概率论基础复旦第二章

1、概率论基础复旦第二章2.1 条件概率条件概率 在第一章计算任何事件的概率都是在实验条件下考虑问题，而在实际中，人们在考虑某一事件概率问题时不仅要考虑实验条件，而且还要考虑一些附加条件，如在一个事件发生下考虑另一个事件发生的概率。我们称前者为无条件概率，后者称为条件概率。).(,BAPABBBA记为的概率即使条件概率，发生下，事件件在事的概率不为零，那么，为两个事件，事件设 由于无条件概率和条件概率实在不相同条件下所确定的概率，因此，一般情况下二者的值是不尽同的，它们是不可比的，只能针对不同的情况考虑它们的大小关系。下面通过一个实例来看看二者间的差异。 例例2.1 假定生男生女是等可能。若已知某

2、一个家庭有俩孩子，求这个家庭有一个男孩，一个女孩的概率；若已知这个家庭至少一个女孩，求这家有一个男孩，一个女孩的概率。 解：解：设 表示“这个家庭有一个男孩，一个女孩”； 表示“这个家庭至少一个女孩”。 于是，所求概率分别AB)(, )(BAPAP由题意知样本空间和事件分别可表示为 所以有 ),(), ),(),(),(), ), ),(女女男（女女男男女女男女（女男（女女）（男男男BA32)(21)(BAPAP过程可进行如下转换中注意：求解例)(2.1BAP)()(4/34/232)(BPABPBAP 虽然，这个公式是以一个特例形式引入的，但可以证明，对第一章所讲的确定概率方法，该公式总是成

3、立的。 条件概率的概念条件概率的概念发生的条件概率。发生条件下事件为事件并称，记则对于任意，而且是一个概率空间，设ABBAPBPABPBAPABPBPDef)()()()(0)(),()(1)()4(BAPBAP)()()()()5(CABPCBPCAPCBAP等概率性质均成立。 概率 与概率 的区别和联系 联系：它们都是在 发生下求概率。 区别：求 时，事件 同时发生； 而求 时，事件 先发生，事件 后发生；)(ABP)(BAPBA,)(ABPBA,)(BAPBA 条件概率的性质条件概率的性质 条件概率具有概率的一切性质，譬如：0)() 1 (BAP1)()2( BP11)()()3(iii

4、iAPBAP 求 时，样本空间为 ；而求 时，样本空间为 ，即样本空间发生变化，如图所示。 一般总有 成立，但 与 不可比 3. 条件概率的计算 一般利用条件概率的定义转化为无条件概率计算； 对于具有等可能性的古典概型、几何概型采用压缩样本空间法计算，即用下式计算：)(ABP)(BAPB()()P A BP AB AB()P AB(|)P A B图B A)()()(BABBAPB发生条件下，A发生的次数或度量 B发生的次数或度量)(BAP)(AP 例例2.2 某种动物出生之后能活到20岁的概率为，能活到25岁的概率为， 已知现有一只年龄为20岁的这种动物，求其能继续活到25岁的概率。 解：解：

5、设 表示“该动物能活到20岁”； 表示“该动物能活到 25岁”。 显然有 ，由题设条件知： 由于有 ，由条件概率的定义有即年龄为20岁的这种动物，能继续活到25岁的概率为。 注意：该题是一个典型的利用条件概率定义式将条件概率计算问题转化为无条件概率的解题方法。 应用这种方法计算条件概率时，一定要注意概率 与概率 的区别和联系，而且概率 和概率 要容易求算。ABAB ( )0.7, ( )0.56P AP BBAB ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP A)(ABP)(BAP)(ABP)(AP 例例设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品。

6、从中任取1件，试求解下列问题： （1）取得一等品的概率； （2）已知取得的是合格品，其是一等品的概率。 解：解：设 表示取得一等品， 表示取得合格品，则有 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 （2）所求概率为 ，由古典概型易知 从而由条件概率定义有 注意：该题的第二问也可以采用压缩样本空间法求解。AB70( )0.7100P A 10095)(,10070)(BPABP)(BAP7368. 09570)()()(BPABPBAP 例例2.4 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞。求所抽出2张都是假钞的概率。 解：解：设 表示“抽出的

