最实用指数函数复习资料(精练+答案)

1、第 1 页 指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（1）概念：若（） ，则称x为a的n次方根， “”是方根的记nxaNnn且 1n号（2）a的n次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根 n为奇数，=a；n为偶数，=|a|=nnanna. 0, 0,aaaa2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义： （注：无意义） ；)0( 10Raaa且00（2）指数幂的运算性质 二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变) 1, 0(

2、aaayx且量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象与性质) 1, 0(aaayx图象0a1第 2 页xOy=1(0,1)xOy=1(0,1)定义域：R值域为：(0,+ ) 过定点：(0,1)，即x=0 时，y=1当时，；0 x10 y当时，0 x1y当时，；0 x1y当时，0 x10 y性质在 R 上单调递减在 R 上单调递增【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题 1：化简：（1）； （2）； （3）77)2(44)3(44)2( a【解析】 （1）； （2）； （3）= 2)2(773)3(4444)2( a. 2,2, 2

3、, 2aaaa【点评】不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，nna要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用本题易错的是第（3）题，往往忽视a与 2 大小的讨论，造成错解例题 2：计算：（1）； （2） 1011230.25610 2323333363【解析】 （1）原式；382032101234 （2）3=33 3 3=3=32=9333632131616131211【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算变式 1：化简：（1）； )31()3)(656131212132bababayy

4、第 3 页（2）；14623)(yxyx)0, 0(yx （3）52 674 364 2【解析】 （1）原式=；)31(3)( 612132a653121baab990 （2）原式；21121622)21(1)21(46)6(31yyxyxyx （3）原式22223223)22()32()23(222【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式变式 2：若，则_ 103x104y210 x y【解析】 494310101010102222yxyxyx【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将、看10 x10y作一个整体，再进行代数运

5、算题型二、指数函数概念、定义域和值域例题 3：下列函数中属于指数函数的有（ ）个（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；xy3213xyxy)3(xy)31(23xy （6）；（7）xy 4xay) 12(A2 B3 C4 D5【解析】选 A只有（4） （6）属于指数函数的形式) 1, 0(aaayx【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别) 1, 0(aaayx要注意函数中是否有表明 的取值范围a例题 4：求下列函数的定义域和值域：（1） 2； （2）()； （3）y=ax-1 (a0，a1) y41xy32|x第 4 页【解析】 （1）令x-40，则x4，所以函数y=2

6、的定义域是xRx4 ，41x又因为0，所以 21，即函数y=2的值域是y|y0 且41x41x41xy1 （2）因为-|x|0，所以只有x=0. 因此函数y=()的定义域是32|xxx=0 而y=()=()0=1，即函数y=()的值域是yy=1 32|x3232|x （3）定义域为 R，因为的值域为，所以的值域xay ), 0( 1xay为), 1(【点评】由于指数函数y=ax,(a0 且a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性例题 5：如图，设a,b,c,d0，且不等于 1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一

7、坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序 【 】A、abcd B、abdcC、badc D、bacd【解析】a1=a 直线x=1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故bad1 时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当0底数5(+aaayx【解析】因为y=ax过点（0，1） ，所以当x=0 时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6） 【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点y=dxy=cxy=bxy=axOyx第 5 页变式 4：已知指数函数的图象过点（） ，, 3（1）求的值； (-3)，(1)，(0)fff（2）利用图像比较三个函数值的大小【解析】 （1）设指数函数f (x)

8、=ax（a0 且a1）因为图象过点（3,） ，所以f (3)=a3=，即a=，f (x)=()x3131 再把 0,1,3 分别代入,得：f (0)=0=1，f (1)=1=，f (-3)=-1=1（2）由图易知f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式 5：当时，函数和的图象只可能是（ ）a 0yaxbaxby 1O1O1O1OA B C D【解析】选项 A 中一次函数，指数函数应是减函数，故 A 对1, 0ba 选项 B 中一次函数，指数函数应是增函数，故 B 错1, 0ba 选项 C 中一次函数，指数函数应是减函数，故 C 错1, 0ba

