大物1-动量和角动量

1、动量与角动量动量与角动量 （Momentum and Angular Momentum） 1 动量定理 动量守恒定律 一、动量和冲量一、动量和冲量(Momentum and Impulse)P1. 动量vmP单位(kg m s-1)牛顿将牛顿第二定律写作dtPdvmdtddtvdmamF)(dtFId t1t2的总冲量为上式的积分21ttdtFIdI图 冲力与时间的关系t1F0tt2dtF2. 冲量二、二、 质点动量定理质点动量定理(Impulse-momentum Theorem)12212121vmvmPddtdtPddtFIttPPtt1221vmvmdtFItt质点动量定理质点动量定理

2、 在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量等在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量等于这段时间内质点动量的增量。于这段时间内质点动量的增量。分量式zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121平均冲力121212211ttvmvmdtFttFtt三、质点组三、质点组 由若干个质点所组成的系统叫质点组，也称作一个力学系统。力学系统受力示意图F1F3F2F4m1m2m3m4f1f2f3f4对每一个质点利用动量定理质点1质点i质点n101111121)(vmvmdtfFtt021)(iiiittiivmvmdtfF021)(nnnnttnn

3、vmvmdtfF 力学系统内每个质点所受的力分成外力;F及内力f对上面n项求和0112121)(nnninnnittnivmvmdtFFFF 由n个质点组成的力学系统合外力的冲量等于系统总动量的增量。四、动量守恒定律四、动量守恒定律(Conservation of Momentum) 若系统所受的合外力若系统所受的合外力001niiF系统总动量守恒系统总动量守恒恒矢量niniiiiivmvm110分量式, 01niixF, 01niiyF, 01niizF系统x方向动量守恒系统y方向动量守恒系统z方向动量守恒niniixiixivmvm110niniiyiiyivmvm110niniiziiz

4、ivmvm110关于动量守恒定律，注意几点：关于动量守恒定律，注意几点：（2 2）碰撞、打击）碰撞、打击摩擦力、重力作用，外力矢摩擦力、重力作用，外力矢量合不为零量合不为零 ( (因因 t t 很短很短, ,碰撞、打击的内力远大于碰撞、打击的内力远大于外力外力), ),仍有动量守恒仍有动量守恒. .（3 3）外力矢量和不为零）外力矢量和不为零, ,但沿着某一方向分量但沿着某一方向分量的代数合为零的代数合为零, ,总动量在该方向的分量守恒总动量在该方向的分量守恒. .（1 1）动量是矢量，是矢量守恒动量是矢量，是矢量守恒。 物体物体m与质元与质元dm在在 t 时刻时刻的速度以及在的速度以及在 t

5、 + dt 时刻时刻合合并后的共同速度如图所示：并后的共同速度如图所示：mdmvutttd m+dmvvdF 把物体与质元作为把物体与质元作为系统系统考虑，初始时刻与末时刻的动考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：量分别为：ummdv初始时刻初始时刻)d)(d(vv mm末时刻末时刻变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程对对系统系统利用动量定理利用动量定理)d()d)(d(ummmmvvvtF dummmmdddddvvvtF d略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除d tFutmmtdd)(ddv值得注意的是，值得注意的是，dm可正可负，可正可负，当当dm取负时，表取负时，表明物体质量减小

6、，对于火箭之类喷射问题，明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，utm dd为尾气推力为尾气推力。变质量物体运动微分方程变质量物体运动微分方程(1)(1)确定研究系统确定研究系统(2)(2)写出系统动量表达式写出系统动量表达式(3)(3)求出系统动量变化率求出系统动量变化率(4)(4)分析系统受力分析系统受力(5)(5)应用动量定理求解应用动量定理求解变质量问题的处理方法变质量问题的处理方法例例1 1：装煤车的牵引力装煤车的牵引力例例2 2：匀速匀速提提柔软链条柔软链条例：一辆煤车以例：一辆煤车以v =3m/s的速率从煤斗下面通过的速率从煤斗下面通过, ,每秒钟每秒钟落入车厢落入车厢的煤为的煤为