7、2张都是假钞”； 表示“抽出的2张中至少有1张假钞”。 显然有 ，所求概率为 。 由古典概型有 所以ABBABAP220115152522025)()(CCCCBPCCAPABP8510)()(115152525CCCCBPABPBAP例例2.5 体检发现，某地区自然人群中，每10万人内平均有40人还原发性肝癌，有34人甲胎球蛋白含量高，有32人患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白含量高。现从这一地区随机抽查一人，发现其甲胎球蛋白量高，求其患原发性肝癌的概率有多大？若在这个人群中，已知一人患原发性肝癌，求该人甲胎球蛋白含量高的概率？)(),(ABPBAPBA于是，所求概率分别为含量高”表示“所抽人甲球

8、蛋白肝癌”表示“所抽人患原发性解：设8 . 0)()()(,9412. 0)()()(00032. 0)(,00034. 0)(,0004. 0)(APABPABPBPABPBAPABPBPAP由题设知 概率乘法公式概率乘法公式 利用条件概率定义容易获得积事件概率的计算公式，即概率乘法公式 设 为随机试验 的任意两个事件，且满足 和 ，则有 概率乘法公式可以推广到任意有限个事件积情况： 设 任意 个事件，且 ，则必成立： 个事件的概率乘法公式并不只有上面这种形式。 事实上，对于 事件 ，这样形式的公式一定有 个。请大家对 的情况写出这些公式，并注意观察其规律。BA,E0)(AP0)(BP0)(

9、)()(0)()()()(BPBAPBPAPABPAPABPnAAA,21n121()0nP A AA)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPnnnAAA,21! n3n 例例2.6 在一批产品中，甲厂生产的产品占60%，根据以往的经验，甲厂产品的次品率为10%，现从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。 解：解：设 表示事件“产品是甲厂生产的”； 表示事件“产品是次品”。 由题设知 概率的乘法公式有 例例1.21 某人打算外出旅游两天, 需要知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为，第二天下雨的概率为，两天都下雨的概率为0

10、.1. 求第一天下雨时，第二天不下雨的概率. 解：解：设 与 分别表示第一与第二天下雨，于是AB%60)(AP%10)(ABP%6%10%60)()()(ABPAPABP1A2A656 . 01 . 06 . 0)()()()()()(121112112APAAPAPAPAAPAAP例例2.7 甲、乙、丙3位求职者参加面试，每人的试题通过不放回抽取方式确定。假设被抽的10个试题卡中有4个是难题卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序进行。试求解下列事件的概率：（1）甲抽到难题卡；（2）甲没抽到难题签而乙抽到难题卡；（4）甲、乙、丙都抽到难题卡。 解：解：设 分别表示“甲、乙、丙抽到难题卡” ， 于是

11、，所求概率分别为 CBA,3018293104)()()()(15494106)()()(52104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPAP全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 在计算较复杂的事件的概率时，根据事件在不同原因或不同情景下发生，将它分解成若干互斥事件的和，进而分别计算概率，然后求和。这就是全概率公式全概率公式所体现的思想，全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一些复杂事件的概率计算问题得以化简。贝叶斯公式贝叶斯公式则是在已知一事件发生下，重新认识导致该事件发生的原因事件的概率，即有了试验结果后对原因事件认识的调整。 全概率公式全概率公式 定理：定理：设 为互斥

12、事件完备群， 为任意事件，且 ，则有该公式称为全概率公式。 证明 因为 为互斥事件完备群，必有 kAAA,21BkiAPi, 2 , 10)(kiiiABPAPBP1)()()(kAAA,21kjijiAAAAAjik, 2 , 1,21 于是有 且有 两两互斥，所以有 从证明过程不难看出，全概率公式在较弱的条件下也是成立的。 全概率公式的推广形式：设 为一组两两互斥事件，为任意事件， ， ，则有BABABAAAABBBkk2121)(BABABAk,21kiiinkkkABPAPABPAPABPAPBAPBAPBAPBABABAPBP1112121)()()()()()()()()()()(

13、kAAA,21BiiABkiAPi, 2 , 10)(kiiiABPAPBP1)()()( 例例2.8 为了掌握一支股票未来一定时期内价格的变化，人们往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。人们根据经验估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。 解：解：设 表示“利率下调”，那么 为“利率不变” ， 表示 “股票价格上涨”。 据题设知 于是有AAB%60)(AP%40)(AP%80)(ABP%40)(ABP64. 040. 040. 0