9、 选项 D 中一次函数，指数函数应是增函数，故 D 错1, 0ba 故答案选 A【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键ba,题型三、解指数式方程、不等式例题 6：解下列方程：（1）； （2）12321xx12122xx第 6 页【解析】 （1）；236612323112321xxxxxx （2）34012122122xxxxxx或【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解例题 7：解下列不等式：（1）； （2）1614x14221xx【解析】 （1）410141614xxx （2）5114222211414xxxxxxx【点评】解此类不等式时，常化为同

10、底，再利用函数单调性求解变式 6：解下列方程：（1）； （2）273291xx2353252xx【解析】 （1）原方程化为63-x27=0，(3-x3)(3-x9)=02)3(x 3-x3 0，由 3-x9=0 得 3-x=32，故x=2 是原方程的解 （2）原方程化为，0235)3(3222xx0)23)(13(23xx ，得，0)23(2x0133x133x3x【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把看成未知x3数 ，解得的一元二次方程的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检xx3验题型四、指数函数性质的应用例题 8：比较下列两个数的大小：（1）； （2）

11、；0.70.83 ,30.1-0.10.75 ,0.75（3）； （4）,21.60.60.8 ,1.832)31(53【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数y=3x在 R 上是增函数，0.80.7，所以 30.830.7；对（2）因为函数y=0.75x在 R 上是减函数，0.1-0.1，所以 0.75-0.10.750.1；第 7 页对（3）由指数函数的性质知 1.80.61.80=1=0.800.81.6，所以 1.80.60.81.6；对（4）由指数函数的性质知( )( )0=1=202，所以( )2 31323153313253【点评】首先把这两个数看作指

12、数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1” ，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法” 例题 9：求函数的单调区间和值域232312xxy【解析】令在上递减，在上递增，又为223132()24uxxx3(, 23 ,)2uy312减函数，所以在上递增，在上递减，当时，为232312xxy3(, 23 ,)223x44132312y最大值，所以的值域为232312xxy32 , 0(4【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间变式 7：已知是奇函数，求常

13、数的值mxfx132)(m【解析】由是奇函数，得，)(xf0)()(xfxf即，得0132132mmxx023132132mxxx0231) 13(2mxx1m【点评】此题中函数的定义域为，所以不能利用来求解，应利用奇函数的0 x0)0(f定义求出值)()(xfxfm变式 8：判断函数的单调性、奇偶性1212)(xxxf【解析】任取，使，Rxx21、21xx 第 8 页因为，所以，为增函数，所以，所以02 x0) 12)(12(21xxxy202221xx，0)()(21xfxf所以在上单调递增；)(xfR，所以为奇函数)(2121) 12(2) 12(21212)(xfxfxxxxxxxx)

14、(xf【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘化简，从而比较与x2)( xf 的关系)(xf【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像

15、特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1下列各式中正确的是（ ） A、=a B、= C、a 0=1 D、=44a62)2(32105) 12(.) 12(2将化为分数指数幂的形式为（ ） 322第 9 页A、 B、 C、 D、 2123122126523函数f (x)的定义域是（ ）x21A、 B、 0 ,), 0 C、 D、)0 ,(),(4下列函数中，值域为的函数是（ ）, 0A、 B、 C、 D、xy2312 xy12 xy xy2215已知指数函数图像经过点，则 )3 , 1(p)3(f6若= a-1，则a的取值范围为 122a-a7=_ 48373)

16、27102(1 . 0)972(0322218若函数是奇函数，则 =_141)(xaxfa9已知函数，求其单调区间及值域22513xxy10已知函数.( )f xxx22（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：是区间上的增函数；( )f x), 0( （2）若，求 的值 325)(xxfx【课后作业】1下列各式中成立的一项（ ）A、 B、 C、 D、7177)(mnmn31243)3(43433)(yxyx3339 2化简(a, b为正数)的结果是（ ）4216132332)b(abbaab第 10 页A、 B、ab C、D、a2babba3设，则（ ）1.50.90.4812314,8,2

17、yyyA、 B、 C、 D、312yyy213yyy132yyy123yyy4函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） bxaxf)(A、 B、0, 1ba0, 1baC、 D、0, 10ba0, 10ba5函数的定义域是（ ）1xyeA、 B、 C、 D、(0,)0,)(1,)1,)6函数在区间上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）1)1(222)(xaxxf), 5 aA、6,+ B、 C、 D、), 6( 6 ,()6 ,(7设 5x=4，5y=2，则= yx258= 105432)(0625. 08334169函数的图象恒过定点_) 10(33aaayx且10若函数是

