高中数学解三角形讲义整理

1、解三角形1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：（1）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：， ， （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1正弦定理：，其中为的外接圆半径 2正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，

2、最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用 （1）中，若，则_； （2）中，若，则_； （3）中，若，则_； （4）中，若，则的最大值为_。总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在中，已知、 （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。（2）若为锐角，则当时，三角形无解； 当时，三角形有唯一解； 当时，三角形有两解； 当时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 余弦定理： ， 其变式为：2余

3、弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式（1） （、分别表示、上的高）；（2）（3） （为外接圆半径）（4）；（5） 其中（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）【例】考查余弦定理的基本应用（1）在中，若，求；(两边及其夹角)（2）在

4、中，若，求边上的高；（三边求高）（3）在中，若，求 （正弦和余弦结合）【例】（1）在中，若，则中最大角的余弦值为_（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（D ） A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为_【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_（2）在中，若，则_（3）（07天津理）在中，若，则_【例】判断满足下列条件的三角形形状 （2）； （4）； 板块三：解三角形综合问题【例】（09全国2）在中，角的对边分别为、，求【11江西理】在中，角的对边

5、分别是，已知（1）求的值； （2）若，求边的值【11江西文】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值； （2）若，求边的值灵活应用1、因：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；即; a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC    所以：acosBbcosAcsinC sinAcosBsinBcosAsin²C sin(A+B)=sin²C 又因：A+B=180°-C 所以：sin(180°-C)=sin²C sinC-sin²C=0 sinC (1-sinC)=0 

6、在ABC中：sinC0；所以：1-sinC=0  sinC=1所以：C=90°；ABC为直角三角形。就有：a²+b²  =c²；   即：a²  = c²-b²   又因：SABC=absinC/2=absin90°/2;=ab/2 又：a²=c²-b²       即：SABC¼(b²c²

7、;a²),= ¼（ b²c² -  c²  +b²   ）=b²/2                那么：  ab/2=b²/2 ab-b²=0 b（a-b)=0因：b0；所以a-b=0；即a=b 所以：ABC是等腰直角三角形。故B=45°。2、由余弦定理 ，(根号3b-c）cosA=(根号3b-c）（b2+c2-a2）/2bc acosC=a(a2+b2-c2)/2ab=(a2+b2-c2)/2b =(根号3b-c）（b2+c2-a2）/2bc (a2+b2-c2)c=(根号3b-c)(b2+c2-a2） 展开 (b2+c2-a2）=2/(根号3*bc) cosA=（b2+c2-a2）/2bc=1/根号33、a²-b²=3bc sinC=23sinB 2R*sinC=2R*23sinB c=23b c