理论力学考研备考期末复习专业课空间力系

1、 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。常见的空间约束及约束反力。 难点难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图迎 面风 力侧 面风 力b工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)(a)图为空间汇交力系图为空间汇交力系； (b)(b)图为空间任意力

2、系图为空间任意力系；(b)(b)图中去掉风力后为空间平行力系图中去掉风力后为空间平行力系。4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系或由仰角或由仰角 与方位角与方位角 来确定。来确定。1.1.力在空间的表示力在空间的表示的接触之点的接触之点。一、力在空间轴上的投影与分解一、力在空间轴上的投影与分解：力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点大小大小：作用点作用点：方向方向：由由 、 、 三个方向角确三个方向角确定定FF 物体和力矢的起点或终点物体和力矢的起点或终点 一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cos, cos, cosFZFYFXcoscoscoscoss

3、inFFFXxysincossinsinsinFFFYxysincosFFZ由图可知由图可知：即： 二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将确定时，可先将 F F 投影到投影到xy xy 面上，然后再投影到面上，然后再投影到x x、y y 轴上轴上。 三轴方向余弦zy,x,对应于F力分称 为cos coscos 其 中： 若以若以 表示力表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：沿直角坐标轴的正交分量，则：zyxFFF,zyxFFFFkZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz 已知力的投影求该力已知力的投影求该

4、力 力沿坐标轴分解力沿坐标轴分解222ZYXFFZFYFXcos,cos,cos大小大小：方向方向： 几何法几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。力。inFFFFFR321二、空间汇交力系的合成二、空间汇交力系的合成即：合力等于各分力的矢量和：合力等于各分力的矢量和 注意注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。力在坐标平面上的投影是矢量。 ( (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采由于力多边形是空间力多边形

5、，合成并不方便，一般不采用此方法合成用此方法合成） 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。由于由于 代入上式kZjYiXFiiiiixXRiyYRizZR 合力投影定合力投影定理理 解析解析法法kZjYiXRiii合合力力定理定理: 合力的解析求合力的解析求法法222222)()()(ZYXRRRRzyx大小：大小：RRRRRRzyxcos,cos,cos方向：方向： 0X 0Y0Z解析法平衡充要条件为：解析法平衡充要条件为：几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。几何法平衡充要条件为该力系的力多边

6、形封闭。0iFR空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：三、空间汇交力系的平衡三、空间汇交力系的平衡亦称为亦称为 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量 平衡的充要条平衡的充要条件件 几何法平衡充要条几何法平衡充要条件件 解析法平衡充要条解析法平衡充要条件件4-2 4-2 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩一、空间力一、空间力对对点之矩点之矩三要素三要素 力矩的大小力矩的大小 ； 力的作用线与矩力的作用线与矩心所组成的平面的方心所组成的平面的方位位 。

7、 力矩的转向力矩的转向 ；决定力对刚体的作用效应决定力对刚体的作用效应, ,除力矩的大小、力矩的转向外除力矩的大小、力矩的转向外, ,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列刚体的作用效应取决于下列三要素：三要素： 例例 力力P P1 1,P,P2 2 ，P P3 3 对汽车反镜对汽车反镜绕球铰链绕球铰链O O点的点的转动效应不同转动效应不同二、力对点的矩的矢量表示二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，在

8、平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由由空间力空间力对点的矩对点的矩的的三要素知，三要素知，力力对点的矩是矢量对点的矩是矢量。 面积AOBdFFmFmOO2)()( 力矩矢的表示方法力矩矢的表示方法 力矩矢力矩矢大小大小 ： 力矩矢方位：力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面与该力和矩心组成的平面的法线方位相同的法线方位相同注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量 力矩矢的指向：与转向力矩矢的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转

9、向。所引起的转向为逆时针转向。 力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式 如果r r 表示A点的矢径，则：,)(FrFmO 导出导出)()sin(FmdFF, rFrFrO力对点的矩等于矩心到该力作用点力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。的矢径与该力的矢量积。kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)(方向相同，的方向和)(FmFrO又.)(FrFmO 结论结论 力对点的矩的解析表达式力对点的矩的解析表达式 kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(三、力对轴的矩三、力对轴的矩 实例实例的面积2)()(BOA

10、dFFmFmxyxyOz它是代数量，正负规定它是代数量，正负规定 + + 定义定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度力使物体绕某一轴转动效应的量度, ,称为力称为力对该轴之矩对该轴之矩. .3. 力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFm由合力矩定理：即yXxYFmz)(同理可得其余两式，即有：yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)()()(力对轴的矩的解析力对轴的矩的解析式式四、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系四、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等

