孙训方材料力学06简单的超静定问题

1、材材 料料 力力 学学材材 料料 力力 学学2第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题6- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6- -2 拉压超静定问题拉压超静定问题6- -3 扭转超静定问题扭转超静定问题6- -4 简单超静定梁简单超静定梁材材 料料 力力 学学ABCF 12CF1NF2NF 未知力数：未知力数：2个个独立方程数：独立方程数：2个个仅用静力平衡方程就能求出全部未仅用静力平衡方程就能求出全部未知力的问题称为知力的问题称为静定问题，静定问题，相应的相应的结构称为结构称为静定结构。静定结构。12 NNFF、第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题. 静定与超静定

2、静定与超静定6- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法材材 料料 力力 学学CFN1FN 3FN 2FDABCF312 未知力数：未知力数：3个个独立方程数：独立方程数：2个个求不出求不出123 NNNFFF、仅靠静力平衡方程不能求出全部仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为约束反力和内力的问题称为超静超静定问题定问题，相应的结构称为，相应的结构称为超静定超静定结构。结构。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题一次超静定问题一次超静定问题超静定次数超静定次数(n)：未知力数超过独立平衡方程数的数目：未知力数超过独立平衡方程数的数目n = 未知力的个数未知力的个数 独

3、立平衡方程的数目独立平衡方程的数目材材 料料 力力 学学FABABCF“多余多余”约约束束一次超静定问题一次超静定问题DACFBFDABAyFAxF2NF1NF“多余多余”约约束束431n 第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学6. . 解超静定问题的基本思路解超静定问题的基本思路 求解超静定问题，必须寻找求解超静定问题，必须寻找补充方程，补充方程，补充方程补充方程的数目等于多余未知力的数目。的数目等于多余未知力的数目。平衡方程平衡方程 +补充方程补充方程超静定解法：超静定解法：第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学7补充方程为补充方

4、程为048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力F FC C。变形相容条件变形相容条件Cq+CFC=0 ABl/2qlFC超静定梁超静定梁l/2l/2CABq基本静定系基本静定系或或相当系统相当系统第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学1) 1) 判断超静定次数：判断超静定次数：去掉多余约束，画上相应约束反力去掉多余约束，画上相应约束反力建立基本静定系。建立基本静定系。 (2) (2) 列平衡方程列平衡方程: : 在已知主动力，未知约束反力及多余约在已知主动力，未知约束反力及多余约束反力共同作用下；束反力共同作用下； (3) (3)

5、 列几何方程：列几何方程：根据变形相容条件；根据变形相容条件； (4) (4) 列物理方程：列物理方程：变形与力的关系；变形与力的关系； (5) (5) 组成补充方程：组成补充方程：物理方程代入几何方程即得。物理方程代入几何方程即得。 求解超静定问题的步骤求解超静定问题的步骤第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学思考思考 两端固定的阶梯杆如图所示，横截面面积 ，受轴向载荷P后，其轴力图是（ ）。212AA2AABx1APllxN2P2PAxNPBxN3P23PCxNPD答案：C C6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. . 拉压超静定问题的解法拉压超静定问

6、题的解法材材 料料 力力 学学10例例6-1 设设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示三杆用绞链连结，如图所示, ,l1 = l2 = l，A1 = A2 = A，E1 = E2 = E ，3杆的长度杆的长度 l3 , ,横截面积横截面积 A3 , ,弹性模量弹性模量E3 . .试求试求在沿铅垂方向的外力在沿铅垂方向的外力 F F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力. .CABDF 1 12 23 3第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学解：解：（1 1）判判断断超超静静定定次次数数结构为一次超静定。结构为一次超静定。xyFA （2 2）列列平平衡衡方方程程N1N

7、20 xFFFN1N2N30coscos0yFFFFFABDF 1 12 23 3第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学（3）列几何方程）列几何方程变形后变形后A点将沿铅垂方向下移。变形相容条件是变形后点将沿铅垂方向下移。变形相容条件是变形后三杆仍铰接在一起三杆仍铰接在一起CABDF 1 12 23 3CABD 1 12 23 3变形几何方程为：变形几何方程为：cos31ll 3 3l A1 12 23 3 1 1l第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学 CABD 1 12 23 3111N1EAlFl 333N3cosAElFl（5

8、）补充方程）补充方程2333N1NcosAEEAFF（4）列物理方程）列物理方程3 3l A1 12 23 3 1 1l第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学(6) (6) 联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解CABDF 1 12 23 33 3l A1 12 23 3 1 1l 2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscos 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF 2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF 材材 料料