14、80. 060. 0)()()()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP 例例2.9 设播种用小麦种子中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占，2，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 解：解：设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是 ，则它们构成互斥完备事件群，又设 表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，于是，由题设条件有则由全概率公式： 4321,AAAAB%1)(%5 . 1)(%2)(%5 .95)(4321APAPAPAP05. 0)(10. 0)

15、(15. 0)(5 . 0)(4321ABPABPABPABP4825. 0)()()(41iiiABPAPBP例例2.10 设甲袋有3个白球2个黑球，乙袋有 4个白球 4个黑球，先从甲袋取出2个球放入乙袋， 再从乙袋取出1个球，求该球为白球的概率。白球。表示从乙袋中取出的是；个白球，个球中恰有表示从甲袋取出的解：设AiiAi2 , 1, 0225232251312125220210)(,)(,)(,CCAPCCCAPCCAPAAA不难计算为互斥事件完备群，且于是有110162110151110140)(,)(,)(CCAAPCCAAPCCAAP2513)()()()()()()(221100

16、AAPAPAAPAPAAPAPAP所以贝叶斯公式（逆概率公式）贝叶斯公式（逆概率公式） 定理：定理：设 为互斥事件完备群， 为任意事件，且 ，则有该公式称为贝叶斯公式。其中 成为先验概率， 称为后验概率。 由条件概率定义式和全概率公式不难证明此结果。 贝叶斯公式是1763年由 T. B. Bayes 在他的一篇重要文章（该文章是在他死后，由他的朋友发表的）中提出来的。起初该公式并没有得到应有的重视，直到后来P. S. Gauss 用它推导出“相继律”才引起了人们的研究兴趣，并依次为出发点形成了统计学上重要统计思想贝叶斯统计。贝叶斯公式是先验概率与后验概率转化工具。kAAA,21B0)(, 2

17、, 10)(BPkiAPikiAiBPAPABPAPBAPkiiii, 2 , 1)()()()()(1i)(iAP)(BAPi 例例每箱产品共有10件，在一箱产品中次品件数出现0,1,2件的可能性是均等的。开箱检验时，从中依次抽取两件(不重复)，如果发现有次品，则拒收该箱产品。试计算： （1）一箱产品通过验收的概率； （2）已知一箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率。 解：解：设 表示一箱产品中有 件次品， ； 表示一箱产品通过验收。 于是有 所以有 （1）iAi2 , 1 , 0iB2102822102910)()(1)(2 , 1 , 031)(CCABPCCABPABPiAPi

18、807. 0)()()(20iiiABPAPBP （2） 例例2.12 由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号“”，收到信号“”，“不清”，“-” 的概率分别为；发出信号“-”，收到“”，“不清”，“-”的概率分别为。已知在发出的信号中，“”和“-”出现的概率分别为和， 试分析当收到信号“不清”时，原发信号是“”还是“-”的可能性大？ 解：解：设 表示原发出的信号“”； 表示原发出的信号“-”； 表示收到信号“不清”。于是有257. 0)()|()()|(222BPABPAPBAP1A2AB2121,AAAAB4 . 0)(, 6 . 0)(21APAP16. 0)()()()()(2211AB

19、PAPABPAPBP41)()()()(43)()()()(222111BPABPAPBAPBPABPAPBAP12()0.2()0.1P B AP B A 2.2 事件的独立事件的独立 事件独立的概念事件独立的概念 先看一个例子 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。 设 表示“第一次摸到黑球”； 表示“第二次摸到黑球”。 容易计算得： （1） （2） 从例子可以看出：第一次抽到黑球并没有影响到第二次抽到黑球的概率，即在这个试验中，有 。AB6()0.610P B A ( )0.6P B )()(BPA

20、BP Def 设 为任意两个随机事件，如果满足则称事件 与事件 统计独立，简称独立。，简称独立。 由定义显然有： 事件 与任意事件 相互独立。 如果 ，则有 事件 与事件 相互独立 事件 相互独立的实质是： “ 事件 发生不影响事件 发生的概率。” 事件独立性的判定事件独立性的判定 （1）利用定义判定； （2）利用 或 判定； （3）利用问题的实际意义来判定。BA,)()()(BPAPABPAB,A0)(APAB)()(BPABPBA,AB)()(BPABP)()(APBAP定理：定理：下列四组事件具有相同的独立性 ； ； ； ；证明：证明：这里只证明 相互独立 相互独立。 先证 相互独立 相