11、于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 定理定理18力对点的矩与力对通过该点的轴力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系之矩的关系kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力对点所以力对点O O的矩为：的矩为：222)()()()()(FmFmFmFmFmzyxOO大小：)()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOx方向：五、力对点的矩的解析求五、力对点的矩的解析求法法20 例例1 1 已知已知: :P P=2000N,=2

12、000N, C C点在点在OxyOxy平面内平面内求：力求：力P P 对三个坐标轴的矩对三个坐标轴的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解： 方法一方法一 ：应用合力矩定理求解：应用合力矩定理求解21)mN(2 .3860cos45cos560sin45cos60)5(6)()()()(PPPPPmPmPmPmyxzzyzxzz)mN(8 .8445sin6600)()()()(PPPmPmPmPmzzxyxxxx)mN(7 .7045sin5500)()()()(PPPmPmPmPmzzyyyxyy22 方法二方法二 ：应用：应用力对轴

13、的矩的解析式力对轴的矩的解析式求求解解 60cos45cos60sin45cos45cos,45sinPPYPPXPPPPZyxxyz. 0cm,6cm,5zyxmN2 .38)(mN7 .70)(mN8 .84)(yXxYPmxZzXPmzYyZPmzyx4-3 4-3 空间力偶空间力偶一、空间力偶一、空间力偶三要素三要素 力偶矩的大小力偶矩的大小 ； 力偶作用面的方位力偶作用面的方位 ； 力偶的转向力偶的转向 。决定空间力偶对刚体的作用效应决定空间力偶对刚体的作用效应, ,除力偶矩的大小、力偶的除力偶矩的大小、力偶的转向外转向外, ,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，还必须确定

14、力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则则空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作用效应取决于下列用效应取决于下列三要素：三要素：y 空间力偶空间力偶三要素可以三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩力偶矩矢。矢。二、力偶矩用矢量表示二、力偶矩用矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢 力偶矩矢表示方法力偶矩矢表示方法 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 矢量的指向：与转向的关矢量的指向：与转向的关系服从

15、右手螺旋定则。系服从右手螺旋定则。 证明证明 ： 作作II/II/，cd / abcd / ab 作一对平衡力作一对平衡力R, RR, R ( (在在E E点点, , 且且 使使- -R=R)R=R) 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。F F1 1与与R R合成得合成得F F2 2，作用在，作用在d d点点 F F1 1与与R R合成得合成得F F2 2，作用在，作用在c c点点 且且R-FR-F1 1=F=F2 2 ，R-R- F F1 1= F=

16、F2 2 由反向平行力合成得由反向平行力合成得：三、空间力偶的等效定三、空间力偶的等效定理理 定理定理 在在I I内的力偶（内的力偶（F F1 1，F F1 1）等效）等效变成变成IIII内的（内的（ F F2 2， F F2 2） 推论推论 在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。不改变它对刚体的作用。 空间力偶矩矢是一个自由矢量空间力偶矩矢是一个自由矢量 由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶表

17、示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。矩矢是一个自由矢量。四、空间力偶系的合成与平衡四、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。成法则。 即：合力偶矩即：合力偶矩 = = 分力偶矩的矢量和。分力偶矩的矢量和。 合成合成niinmmmmmm1321即即：mmmmmmmmmmzyxzyxcos,cos,cos;222大小大小：方向方向：0imm显然空间力偶系的平衡条件

18、是：显然空间力偶系的平衡条件是：三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量0ym投影式为投影式为：亦称为亦称为 空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程0 xm0zm2 平衡 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。扩充为空间坐标系。 4-4 4-4 空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化nFFF,21 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间一般力系空间一般力系试将试将力系向力系向O O点简化点简化 根据力线平移根据力线平移定理，将各力

19、平行搬移到定理，将各力平行搬移到O O点，得到一点，得到一空间汇交力系：空间汇交力系：. )(),(),(2211nOnOOFmmFmmFmm一、简化方法一、简化方法 任选任选O O点为简化中心点为简化中心 将各力平行搬移到将各力平行搬移到O O点点, , 321nFFFFnmmm,21和一附加力偶系：和一附加力偶系：;,2211nnFFFFFF 空间力偶是自由矢量，总可汇交于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O O点。点。RFFFFFFFFRinino2121汇交力系合力汇交力系合力 合成合成空间汇交力系空间汇交力系 合成合成附加力偶系附加力偶系附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩)()()()