9、 力力 学学【练习练习】图示平行杆系图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁悬吊着刚性横梁AB，在横梁，在横梁上作用荷载上作用荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为为A、l、E。试求三杆的轴力。试求三杆的轴力 FN1、FN2、FN3。ABCF3aal21材材 料料 力力 学学ABCF3aal21（2）列平衡方程）列平衡方程00 xxFF 0yF03N2N1NFFFF 0BM这是一次超静定问题这是一次超静定问题022N1NaFaFFABC3aa21FN1FN2FN3F解：（解：（1）判断超静定次数）判断超静定次数材材 料料 力力 学学（3）列几

10、何方程）列几何方程（4）列物理关系）列物理关系ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC3212312lllN11F llEAEAlFl3N3EAlFl2N2（5） 补充方程补充方程2N3N1N2FFF材材 料料 力力 学学ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC321（6）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解6/53/6/N3N2N1FFFFFF03N2N1NFFFF022N1NaFaF2N3N1N2FFF材材 料料 力力 学学 杆系装配好后，各杆将处于杆系装配好后，各杆将处于A位置，因而产生轴力。位置，因而产生轴力。 3杆的杆的轴力为拉力，轴力为拉力，1

11、、 2杆的轴力为杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为压力。这种附加的内力就称为装配内力装配内力，与之对应的应力称，与之对应的应力称为为装配应力装配应力。A. . 装配应力装配应力eABCD 2 21 13 3材材 料料 力力 学学3 3l杆杆3的伸长的伸长 装配后装配后A点的位移点的位移1l杆杆1或杆或杆2的缩短的缩短N1N2N3N1N2sinsin0coscos0FFFFF（1） 平衡方程平衡方程 AeAABCD 2 21 13 3l 3l 1 材材 料料 力力 学学eAABCD 2 21 13 3l 3l 1（2）变形几何方程）变形几何方程（3）物理关系）物理关系N1 1N3 313113

12、3F lF lllE AE A 3le cos1l13coslle （4）补充方程）补充方程N3 3N1 13311cosF lF leE AE A 材材 料料 力力 学学（5）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解N1N2N3N1N2sinsin0coscos0FFFFFN3 3N1 13311cosFlFleE AE A 21113333Ncos2AElAEleF31231233112cos2cos2cosNNNFeFFllE AE A得：得：eAABCD 2 21 13 3l 3l 1 材材 料料 力力 学学 例例6-3 两铸件用两根钢杆两铸件用两根钢杆 1、 2 连接。

13、其间距为连接。其间距为 l =200mm。现。现将制造长了将制造长了 e=0.11mm的铜杆的铜杆 3 装入铸件之间，并保持三根杆的装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距轴线平行且等间距 a，试计算各杆内的装配应力。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直已知：钢杆直径径 d=10mm，铜杆横截面面积为，铜杆横截面面积为20 30mm的矩形，钢的弹性模量的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。去不计，故可看作刚体。ABC12aaB1A1C1l3C1C e材材 料料 力力 学学l3C1

14、eCABC12B1C1A1杆件杆件1、2伸长，杆件伸长，杆件3缩短。缩短。（1）变形几何方程为）变形几何方程为ell31材材 料料 力力 学学（3）补充方程）补充方程（4）平衡方程）平衡方程N11F llEA33N33AElFl （2）物理关系）物理关系EAlFeAElFN133N3 0N2N1N3FFFN2N1FF 联立平衡方程与补充方程求解，即可得装配内力，进联立平衡方程与补充方程求解，即可得装配内力，进而求出装配应力。而求出装配应力。aaxCABFN3FN1FN2ell31材材 料料 力力 学学. . 温度应力温度应力 温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可温度变化将引起物体的膨胀或

15、收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但超静定结构中以自由变形，不会引起构件的内力，但超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，即起内力，即温度内力温度内力。与之相对应的应力称为。与之相对应的应力称为温度应温度应力力或或热应力热应力。材材 料料 力力 学学【例例】 图示等直杆图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离支承的距离(即杆长即杆长)为为 l，杆的横截面面积为，杆的横截面面积为 A，材料的弹，材料的弹性模量为性模量为 E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 。试求温度升

16、高。试求温度升高 T 时杆内时杆内的的温度应力。温度应力。ABl材材 料料 力力 学学解解: 这是一次超静定问题这是一次超静定问题变形相容条件：变形相容条件：杆的长度不变杆的长度不变 杆的变形为两部分：杆的变形为两部分：0 lABlAB lT lT 温度升高引起的变形温度升高引起的变形 lF 轴向压力轴向压力FR相应的相应的 弹性变形弹性变形BA lFBFRAFRB材材 料料 力力 学学（1）变形几何方程）变形几何方程（3）补充方程）补充方程（4）温度内力）温度内力0FTlllEAlFlBFRlTllT（2）物理关系）物理关系由此得温度应力由此得温度应力EAlFlTBlRTEAFlBRTEAF

