易学教育高中数学辅导试题讲义

1、易学教育高中数学辅导试题讲义 学员学号：学员姓名：年 级：高二辅导学科：数学试题数目：10道所用时间：课 题立体几何综合复习试题及解析试题内容1已知三棱锥SABC中SAB及ABC均为等边三角形，M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且及AB平行的平面及BC交于点D（1）求证：SC面MND； （2）证明：SCMD2如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PAAB，PAAD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2（1）求证：PCBD；（2）求点Q到BD的距离3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，

2、且AC=2OM=2ON（）求证：平面ABM平面PCD；（）求直线CD及平面ACM所成的角的正弦值；（）求点N到平面ACM的距离4如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形（1）求证：DM平面APC；（2）求证：平面ABC平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积5已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A=60°、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离6如图，在正方体ABCDA1B1

3、C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点求证：（1）MN平面ABCD；（2）MN平面B1BG7直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点（）求证：ACB1C； （）求证：AC1平面B1CD8在如图所示的几何体中，ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BD=CD，且BDCD（）AE平面BCD； （）平面BDE平面CDE9三棱锥PABC，底面ABC为边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心（）求证DO面PBC；（）求证：BDAC；（）设M为

4、PC中点，求二面角MBDO的余弦值10如图所示，在三棱锥PABC中，E、F分别为AC、BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：ABPC立体几何综合复习答案及解析1已知三棱锥SABC中SAB及ABC均为等边三角形，M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且及AB平行的平面及BC交于点D（1）求证：SC面MND；（2）证明：SCMD考点：直线及平面垂直的判定；直线及平面平行的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系及距离分析：（1）由条件利用直线和平面平行的性质可得ABMD，D为BC的中点，可得SCND，再利用直线和平面平行的判定定理证得SC面MND（2）取AB的中

5、点为O，根据ABSO，ABCO，证明AB平面SOC，可得ABSC，从而证得MDSC解答：（1）证明：M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且及AB平行的平面及BC交于点D，故ABMD，D为BC的中点，故NC为SBC的中位线，SCND而ND面MND，SC面MND（2）证明：取AB的中点为O，则由SAB及ABC均为等边三角形，可得ABSO，ABCO而SOCO=O，AB平面SOC，ABSC，MDSC点评：本题主要考查直线和平面平行的性质定理和判定定理，直线和平面垂直判定定理的应用，属于基础题2（2014秋江北区校级期末） 如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PAAB，PAAD，点Q是PA的中点

6、，PA=4，AB=2（1）求证：PCBD；（2）求点Q到BD的距离考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线及直线之间的位置关系菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）由题意及图知，可先证PC在面ABCD内的射影及BD垂直，再由三垂线定理得出PCBD；（2）由图及题设条件，可先证出点Q到BD的距离即是QO，再由Q，O是中点求出线段QA及OA的长度，在直角三角形QAO中用勾股定理求出OQ的长，即得点Q到线BD的距离解答：解：（1）连接ACPAAB，PAAD，ABAD=APA平面ABCDAC为斜线PC在平面ABCD内的射影ABCD是正方形ACBD（4分）PCBD（6分）（2）设ACBD=O，连

7、接OQQ为PA中点，O为AC中点OQPCPCBDOQBDOQ的长就是点Q到BD的距离（9分）AB=2，PA=4，QA=2即点Q到BD的距离为（12分）点评：本题考点是点、线、面间距离的计算，考查了三垂线定理，点线距离的求法，解题的关键是熟练掌握三垂线定理及理解点到线的距离的几何意义，本题考查了根据图形进行判断的能力，是立体几何中的基础题型，可用来训练对基础知识的理解及基本方法的培养3（2015南开区二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON（）求证：平面ABM平面PCD

8、；（）求直线CD及平面ACM所成的角的正弦值；（）求点N到平面ACM的距离考点：点、线、面间的距离计算；平面及平面垂直的判定菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系及距离；空间角分析：（）依题设知，AC=2OM，则AMMC，CD平面PAD，则CDAM，有AM平面PCD，由此能证明平面ABM平面PCD（）建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线CD及平面ACM所成的角的正弦值；（）确定=（，），利用向量的距离公式由此能求出点N到平面ACM的距离解答：（）证明：依题设知，AC=2OM，则AMMC又因为PA平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面PA

9、D，则CDAM，所以AM平面PCD，所以平面ABM平面PCD （4分）（）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量=（x，y，z），由，可得：，令z=1，则=（2，1，1）设所求角为，则sin=|= （9分）（）解：由条件可得，ANNC设=（2，4，4），则=+=（2，4，44），所以=（2，4，44）（2，4，4）=3616=0解得=，所以=（，），设点N到平面ACM距离为h，则h= （13分）点评：本题考查直线及平面垂直的证明，考查直线及平面所成角的正弦值的求法，

10、考查点到平面的距离的求法，正确利用向量的方法是关键4（2015重庆一模）如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形（1）求证：DM平面APC；（2）求证：平面ABC平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积考点：直线及平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面及平面垂直的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系及距离分析：（1）要证DM平面APC，只需证明MDAP（因为AP面APC）即可（2）在平面ABC内直线APBC，BCAC，即可证明BC面APC，从而证得平面ABC平面APC；（3）因为BC=4，AB=20，求出三棱锥