20、(2121ionoooinoFmFmFmFmmmmmM二、主矢与主矩二、主矢与主矩1. 1. 主矢：指原主矢：指原空间空间一般力系各力的矢量和一般力系各力的矢量和 。iFiFR即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和, ,所所以它与简化中心的位置无关。以它与简化中心的位置无关。主矢大小主矢大小: :222222)()()(ZYXRRRRRzyx主矢方向主矢方向:cos,cos,cosRZRYRX 主矩：指原主矩：指原空间空间一般力系对简化中心之矩的矢量和一般力系对简化中心之矩的矢量和 。 )(ioFm)(iooFmM即大小大小：因主

21、矩等于各力对简化中心之矩的矢量和因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和所以它的大小和方方向与简化中心有关。向与简化中心有关。注意注意： 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:)( )( ; )( )( ; )( )(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyixxiOOx222OzOyOxOMMMM主矩主矩OM解析求法解析求法OOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos方向方向：三、结论三、结论空间空间一般力系向任一点一般力系向任一点O O 简化简化 ，一般可以得到一力和，一般可以得到一力和一力偶一力偶 ；该力作用于简化中心；该力作用于

22、简化中心 ，其大小及方向等于该力系的，其大小及方向等于该力系的主矢主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零) ) 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。矢、主矩的不同情况分别加以讨论。 若若 , , 则该力系平衡（下节专门讨论）。则该力系平衡（下节专门讨论）。0, 0OMR 若若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主

23、矩系对于简化中心的主矩M MO O。此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。0, 0OMR 若若 则力系可合成为一个合力，力系合力则力系可合成为一个合力，力系合力0, 0OMRR等于主矢等于主矢 ，合力，合力 通过简化中心通过简化中心O O点。（此时主矩与简点。（此时主矩与简RR（一）（一）力系平衡力系平衡（二）（二）力系简化为一个合力偶力系简化为一个合力偶（三）（三）力系简化为一个合力力系简化为一个合力空间力系简化结果分析空间力系简化结果分析 若 , 时，OMR 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,)(dRMO可进一步简化，将可进一步简化，将M MO O

24、变成变成( ( R R, ,R R) ) 使使RR与与RR 抵消只剩下抵消只剩下R R 例例 拧螺丝炮弹出膛拧螺丝炮弹出膛（四）（四）力系简化力系简化为力螺旋为力螺旋力螺旋力螺旋 由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系 若 ， 时，OMR /0,0OMRM M 和和主矢主矢R R合成为合力合成为合力R R 而：而：sinRMRMOOO所以所以M M/和和R R 在在O O点处形成一个点处形成一个力螺旋。力螺旋。M M/不变，是在平面内的一力偶不变，是在平面内的一力偶 若若 ，R R不平行也不垂直不平行也不垂直M M0 0，成最一般的成最一般的任

25、意角任意角 时，时， 0, 0OMR可将可将M M/搬到搬到OO处处因为因为M M/ / 是自由矢量是自由矢量，首先把首先把M MO O 分解为分解为M M/和和M M , 力系简化中，不随简化中心改变的量有：力系简化中，不随简化中心改变的量有：R R， M M/ 简化中心为简化中心为O O时：有时：有M M 和和M M/，当简化中心为另一点，当简化中心为另一点O O1 1 时，时，为为M M 和和M M/ ， 即即M M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简化总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关）中心无关） 注意注意, , R R， M M/是力系简化中的不变量是力系简化中的不变量 一

26、、空间一、空间一般一般力系平衡的充要条件力系平衡的充要条件0)(iOOFmM00FR0)()()(222ZYXRR0) )() )() )(222FmFmFmMMzyxOO 4-5 4-5 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系的平衡方程及应用空间空间一般一般力系平衡力系平衡00OMR必要充分 平衡的充要条件平衡的充要条件力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 都等于零都等于零，即： OMR0)(, 00)(, 00)(, 0FmZFmYFmXzyx 解析法平衡充要条件解析法平衡充要条件六个独立的方程，只能求解六个未知量六个独立的方程，只能求解六个未知量称为空间称为空间一般一般力系的平衡方程力系