21、互独立。 因为 ，且 相互独立， 所以由概率的性质有 即说明 相互独立。 再证 相互独立 相互独立。 因为 ，且 相互独立， 所以由概率的性质有 即说明 相互独立 所以 相互独立 相互独立。 BA,BA,BA,BA,BA,ABABA)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPABPAPABAPBAPBA,BA,BA,BA,BA,BA,BAAABBA,)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPBAPAPBAAPABPBA,BA,BA,BA, 有限多个事件独立性（事件独立性的推广）有限多个事件独立性（事件独立性的推广） Def 设 任意 个事件，如果对所有可能组合满足则称

22、事件 相互独立。如果 只满足 ，则称 两两相互独立。 显然， 相互独立必两两相互独立，但两两相互独立未必相互独立。 例例2.13 设一均匀堆成的四面体，第一面涂为红色，第二面涂为黄色，第三面涂为篮色，第四面红黄蓝三种颜色各涂一部分。旋转上抛，下落到地面后，观察接触地面面的nAAA,21n)()()()()()()()()()()(2121knkjikjijijiAPAPAPAAAPAPAPAPAAAPAPAPAAP2nC3nCnnCnAAA,21nAAA,21)()()(jijiAPAPAAPnAAA,21nAAA,21颜色。记 表示接触地面面有红色； 表示接触地面面有黄色； 表示接触地面面有

23、蓝色。试判断的独立性。 解：解：由题设条件与古典概率定义有 从而 所以， 两两相互独立。 又因为有 所以， 相互不独立41)(41)()()(21)()()(321323121321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP1A2A3A)()()()()()()()()(323231312121APAPAAPAPAPAAPAPAPAAP321,AAA)(4181212121)()()(321321AAAPAPAPAP321,AAA例例2.14 设有一个均匀8面体，其第1面红、白、黑色个涂一部分，第2、3面红、白色个涂一部分，第4面全部涂为红色，第5面全部涂为白色，第6、7、8面全部涂黑色，将其旋转

24、上抛，落到地面后观察与地面接触面上的颜色。若以 表示接触地面面有红色， 接触地面面有白色， 接触地面面有黑色。试确定三个事件的独立性。1A2A3A解：解：由题设条件与古典概率定义有2184)()()(321APAPAP)()(4183)(2121APAPAAP说明三个事件不独立，但有)()()(81)(321321APAPAPAAAP 事件独立性与概率计算事件独立性与概率计算 从事件独立性定义立刻可以看出：若能判定事件是独立的，则许多复杂事件概率计算就可以大大简化。一组相互独立事件中至少有一个事件发生的概率的计算)()()(1)(1)(1)(,21211121nnniiniinAPAPAPAA

25、APAPAPAAA件概率计算：相互独立，则它们和事若系统可靠性计算在生产实践中，人们往往希望知道一个系统的可靠性，即系统正常运行的概率。如果能判定构成系统的元件能否正常工作是独立的，且知道各个元件的可靠性，就不难计算系统可靠性。 例例2.15 一批玉米种子在某地的土壤及气候条件下，出苗率为。如农民采用穴播法播种，为了保证每穴99%以上有苗，问每穴至少播多少粒种子？ 解：解：设每穴至少需播 粒种子， 表示第 粒种子出苗， 表示每穴有苗，则有 相互独立 于是有 ，即有 所以有 ，解得 。niAiB8 . 0)()()(2121nnAPAPAPAAABnAAA,21%99)()()(1)(1)(1)

26、(21212121nnnnAPAPAPAAAPAAAPAAAP01. 0)()()(21nAPAPAP01. 02 . 0n01. 0lg2 . 0lgn38614. 2n 例例2.16 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5% ，如果各道工序之间相互不影响。求加工出来的零件的次品率。 解：解：设 表示加工的 道工序出现次品， ； 表示加工出来的产品是次品。于是有 ， 相互独立。 （解法一） （解法二）0783. 0)()()()()()()()()()()()()()(321323121321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAAAPBPi

27、Ai3 , 2 , 1iB321AAAB%5)(%1)(%2)(321APAPAP321,AAA0783. 0)()()(1)(1)()(321321321APAPAPAAAPAAAPBP例例设系统由可靠性完全相同的若干元件组装而成。已知个元件的可靠性为 ，现有如图所示的甲乙两个系统，试分析比较两系统的可靠性。 r1122nn甲1122nn乙。于是有系统可靠性分别记为；甲乙两正常工作分别记为解：设甲系统各条通路乙甲RRGG,21nnnnrrrrrrrrRrrGGPGPGPGGPRrGPGP)2()2()2)(2(2)()()()()()(2222221212121乙甲2(2)2nnnrrRR乙

