNt28证券价格

23、的变化过程证券价格的变化过程 由以上假设我们可以发现两个特征：由以上假设我们可以发现两个特征：（1）在任意长度的时间间隔）在任意长度的时间间隔T内，遵循标准布朗运动的内，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为变量的变化值服从均值为0，方差为，方差为T的正态分布；的正态分布；（2）对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而）对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性；标准差不具有可加性；特别的，当特别的，当 时，我们可以得到极限形式下的时，我们可以得到极限形式下的标准布朗运动标准布朗运动 0z d zd t29证券价格的变化过程证券价格的变化过程（二）普通布朗运动二）普通布朗

24、运动 为了得到普通的布朗运动，我们引入：漂移项和方差率的概念。为了得到普通的布朗运动，我们引入：漂移项和方差率的概念。漂移项漂移项（Drift Rate）指单位时间内）指单位时间内z均值的变化值。方差率均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。）是指单位时间的方差。 变量变量 的普通布朗运动遵循如下微分方程的普通布朗运动遵循如下微分方程其中：其中：a和和b均为常数，均为常数， 遵循标准布朗运动。这一过程指出变量遵循标准布朗运动。这一过程指出变量 关于时间和关于时间和 的动态过程。的动态过程。 为漂移率，为漂移率， 为方差率为方差率dzdxadtbdzxxdza2b3

25、0证券价格的变化过程证券价格的变化过程二、伊藤过程和伊藤引理二、伊藤过程和伊藤引理（一）伊藤过程（一）伊藤过程 普通的布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把普通的布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把 的漂移率的漂移率和方差率当做和方差率当做 和时间和时间 的函数，则我们可以得到如下的伊藤过的函数，则我们可以得到如下的伊藤过程（程（Ito Process）：）： 其中：其中： 是一个标准布朗运动。是一个标准布朗运动。 是变量是变量 和和 的函数，的函数，变量变量 的漂移率为的漂移率为 ，方差率为，方差率为dz( , )( , )dxa x t dtb x t dzxxx, a bttx( ,

26、)a x t2( , )b x t31证券价格的变化过程证券价格的变化过程（二）无收益证券的价格变化过程（二）无收益证券的价格变化过程 证券价格的变化过程可以用漂移率为证券价格的变化过程可以用漂移率为 ，方差率为，方差率为 的的伊藤过程来表示，伊藤过程来表示， 表示证券价格，表示证券价格， 表示以连续复利表示的表示以连续复利表示的期望收益率，期望收益率， 表示证券收益率的标准差，又称证券价格的波动率表示证券收益率的标准差，又称证券价格的波动率（volatility），则），则由于由于 服从正态分布，故服从正态分布，故 也服从正态分布，即也服从正态分布，即d ssdSSdtSdzSdz22S2(

27、,)dSNdtdtSd Sd td zSS32证券价格的变化过程证券价格的变化过程例例1、某种不支付红利股票的价格变化过程遵循几何布朗运动，其、某种不支付红利股票的价格变化过程遵循几何布朗运动，其波动率为每年波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前，其目前的市价为的市价为100元，求一个月后该股票价格变化元，求一个月后该股票价格变化S S的概率分布？的概率分布？解：已知解：已知 ， 其股价变化过程为：其股价变化过程为： 即即 则一个月等于则一个月等于0.083年，因此年，因此即一月后股价变化服从即一月后股价变化服从0 . 20 . 1 8d

28、sS d tSd t1 0 0 (0 .20 .0 8 30 .1 80 .0 8 3 )1 .6 65 .1 8 6d s2(1.66,5.186 )SN0 . 20 . 1 8d sd td zs0 .20.1833证券价格的变化过程证券价格的变化过程（三）伊藤引理（三）伊藤引理 在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量 服从服从伊藤过程，则变量伊藤过程，则变量 和和 的函数的函数 服从如下随机过程：服从如下随机过程：其中其中 是标准的布朗运动，由上式可知，函数是标准的布朗运动，由上式可知，函数 也遵循伊也遵循伊藤过程，它的漂移率为：藤过程，

29、它的漂移率为：方差率为方差率为2()fbx2221()2ffffd fabd tb d zxtxxdz22212fffabxtxx( , )f x ttx( , )f x t34布莱克斯科尔斯定价模型的假设布莱克斯科尔斯定价模型的假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本）股票或期权的买卖没有交易成本（3）短期的无风险利率）短期的无风险利率f是已知的，并且在期权寿命期是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数）任何

30、证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金量的资金（5）允许卖空，卖空者将立即得到卖空股票当天价格的）允许卖空，卖空者将立即得到卖空股票当天价格的资金；资金；（6）看涨期权只能在到期日执行（欧式期权）；）看涨期权只能在到期日执行（欧式期权）；（7）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格S服从服从几何布朗运动。几何布朗运动。35Black-Scholes微分方程微分方程（一）（一）B-S微分方程的推导微分方程的推导由于我们假设证券价格由于我们假设证券价格 遵循几何布朗运动，因此有遵循几何布朗运动，因此有又假设又假设 是依赖于是依赖于 和和 的衍生证券