7、 m=500kg。如果车厢的速率保持不变如果车厢的速率保持不变, ,应用多大的牵引应用多大的牵引力拉车厢力拉车厢? ?设以地面为设以地面为参考系参考系，建立坐标系如图，建立坐标系如图，解解: : 研究对象研究对象： t 时刻车中煤的总质量时刻车中煤的总质量m和和 t+dt 时刻落入车厢的煤的质量时刻落入车厢的煤的质量dm t 时刻和时刻和t+dt时刻系统时刻系统水平水平总动量分别为总动量分别为: :vvmmm0dvvv)d(dmmmm dt 时间内系统水平总动量增量为时间内系统水平总动量增量为: :vvvmmmmpd)d(d由动量定理可得由动量定理可得: :vmptFdddN15003500d

8、dvtmFmdmvFOxXoxF0v例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度，总长度l , 质量均匀分布，质量均匀分布，均匀地以速度均匀地以速度v0 0提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。解：解：( (方法一方法一) ) 取取整个绳子整个绳子为研究对象为研究对象( (系统系统) )：t0000vxlmP：ttd0)(00vxxlmPdF受力图受力图gm0N) 1 ()()(00000vvxlmxxlmtgmNFdd)2()(0gxllmNxglmlmF0200vgxllm0Nt 时刻绳子被拉上时刻绳子被拉上x

9、, , t +dt 时刻绳子被拉上时刻绳子被拉上x+dx t 时刻和时刻和t+dt时刻系统总动量分别为时刻系统总动量分别为: :已提升的质量已提升的质量(主体主体) m 和将要提升的质量和将要提升的质量dm：t0,0vm：ttd00d,vvmm0dd)(vmtmgF0ddvtmmgFtxlmtmdddd0 xlmm00ddvtxxglmlmF0200v( (方法二方法二) ) 系统是：系统是：FXox0vgm t 时刻和时刻和t+dt时刻系统总动量分别为时刻系统总动量分别为: : 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球） 抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减

10、少（如火箭发射） 低速（低速（v v c c）情况下的两类变质量问题：）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。另一类变质量问题是在高速（另一类变质量问题是在高速（v v c c）情况下，这）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改变变 m m = = m m( (v v) )，这是相对论情形，这是相对论情形，变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理条件：条件：燃料燃料相对箭体相对箭体以恒速以恒速u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v (对地对地)，动量，动量

11、 M v 一一. 火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行） 1.火箭的速度火箭的速度系统：系统： 火箭壳体火箭壳体 + 尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i (点火点火) f (燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程： t t +dt末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm = - dM，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)： v - uvu火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的质量：尚存燃料的质量： M - dm系统动量：系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) 火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的速度尚

12、存燃料的速度(对地对地)：v + d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 经整理得：经整理得： Mdv = -udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式： fiifMMuln vv引入引入火箭质量比：火箭质量比：fiMMN 得得Nuifln vv讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大增大 N（受一定限制）（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v = u1ln N1+ u2ln

13、N2+ u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭） 全长：全长：43.25m， 最大直径：最大直径：3.35m， 起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280吨力。吨力。t +dt时刻：时刻：速度速度 v - u， 动量动量dm(v - u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v (和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭气对

14、箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气对箭气对箭二二. 重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得 t 时刻火箭的速度：时刻火箭的速度： 忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化，tiiMMugttln)( vv Mt ： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量时刻火箭壳和尚余燃料的质量质点系的质量中心，质点系的质量中心，简称简称质心质心。具有长度具有长度的量纲，描述与质点的量纲，描述与质点系有关的某一空间点系有关的某一空间点的位置。的位置。质心运动反映了质质心运动反映了质点系的整体运动趋点系的整体运动趋势。势。质心质心 质心运动定

15、理质心运动定理抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程COxy质心运动反映了质质心运动反映了质点系的整体运动趋点系的整体运动趋势。势。质心质心( (质量中心质量中心) )定义定义iiiiicmrmr对于分立体系：对于分立体系：直角坐标系下：直角坐标系下：MxmxiiicMymyiiicMzmziiicMrmiiiNimmmm,21Nirrrr,21imMciirMrmx xz zy yO Om m2 2m m1 1m mi im mN N1r2rc ccrNrirM M对于连续体：对于连续体：mmrrcddMmr d直角坐标系下：直角坐标系下：MmxxcdMmyycdMmzzcd(xc yc zc)c c