27、的平衡方程三、由三、由空间空间一般一般力系的平衡方程导出的其它方程力系的平衡方程导出的其它方程 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程因为各力线因为各力线作用作用都汇交于一点，各轴都通都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。000ZYX三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz 空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程设各力线都设各力线都 / / z 轴轴因此因此均成为了恒等式，而自然满足。均成为了恒等式，而自然满足。即有：三个独立的方程，只能求解三个未知量

28、三个独立的方程，只能求解三个未知量二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动）轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 例例 1 1、球形铰链、球形铰链2 2、止推轴承、止推轴承3 3、带有销子的夹板、带有销子的夹板4 4、空间固定端、空间固定端球形铰链球形铰链活页铰活页铰滑动轴承滑动轴承带有销子的夹板带有销子的夹板空间固定端空间固定端 4-6 4-6 平行力系的中心平行力

29、系的中心 物体的重心物体的重心一、空间平行力系的中心一、空间平行力系的中心 平行力系的中心坐标公式平行力系的中心坐标公式由合力矩定理由合力矩定理： 矢量形式矢量形式)()(iOOFmRm 定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点点C C 就是此平行力系的中心就是此平行力系的中心。nnCFrFrFrRr2211;,00110PFFPFFPRRnn令nnCrFrFrFrR2211P P0 0 为沿为沿 方向的单位矢方向的单位矢量量RiiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , 此式称矢量形式此式称矢量

30、形式平行力系的平行力系的中心中心坐标公式坐标公式 直角坐标形式（投影式）直角坐标形式（投影式）物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 二、二、 物体的重心物体的重心 定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为物体的重心。个确定的点，这个点称为物体的重心。 重心坐标公式重心坐标公式 确定物体重心的意义确定物体重心的意义 保证平衡的稳定性保证平衡的稳定性； 保证运动的稳定性；保证运动的稳定性； 消除振动。消除振动。 如果把物体的重力都看成如果把物体的重力都看成为

31、平行力系，则求重心问题为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题就是求平行力系的中心问题。iiCxPxPPxPxiiC即有：由合力矩定理：由合力矩定理： 直角坐标形式直角坐标形式iiCyPyP又 根据平行力系中心位置与各根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将平行力系的方向无关的性质，将力线转成与力线转成与 y y 轴平行，再应用合轴平行，再应用合力矩定理对力矩定理对 x x 轴取矩得：轴取矩得：PyPyiiC有：,iiCzPzP得：PzPziiC综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以若以P

32、 Pi i= = m mi ig , P=Mg g , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式代入上式可得质心坐标公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC, 积分形式积分形式 设设 I I 表示第表示第i i个小部分每单位体积的重量，个小部分每单位体积的重量，V Vi i 第第I I 个小个小体积体积, ,则则iiiVP代入上式并取极限，可得：代入上式并取极限，可得：PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC, 式中式中 ，上式，上式称称为为 积分形式积分形式重心坐标公式。重心坐标公式。VdVP对于均质物体，对于均质物体， = = 恒量，上式成为：恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVx

33、xVCVCVC,同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 均质物体重心坐标公式均质物体重心坐标公式形心形心（几何中心几何中心）坐标坐标 设设 表示单位体积的重量，表示单位体积的重量，V Vi i 第第i i个小体积个小体积, ,则则iiVP代入代入直角坐标形式重心坐标公式直角坐标形式重心坐标公式，可得，可得：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC, 均质立体均质立体 同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写出相应的公式。出相应的公式。 均质薄曲（平）面均质薄曲（平）面

34、AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC, 均质细曲（直）杆均质细曲（直）杆lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,三、重心的求法三、重心的求法 对称法对称法 具有对称点具有对称点对称轴对称轴对称面的均质物体，其重心就对称面的均质物体，其重心就在其对称点在其对称点对称轴对称轴对称面上。对称面上。 组合法组合法 分割法分割法 例例 已知：已知：Z Z 形截面，尺寸形截面，尺寸如图。如图。求：该截面的重心位置求：该截面的重心位置。 解解：将该截面分割为三部分将该截面分割为三部分，取取OxyOxy直角坐标系，如图直角坐标系，如图。2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx22

35、22cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syx 负面积法负面积法 解解： Z Z 形截面可视为由面形截面可视为由面积为积为S S1 1的大

36、矩形和面积分别为的大矩形和面积分别为S S2 2及及S S3 3的小矩形三部分组成，的小矩形三部分组成， S S2 2及及S S3 3是应去掉的部分，面积为是应去掉的部分，面积为负值。负值。2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syxcm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 230321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syx 解解：由于对称关系，该圆弧重心必在由于对称关系