17、lBTRBA lFBFRAFRBABlAB lT材材 料料 力力 学学讨讨 论论装配内力与温度应力对工程的不利影响装配内力与温度应力对工程的不利影响与有益应用？与有益应用？材材 料料 力力 学学课后练习：课后练习：205页 习题 6-1206页 习题 6-3 、6-7、 6-8、 6-10第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题材材 料料 力力 学学326- -3 扭转超静定问题扭转超静定问题例例 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆ABAB，在截面，在截面C C处受扭转力偶矩处受扭转力偶矩M Me e作用。已知杆的扭转刚度为作用。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶。

18、试求杆两端的约束力偶矩。矩。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题eMabABC材材 料料 力力 学学0ABeMMM（1）平衡方程）平衡方程0ABACCB（2 2）变形相容条件）变形相容条件解：解：eMAMBMABCeMabABC（3 3）物理条件）物理条件AACpM aGI BCBpM bGI（4 4）补充方程）补充方程0ABppM aM bGIGIAeBebaMMMMabab得：得：材材 料料 力力 学学思考思考图示为两端固定的受扭圆杆，其扭距图为（ ）。（A）xxmT（B）xxmxmT（D）xxmxmT（C）xxmTxlllxmxm答案：B材材 料料 力力 学学例例 如图所示组合

19、圆杆，是由材料不同的实心圆杆和空如图所示组合圆杆，是由材料不同的实心圆杆和空心圆杆牢固地套在一起而组成，左端固定，右端受外力心圆杆牢固地套在一起而组成，左端固定，右端受外力偶矩偶矩M Me e作用。实心圆杆的直径为作用。实心圆杆的直径为d d，切变模量为，切变模量为G G1 1；空心圆；空心圆杆的内外径分别为杆的内外径分别为d d及及D D，切变模量为，切变模量为G G2 2。试求两杆横截面上。试求两杆横截面上的扭矩。的扭矩。BAeM材材 料料 力力 学学eM1T2T解：解：（1）平衡方程）平衡方程12eTTM两杆牢固地套在一起，则两杆牢固地套在一起，则其单位长度扭转角相同，其单位长度扭转角相

20、同，121111pTG I2222pTG I（3）物理关系）物理关系（4）补充方程）补充方程121212ppTTG IG I得得1121112peppG ITMG IG I2122212peppG ITMG IG IeM（2）几何方程）几何方程BAeM材材 料料 力力 学学376- -4 简单超静定梁简单超静定梁第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题例例 绘图示超静定梁的剪力和弯矩图。已知绘图示超静定梁的剪力和弯矩图。已知EIEI为常量。为常量。qlBA材材 料料 力力 学学解：解：(1)(1)解除解除B端约束，加上约束端约束，加上约束反力反力F FB B，得到相当结构。，得到相当结构

21、。(2) (2) 位移协调方程：位移协调方程：0BBBqBFwww相当系统相当系统BFBAq(3) (3) 物理关系物理关系33BBBFF lwEI 38BqlF qlBA48BqqlwEI(4) (4) 补充方程并求解补充方程并求解34083BF lqlEIEI材材 料料 力力 学学38BqlF(5) (5) 绘剪力、弯矩图绘剪力、弯矩图sF58ql38qlx5 /8l28ql29/128qlxM相当系统相当系统BFBAq材材 料料 力力 学学qlBA解法二：解法二：qBA相当系统相当系统AM,0AAA qA M30243AM lqlEIEI218AMqlsF58ql38qlx5 /8l28

22、ql29/128qlxM解除解除A A端限制转动的约束，使端限制转动的约束，使A A端端变为固定铰支座，取简支梁为基变为固定铰支座，取简支梁为基本静定系。本静定系。材材 料料 力力 学学例例 求图示超静定梁的支反力，求图示超静定梁的支反力，并绘其梁的剪力和弯矩图。已知并绘其梁的剪力和弯矩图。已知EIEI为常量。为常量。BACqFD解：基本结构的选取解：基本结构的选取取法取法1 1：解除：解除C 端支座，取外伸端支座，取外伸梁为基本结构；梁为基本结构；ABDCCFqF0Cw 材材 料料 力力 学学取法取法2 2：解除：解除B B 端支座，取简支端支座，取简支梁为基本结构；梁为基本结构；ABDCBFqF0Bw BACqFD材材 料料 力力 学学取法取法3 3：解除：解除B处阻止其左、右处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束，即两侧截面相对转动的约束，即B B截面处为一铰链，基本结构为截面处为一铰链，基本结构为简支梁简支梁AB AB 和简支梁和简支梁BCBC。BB左右BACDFBMBMqBACqFD材材 料料 力力 学学44解：解：4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁AB 和和 BC 的的B端端处的一对弯处的一对弯矩矩 MB. .变形相