16、x xz zy yO Ocrd dm mrtrvccddiiivmPcvMtvMtPcddddcaMtPFdd 质心运动定理质心运动定理MtrmiiiddMvmiiicaM表明：不管物体的质量表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个都集中作用其上的一个质点的运动一样。质点的运动一样。质心质心的运动只由合外力决定的运动只由合外力决定，内力不能改变质心的，内力不能改变质心的运动情况。运动情况。 系统系

17、统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动， 在光滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手， 做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但动员尽管在翻转，但 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：例如：其质心做匀其质心做匀速直线运动速直线运动若合外力为零，若合外力为零，动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒常矢量常矢量 ccav0若合外力分量为若合外力分量为0， iixF 0如：如：常常量量 cxv质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系

18、动量守恒和质心匀速运动等价！质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变rOL)( vmrPrL角动量大小（面积）角动量大小（面积）sinrmvL Lvvm2 2 角动量，角动量守恒定律角动量，角动量守恒定律1.1.角动量角动量做圆周运动时，由于做圆周运动时，由于 ，质点对圆心的角动量大小为，质点对圆心的角动量大小为vrRmvrmvL右手螺旋法则)(Rr r2. 2. 力矩力矩M M (Torque)(Torque)FrMmForM定义定义sinFMrdF 为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩大小：大小：中学就熟知的：力矩等于中学就熟知的：力矩等于力乘力臂

19、力乘力臂方向：方向：dFr,垂直垂直 组成的平面组成的平面Fr右手螺旋法则O mMrF氢原子的玻尔氢原子的玻尔(Bohr)模型模型kg1011. 931emm10529. 010r116s1013. 4skgm1005. 1234L地月系统地月系统s10616. 83 .27,60m1008. 3,kg1036. 74822TRrmkg/sm1084. 2230L 由于力矩可以改变质点的转动状况，而角动量又是描写转动状态由于力矩可以改变质点的转动状况，而角动量又是描写转动状态的一个物理量，它们之间应该存在某种关系。的一个物理量，它们之间应该存在某种关系。vmrPrL求导求导)(mtr)(mtr

20、tLvvdddddd因为因为,ddvtr0mmtr)()(ddvvv且且Famtmtmddd)d(vv所以所以MFrtLdd质点对某固定点角动量的变质点对某固定点角动量的变化率等于质点所受合外力对化率等于质点所受合外力对同一参考点的力矩。同一参考点的力矩。）。（一一对应的瞬时关系tLMdd3 3 质点的角动量定理质点的角动量定理由由MtLdd得：得：LtMdd 积分上式积分上式LLLLtM2121LLttdd12pmm)(mtFvvttdd122121vvv对时间的积累。，称为冲量矩，是力矩式中21dtttM质点的角动量定理：作用于质点的合外力矩的冲量矩等于质点质点的角动量定理：作用于质点的合

21、外力矩的冲量矩等于质点角动量（动量矩）的增量。角动量（动量矩）的增量。d,dLM0 ,0Lt常 矢 量( (矢量守恒矢量守恒, ,质点对某固定点的角动量大小和方向均保持不变质点对某固定点的角动量大小和方向均保持不变) )角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：常量常量，则，则若若 zzLM 0 质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。而且在高速低速范围

22、均适用。r rL Lv v S S m m常常量量 tStSddlim 0 t常量常量 sinrmLv 例例 一根长为一根长为l的轻质杆，端部固结一小球的轻质杆，端部固结一小球m1 ，碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解：选选m1（含杆）（含杆）+ m2为系统为系统另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2 ）的水平动量是否守恒？）的

23、水平动量是否守恒？有有质点组受力质点组受力: :外力、内力。外力、内力。( (内力成对产生内力成对产生, ,且矢量合为零且矢量合为零) )1m2m0 0参考点参考点1r2r1f2f021 ff2211frfr0)(212frr12rr一对内力对参考点的力矩为零一对内力对参考点的力矩为零推广推广: :系统所有内力的总力矩为零系统所有内力的总力矩为零. .tLMdd质点组合外力矩等于其总角动质点组合外力矩等于其总角动量对时间的变化率量对时间的变化率. .21dttLtM质点组系统质点组系统合外力矩合外力矩的冲量矩等于系统总角的冲量矩等于系统总角动量的增量动量的增量. .显然显然, ,常矢量.若L0