28、甲由于当时，总有所以，即乙系统比甲系统可靠。 复合试验与试验的独立性复合试验与试验的独立性).,(,)()2()1(2121)()2(22)1(11nnnnnnEEEEEEEDef，其样本点为试验。其样本空间为成为复合所形成的试验则依次进行试验的样本空间为，试验，空间为的样本，试验的样本空间为设试验。黑反白反，红反黑正白正红正个球，其样本空间为抛掷一枚硬币，再摸一为先，则复合试验黑白红观察颜色样本空间为球的袋子摸出一个球的是从装有红白黑三个，试验反正空间为是抛掷一枚硬币，样本设试验例 ),(),(),(),(),(),(,42.12211EEE是相互独立的。则称随机试验均成立对于任意如果。其样

29、本空间为的复合试验所形成，则试验，其事件域为空间为的样本，试验，其事件域为的样本空间为，试验，其事件域为的样本空间为设试验nnnnnnnnnnEEEAPAPAPAAAPAAAEEEEEEEDef,)()()()(,.,21)()2()1()()2()1()(2)2(1)1(2121222111验。试验是所谓的贝努利试单的重复独立为重复独立试验。最简称复合试验是相互独立，则，且如果个试验一定独立。立，则其中个试验独知：由试验独立性定义和EEEEnmmnninni,)(, 2 , 1,21212.3 贝努利试验与直线上随机游走贝努利试验与直线上随机游走贝努利概型贝努利概型在实践中，人们又是总是关心

30、实验中某一事件A是否发生。例如产品质量抽样检测中注意的是否抽到的次品，在掷硬币试验中注意的是否出现正面等。这种问题归结在以下模型下：,AA事件域取为并称试验出现事件A为“成功”，反之称为“失败”。这种只有两个结果的试验为贝努利(Bernoulli)概型。 贝努利概型可以作为许多实际问题抽象模型。例如：在信息传输中，既要传输英文字母，又要传输其他符号，而我们只关心字母在传输中的比例，而不区分传输的具体是什么字符，则就可以把传输字符看作成功从而将这个问题归结在贝努利概型下讨论。 重贝努利概型重贝努利概型 Def 设 为一随机试验，其仅有结果 和 ，将 独立重复 次形成随机试验 ，则称 为 重贝努利

31、概型。 贝努利概型是一类特殊的随机试验，其特点是： （1）是由简单试验复合而的复合杂试验； （2）基本试验结果是 和 部分或全部形成的长度为 的序列，样本点数为 。 下面以3重贝努利概型为例说明其特点以及与其有关的概率问题。 样本空间： 最关心的问题： 3重贝努利概型 的一次试验中， 出现 次的概率，也即重复3次 ，出现 次 的概率。 显然， 得不同取值为0,1,2,3，所对应的基本结果为： 当 时，就是基本结果 发生；n0EAA0EnEEnAAnn2)(),(),(),()(),(),(),(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAEAk0EkAk0k)(AAA当 时，就是基本结果

32、或 或 发生；当 时，就是基本结果 或 或 发生；当 时，就是基本结果 发生。 所以，若令 ，则有 不难看出以上概率计算时可写为 二项概率式二项概率式 定理：定理：设随机试验 为 形成的 重贝努里概型， 的结果有 和 且 ，则试验 中 发生 次的1k)(AAA)(AAA)(AAA2k)(AAA)(AAA)(AAA3k)(AAA3003 03113 13223 233333 33(0,3,)()( ( )(1,3,)()()()(2,3,)()()()(3,3,)()( ( )bpP AAAP AC p qbpP AAAP AAAP AAAC p qbpP AAAP AAAP AAAC p qb

33、pP AAAP AC p qqAPpAP)()(33( ,3,)0,1,2,3kkkb kpC p qkEn0E0EAAqAPpAP)(,)(EAk概率为 ， 并称该公式为二项概率式。 二项概率式是处理重复试验概率问题的有效工具。 例例2.15 临床统计表明增效联磺片对轻度上呼吸道感染的治愈率为80%，现有10位患轻度上呼吸道感染的患者服用了此药，求10位患者中至少有6位患者病愈的概率。 解：解：设 表示10位患者中有 为患者病愈； 表示10位患者中至少有6位患者病愈。于是有 且 两两互斥 从而有 即10位患者中至少有6位患者病愈的概率约为97%( , ,)0,1,2,kkn knb k n