31、的价格的衍生证券的价格 ，则，则由伊藤引理可得：由伊藤引理可得：上面两式中的上面两式中的 都相同，都等于都相同，都等于 ，因而只要选择适当，因而只要选择适当的衍生证券和标的股票的组合就可以消除未来短期内的不确定的衍生证券和标的股票的组合就可以消除未来短期内的不确定性。性。d SS d tS d zdz22221()2ffffd fSSd tS d zStxSxdttS( , )f x tfS36Black-Scholes微分方程微分方程为了消除产生不确定性的为了消除产生不确定性的 ，我们可以构建一个包括，我们可以构建一个包括一单位衍生一单位衍生证券空头和证券空头和 单位标的股票多头单位标的股票

32、多头的投资组合。的投资组合。令令 代表该投资组合的价值（也可以理解为购买该投资组合的代表该投资组合的价值（也可以理解为购买该投资组合的净支出），则净支出），则在时间在时间 后，该组合的价值变化后，该组合的价值变化 为：为：将将 ，以及，以及 的表达式代入上式可得的表达式代入上式可得dtffSS dzfddfdSS xfs22221()2ffdSdttS ddSSdtSdzdf37Black-Scholes微分方程微分方程由于上式中不含有由于上式中不含有 ，该组合的价值在一个小时间间隔，该组合的价值在一个小时间间隔 中中必定是没有风险的，因而该组合在必定是没有风险的，因而该组合在 中的瞬间收益率

33、一定等于中的瞬间收益率一定等于 中无风险收益率，否则的话，套利者可以通过套利获得无风中无风险收益率，否则的话，套利者可以通过套利获得无风险收益率。故在无套利均衡定价理论的条件下有：险收益率。故在无套利均衡定价理论的条件下有：结合上面推导的结果：结合上面推导的结果：我们可得我们可得dtdzdtd t22221()2ffdSdttS drdt 22221()()2fffSdtrfS dttSS38Black-Scholes微分方程微分方程将上式化简可得：将上式化简可得： 这就是著名的这就是著名的Black-Scholes微分方程，它适用于其价格取决于标微分方程，它适用于其价格取决于标的股票价格的股

34、票价格 和时间和时间 的所有衍生证券的定价。的所有衍生证券的定价。 需要注意的是，当需要注意的是，当 和和 都变化时，都变化时， 的值也会变化，因而的值也会变化，因而上述投资组合的价值并不是永远无风险的，其只在一个很短的时间间上述投资组合的价值并不是永远无风险的，其只在一个很短的时间间隔隔 中才是无风险的。在一个较长的时间内，要保持该投资组合无中才是无风险的。在一个较长的时间内，要保持该投资组合无风险，需要根据风险，需要根据 的变化而相应调整标的股票的数量。当然，推导的变化而相应调整标的股票的数量。当然，推导B-S微分方程不要求调整标的股票的数量，因为其只关心微分方程不要求调整标的股票的数量，

35、因为其只关心 的变化。的变化。fsSttSdt222212fffrSSrftSSdtfs39欧式看涨期权定价公式欧式看涨期权定价公式12()()rTCSN dXeN d2121ln()()2;S XrTdddTT其中：C欧式看涨期权的价格；S期权标的股票的现行价格X期权的敲定（协定）价格； r无风险年利率；N（d）=标准正态分布中离差小于d的概率T=期权到期日前的时间（年）；e是自然对数的底数，e2.7183ln(x)自然对数函数 ； =股票回报率的标准差40例1：DEF公司股票的当前市值为25元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权的协定价格为23元，期权合约为6个月，已知该股票收益率的方差为0

36、.25，市场无风险利率为6，根据以上资料，应用B-S模型计算该看涨期权的价格。解：已知 S=25, X=23, T=0.5, =0.5, r0.06121ln(25 23)(0.060.25)0.50.17620.50.3540.250.50.50.250.50.15dd41查表确定N（d1）和N（d2）221( )(0)2xtxedtxx标准正态分布函数值表标准正态分布函数值表 0.000.010.020.030.040.050.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.30.6

37、1790.62170.62550.62930.63310.63680.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.50.69150.69500.69850.70190.70540.7088查表得： 12()(0.5)0.6915,()(0.15)0.5596N dNN dN4225ln()0.083230.06 0.51.03e， 另外：计算看涨期权的价格为：120.06 0.5( )()25 0.6915 230.55964.8rtCSN dKe N de（元）43作业： 已知甲股票现行的市价为100元，以该股票为标的的欧式看涨期权的敲定价格为105元，有效期为半年，无风险收益率为20，甲股票收益率波动的标准差为5，求该股票欧式看涨期权的价格为多少？448.2.4期权的平价关系期权的平价关系 看跌看涨平价关系是指看跌期权与看涨期权的价格，必须维持在无套利机会的均衡水平的价格，如何这一价格关系被打破，则在这两种价格之间存在无风险的套利机会，于是通过套利行为可以将不正常的价格关系拉回到正常价格。 经过推导（参见教材P186），人们发现：