11、的高，即可求三棱锥DBCM的体积解答：证明：（I）由已知得，MD是ABP的中位线MDAPMD面APC，AP面APCMD面APC；（II）PMB为正三角形，D为PB的中点MDPB，APPB又APPC，PBPC=PAP面PBC（6分）BC面PBCAPBC又BCAC，ACAP=ABC面APC，BC面ABC平面ABC平面APC；（III）由题意可知，三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形MD面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC=2，MD是三棱锥DBCM的高，SBCD=×=2，点评：本题考查直线及平面的平行，三棱锥

12、的体积，平面及平面垂直的判定，是中档题5（2015甘肃一模）已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A=60°、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离考点：直线及平面平行的判定；平面及平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题：证明题；综合题分析：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQ，再利用直线及平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PDMB，又因为底面ABCD是A=60°

13、、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面及平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A及D到平面PMB等距离，过点D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解解答：解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQDN平面PMB（2）PDMB又因为底面ABCD是A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MBAD又ADPD=D，所以MB平面PAD.平面PMB平面PAD（3）因为M是AD中点，所以点A及D到平面PMB等距离过点

14、D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB故DH是点D到平面PMB的距离.点A到平面PMB的距离为点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想6（2015鞍山校级四模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点求证：（1）MN平面ABCD；（2）MN平面B1BG考点：直线及平面平行的判定；直线及平面垂直的判定菁优网版权所有专题：证明题；综合题分析：（1）取CD的中点记为E，连接NE，AE

15、，证明MNAE，即可MN平面ABCD；（2）证明AEBG，BB1AE，即证明 AE平面B1BG，然后可得MN平面B1BG解答：证明：（1）取CD的中点记为E，连接NE，AE由N，E分别为CD1及CD的中点可得NED1D且NE=D1D，又AMD1D且AM=D1D，所以AMEN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形，所以MNAE，又AE平面ABCD，所以MN平面ABCD（2）由AG=DE，BAG=ADE=90°，DA=AB可得EDAGAB所以AGB=AED，又DAE+AED=90°，所以DAE+AGB=90°，所以AEBG，又BB1AE，所以AE平面B1BG，又M

16、NAE，所以MN平面B1BG点评：本题考查直线及平面平行，直线及平面垂直，考查学生逻辑思维能力，是中档题7（2015滕州市校级模拟）直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点（）求证：ACB1C；（）求证：AC1平面B1CD考点：直线及平面平行的判定；直线及平面垂直的性质菁优网版权所有专题：证明题；数形结合分析：（） 利用勾股定理可得ACBC，由直三棱柱的性质可得CC1AC，从而得到AC平面BB1C1C，进而得到ACB1C （） 取B1C中点E，得到 DE为ABC1的中位线，得到DEAC1，由线面平行的判定定理证得AC1平面B1CD解答：证明：（）在

17、ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以ACBC因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以，CC1AC因为BCAC=C，所以AC平面BB1C1C所以ACB1C（）连接BC1，交B1C于E因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点又D是AB中点，所以DE为ABC1的中位线，所以DEAC1因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以，AC1平面B1CD点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，线面垂直的性质定理和线面平行的 判定定理，取B1C中点E，得到DE为ABC1的中位线是解题的关键8（2015河池一模）在如图所示的几何体中，ABC是边长为2的正三角形，

18、AE=1，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BD=CD，且BDCD（）AE平面BCD；（）平面BDE平面CDE考点：直线及平面平行的判定；平面及平面平行的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系及距离分析：（）取BC的中点M，连接DM、AM，证明DM平面ABC，再由AE平面ABC，可得AEDM，从而得AE平面BCD（）由（）可得DMAE是平行四边形，故有DEAM，再由AM平面BCD证得DE平面BCD解答：证明：（） 取BC的中点M，连接DM、AM，由已知可得DM=1，DMBC，AMBC又因为平面BCD平面ABC，所以DM平面ABC（2分）因为AE平面ABC，所以，AEDM（4分）又因为AE平面

19、BCD，DM平面BCD，所以AE平面BCD（6分）（）由（）知AEDM，又AE=1，DM=1，所以四边形DMAE是平行四边形，则有DEAM因为AM平面BCD，所以DE平面BCD（8分）又CD平面BCD，所以DECD由已知BDCD，则CD平面BDE（10分）因为CD平面CDE，所以，平面BDE平面CDE（12分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定定理的应用，取BC的中点M，连接DM、AM，是解题的突破口，属于中档题9（2015衡水四模）三棱锥PABC，底面ABC为边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2D

20、P，O为底面三角形中心（）求证DO面PBC；（）求证：BDAC；（）设M为PC中点，求二面角MBDO的余弦值考点：直线及平面平行的判定；直线及平面垂直的性质；二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：计算题；证明题；空间位置关系及距离；空间角分析：（）连接AO交BC于点E，连接PE，通过DOPE，利用直线及平面平行的判定定理，证明求证DO面PBC；（）通过证明AC平面DOB，利用直线及平面垂直的性质定理证明BDAC；（）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量，设出平面BDM的法向量为，利用，求出，利用求二面角MBDO的余弦值解答：（本小题满分12分）证明：（）连接AO交BC于点E，连接PEO为正三角形ABC的中心，AO=2OE，且E为BC中点又AD=2DP，DOPE，（2分）DO平面PBC，PE平面PBCDO面PBC（4分）（）PB=PC，且E为BC中点，PEBC，又平面PBC平面ABC，PE平面ABC，（5分）由（）知，DOPE，DO平面PBC，DOAC（6分）连接BO，则ACBO，又DOBO=O，AC平面