34、pC p qkniAiB1010()0.8 0.20,1,2,10kkkiP ACk1076AAAB97. 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 0)()()()()(0101010377104661010761076CCCAPAPAPAAAPBP10, 2 , 1iAi 例例2.16 某车间一个工人同时看管4台同类型的机器。已知一段时间内4台机器中至少1台正常工作的概率为，试求在这段时间内机器需要维护修的概率和4台机器中最多1台处于维修状态的概率。 解：解：设 表示4台机器中有 台机器需要维修 ； 表示4台机器中最多1台处于维修状态； 表示这段时间内机器需要维护修的概率

35、。 于是有 所以有 解得iAi4 , 1 , 0 iBp4 , 3 , 2 , 1 , 0)1 ()()(444kppCkPAPkkki0016. 09984. 01)(1)(304iiAPAP9984. 0)(30iiAP0016. 0)()1 (40444APppC2 . 0p8192. 08 . 02 . 08 . 02 . 0)()()(3114400410CCAPAPBP相继相继贝努利概型贝努利概型贝努利试验中，人们有时关心的是首次成功出现在第k次试验的概率。首次成功出现在第k次试验对应的事件AAAAK-1首次成功出现在第k次试验的概率, 2 , 1 , 0)1 ()()(1kppA

36、AAAPkpk这一模型给出了等待事件A出现等待了k次试验的概率。这种概率规律称为几何分布几何分布。下面是一个模型化例子： 一个人要开门，它共有n把钥匙，其中仅有一把能打开门。他随机地选取一把钥匙开门，这人在第s次能把门打开的概率是多少？不难求算出nknnkpk, 2 , 1 , 01)11 ()(1 贝努利试验中，人们有时也关心的是要多长时间才会出现第r次成功的概率。其概率。次试验，并以次成功发生在第第次试验，则显然有次成功发生在第设第),(;prkfkrCrXXrk, 1,)1 (),(11111rrkppCprkfkrkrkCrkrrkk次试验成功。于是失败，而第次次成功，次试验中有发生当

37、且仅当前这一模型给出了要多长时间才会出现第r次成功的概率。这种概率分布规律称为巴斯卡分布巴斯卡分布。 这个分布与著名的分赌注问题有关。这一模型也可以解决巴拿赫火柴盒问题，请大家自己阅读课本p80. 直线上的随机游动直线上的随机游动动。运动称为直线上随机游种动一个单位，质点的这向坐标轴正向或负向移及概率生变化，分别以概率机作用，使位置发生发随它总是受到一个外力的，以后每隔单位时间，数为整处时，它在初始位置顿，在初始时刻它只能在整数点上停轴上有一个质点，假定设ppaatxDef1)(0无限制随机游动有吸收壁随机游动分类分类称为对称随机游动时当pp1直线上无限制随机游动直线上无限制随机游动为便于讨论

38、，不是一般性，假定质点的初始位置在原点。就不可能成立。必须同奇偶，否则与是整数，所以，因为不难解的发生，则有数。于是次游动中向左移动的次在前数，次游动中向右移动的次表示质点在前设的概率。时的位置，我们来确定记质点在时刻以kSknxknyknxkyxnyxkSnynxkSntSnnnn2,20222kSPknqpCkSPknkSnknknknnnn奇偶相异时时，与当同奇偶时，与当成立的概率为从而，贝努利概型推广与多项分布贝努利概型推广与多项分布二项分布计算与泊松分布二项分布计算与泊松分布二项分布计算与性质二项分布计算与性质二项分布计算nkppCpnkbknkkn, 1 , 0)1 (),(nkpnknbpnkb, 1 , 0)1 ,(),(显然，对二项分布成立下式因此，对于二项分布人们仅编制了5 . 0p的表供给算用。例例2.20 一大批电子管有10%已损毁。现从这批电子管中随机选取20只组成电路，问这个电路能正常工作的概率有多大？ 解：解：由题设所选电子管全部完好，电路才能正常工作。而一个电子管完好的概率为，由n重贝努利概型这个电路能正常工作的概率为2002020209 . 01 .