24、,M4 4 质点组的角动量定理质点组的角动量定理小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量 iiiprL矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件0 iiiFr动量动量 iiimpv矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0 iiF与固定点无关与固定点无关1、一个在轨道上失重地漂浮着的宇航员来回快速地摇动着一个大铁砧，他向地球报告 1. 他摇动铁砧没有花力气，因为铁砧在太空没有惯性质量。 2. 他摇动铁砧花了一些力气，但比在地球上小得多。 3. 尽管失重，铁砧在太空中的惯性质量和在地球上是一样的。概念测试题概念测试题答案：3。惯性质量是任何物

25、体的固有属性：它是对物体抵制变速的量度，另一方面，重量是地球对物体引力束缚的量度。在沿轨道运行时，物体是失重的，因为它们不受引力束缚，但是它们就像在地球上一样，仍然抵制变速。2. 一辆汽车从静止开始加速。这样做使得汽车的动量的绝对值改变了一定的量，那么地球的动量改变了 1. 更大的量。 2. 相同的量。 3. 小一点的量。 4. 答案取决于两者之间的相互作用。概念测试题概念测试题答案：2。动量等于作用力乘上力作用的时间。地球施加在汽车上的力和汽车施加在地球上的力大小相等，方向相反，而且这两个力作用的时间相同。.一辆汽车从静止开始加速，它获得了一定量的动能，那么地球 1. 获得了更多的动能。 2

26、. 获得了相同量的动能。 3. 获得了小一点的动能。 4. 失去了汽车所获得的动能。概念测试题概念测试题答案：3。根据功能理论，获得的动能等于力乘上在力的作用下物体运动的距离。地球施加在汽车上的力和汽车施加在地球上的力大小相等，方向相反，但是在力的作用下运动的距离不相等。汽车的运动使得地球运动的距离微乎其微。.3.假设世界上全部的人口都集中在一个场所，当听到一个预先安排好的信号后，每个人都跳起来，地球所获得的动量是否在相反的方向？ 1. 不；地球的惯性质量是如此之大，以致于这个行星的运动的改变是极其微小的。 2. 是；然而，因为地球的惯性质量大很多，地球动量的改变比所有跳起来的人群的动量改变要

27、小得多。 3. 是；就像步枪射出子弹，地球的反冲导致动量的改变和人群的动量改变大小相等，方向相反。 4. 视具体情况而定。概念测试题概念测试题答案：3。如果我们把地球看成是一个孤立系统（在人群跳起很短的时间间隔里，这种近似是合适的），所以动量必须是守恒的。因袭地球的动量一定和跳起的人群的动量大小相等，方向相反。然而因为很大的惯性质量，地球没有明显的运动。4. 假设世界上全部的人口都集中在一个场所，当听到一个预先安排好的信号后，每个人都跳起来，大约1秒钟后，50亿人落在地面上。在人群落地之后，地球的动量 1. 和人群跳起来之前一样。 2. 和人群跳起来之前不一样。概念测试题概念测试题答案：1。不

28、可能从系统内部改变孤立系统的动量。5. 假设雨水垂直地落入沿着无摩擦的水平直轨道运动的敞篷车里，随着雨水在车里聚集，车的速度将 1. 增大。 2. 不变。 3. 减小。概念测试题概念测试题答案：3。因为雨水是垂直下落的，所以不会改变车子的水平动量。而车子的质量在增加，所以速度减小。7. 如图所示，球1被向后拉，然后放掉，球5向前弹起。如果球1和2被向后拉，然后释放，则球4和5向前弹起，等等。两边谈起来的球的数目相同，是因为 1. 动量守恒。 2. 完全弹性碰撞。 3. 以上两个都不是。概念测试题概念测试题答案：2。动量守恒可以导致很多不同的最终状态，但本题是动能也同时守恒的唯一的一种情况。因为动能守恒就等于说“完全弹性碰撞”，所以选项2是正