18、奇函数，则 =_141)(xaxfa11已知，求的最小值与最大值3,2x 11( )142xxf x 12已知xxxxxf10101010)(（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：是定义域内的增函数；)(xf（3）求的值域)(xf【拓展训练】第 11 页1化简，结果是（ ）1111132168421212121212A、 B、 C、 D、113211 2211321 21321 213211 222若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）(1)(0,1)xyabaaA、B、01ba且010ba且C、 D、010ba且11ba且3设集合，则是 （ ）2 |3 , |1,xSy yxR Ty

19、 yxxRSTA、 B、 C、 D、有限集TS4是偶函数，且不恒等于零，则（ ）2( )1( )(0)21xF xf x x( )f x( )f xA、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数5函数的图象是（ ）) 1(|aayx6函数164xy 的值域是（ ）A、0,) B、0,4 C、0,4) D、(0,4)7 （2010 重庆）函数 412xxf x的图象（ ）A、关于原点对称 B、关于直线y=x对称 C、关于x轴对称 D、关于y轴对称8方程的解 08417214xxx9函数在区间上的最大值比最小值大，则 =_) 10()(aaaxfx且2 ,

20、 1 2aa10若，求的值32121xx23222323xxxx11如果函数在上的最大值为 14，求实数 的值) 10( 122aaaayxx且1 , 1a第 12 页12已知) 1, 0)(1)(2aaaaaaxfxx（1）判断的奇偶性；)(xf（2）讨论的单调性；)(xf（3）当时，恒成立，求b的取值范围 1 , 1xbxf)(13 （2006 重庆文）已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt ，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围【参考答案】一、巩固练习答案1、选D2、选原式 A2131)211(223、选由得，从而

21、A021x12 x0 x4、选注意先确定定义域D5、设，把代入得，271xay )3 , 1(31a27131)3(3f6、，得，所以1a1) 1(1222aaaa01a1a7、100原式10048373169100358、由得210)0(f21a9、解：令，由于为减函数，所以在4) 1(5222xxxuuy3122513xxy单调递增，在单调递减，当时， 取到最大值，所以值 1,(), 11xy811域为811, 0(第 13 页10、 （1）证明：任取，使，Rxx21、21xx )22)(211 ()22(22)()(2121212121xxxxxxxxxfxf 因为，所以，又，所以021

22、 xx12121xx021121xx02221xx，0)()(21xfxf 所以在上是增函数)(xf), 0( （2）解：由得，即，得或32522xxxxx2351)2(20423)2(2xx42 x，得12x2x二、课后作业答案1、选 D2、选原式 Cbabaabbaba37343235323721233231)(3、选，由指数函数单调性得C8 . 19 . 02122y44. 148. 03222y5 . 1)5 . 1()1(322y132yyy4、选D5、选B6、选是增函数，所以在上单调递增，所以Cuuf2)(1) 1(22xaxu), 5 ，解得52) 1(2a6a7、8 8245)

23、5(5222yxyx8、5原式5211212325211161827425439、根据指数函数恒过点可得出)4 , 3(xay ) 1 , 0(10、由得，得210)()(xfxf0141141xxaa024114axx21a第 14 页11、解：令，则，xu218 ,41u在上单调递减，在上单调递增，43)21(122uuuy21,418 ,21当，即时，；当，即时，21u1x43)(minxf8u3x57)(maxxf12、 （1）解：的定义域为 R，且，是奇函数)(xf)(10101010)(xfxfxxxx)(xf（2）证明：方法一：1102111011010101010)(222xxxxxxxxf令x2x1，则) 110)(110(10102)11021 ()11021 ()()(12121222222212xxxxxxxfxf当x2x1时，10-100. 又10+10,10+10，22x12x12x22x故当x2x1时，0，即，所以是增函数)()(12xfxf)()(12xfxf)(xf方法二：考虑复合函数的增减性由 .1102110101010)(2xxxxxxfy1=10 x为增函数，y2=102x