西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 相似矩阵

1、定义定义., , 22112121的的内内积积与与称称为为向向量量令令维维向向量量设设有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 向量内积的定义及运算规律第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型., 都是列向量都是列向量其中其中内积的矩阵表示内积的矩阵表示yxyxyxT .,)3(;,)2(;,)1(:),( zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 为为实实数数量量维维向向为为其其中中内内积积满满足足下下列列运运算算规规律律定义定义).(, 22221或范数或范数的长度的长度维向量维向量称为称为令令xnxxxxxxxn 向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：.)3(

2、;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx 三角不等式三角不等式齐次性齐次性时时当当时时当当非负性非负性 向量的长度.,1为为单单位位向向量量称称时时当当xx ).0( , 1, 2时时当当从从而而有有不不等等式式向向量量的的内内积积满满足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx定义定义.,arccos ,0, 0的的夹夹角角与与维维向向量量称称为为时时当当yxnyxyxyx ., 0.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若正交正交与与称向量称向量时时当当xxyxyx 向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是

3、正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理.,2121线线性性无无关关则则零零向向量量是是一一组组两两两两正正交交的的非非维维向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称两两两两正正交交如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr 定义定义正交向量组的性质)., 2 , 1(, ,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表为为中中任任一一向向量量那那么么的的一一个个规规范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化

4、方法.,2121范范正正交交化化这这个个基基规规只只需需把把的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设aaaVVaaarr.,.,;,;2121111122221111111212211等价等价且与且与两两正交两两正交则则取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化.,1,1,1222111的的一一个个规规范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 例例1.,014,131,121 321量规范正交化量规范正交化特正交化过程把这组向特正交化过程把这组

5、向试用施密试用施密设设 aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eee定义定义.),( 1为为正正交交矩矩阵阵那那么么称称即即满满足足阶阶矩矩阵阵如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一个个规规范范正正交交基基向向量量构构成成向向量量空空间间行行个个列列的的正正交交矩矩阵阵RnAn正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充

6、分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交AA定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 则则有有为为正正交交变变换换设设PPxy 例例2 2 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考

7、察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912例例3 3.2121000021212121212121212121是正交矩阵是正交矩阵验证矩阵验证矩阵 P解解., 是正交矩阵是正交矩阵所以所以且两两正交且两两正交向量向量的每个列向量都是单位的每个列向量都是单位PP定义定义.,的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那么那么成立成

8、立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设 AxAxAxxnnA .)(.0的特征多项式的特征多项式称为方阵称为方阵的特征方程的特征方程称为方阵称为方阵AEAfAEA 方阵的特征值和特征向量例例4 4 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征向量

9、是对应于所以kkp由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系.1)0(322的全部特征向量是对应于所以kkp.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 则有则有的特征值为的特征值为若若个特征值个特征值有有阶方阵阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当其中其中的特征值的特征值是是为任意自然数为任意自然数的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是则则的特征值的特征值是是设设AAA

10、AAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 有关特征值的一些结论AA的行列式的行列式用特征根计算方阵用特征根计算方阵1.;,EABAABA552113323321求求设设个特征值为个特征值为它的它的阶矩阵阶矩阵是是设设例5例5解解.21AAAn来计算来计算要关系要关系的行列式与特征值的重的行列式与特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,321的全部特征值的全部特征值是是因为因为A )(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( ,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值为的所有特征值为所以所以, 2, 1, 1321

11、的所有特征值为的所有特征值为因为因为A)31 ()( ifiBAAAf235)(所以所以 是是 的全部特征值，故的全部特征值，故)(5AgEA .72)2()1()1( ggg的可逆性的可逆性来讨论来讨论的特征值的特征值用方阵用方阵AkEA ,2., 0,;, 0,可逆可逆的特征值时的特征值时不是不是当当不可逆不可逆的特征值时的特征值时是是当当AkEAkEAkAkEAkEAk ?,)( ?,)( ,是否可逆是否可逆且且的特征值的特征值是是设设是否可逆是否可逆若若阶方阵阶方阵为为设设EAAAEEAnA12812例6例6解解, 1, 121 的特征值为的特征值为A,)1(2EA .8可逆可逆从而从

12、而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak ., 1,均可逆均可逆对对一般地一般地AkEk 于是于是的特征值的特征值不是不是所以所以因为因为,1, 1)2(A .均为可逆矩阵均为可逆矩阵故故EA . 0)1( , 01 AEAE,)1()(EAAEAEn 又又; 0 EA,)1()(EAEAAEn , 0 EA定理定理., , , 21212121征征向向量量是是线线性性无无关关的的即即属属于于不不同同特特征征值值的的特特线线性性无无关关则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设ppppppmAmmmm 定理定理 属于同一

13、个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论定义定义.,.,11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵.,)2( 2121个特征值个特

14、征值的的是是则则相似相似与对角矩阵与对角矩阵若若nAAnn 有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同ABAABB)1(.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 则有则有为对角阵为对角阵使使若有可逆阵若有可逆阵特别地特别地则则若若(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量AAn(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似AAn 163053064A设设A能否对角化？

15、若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例7.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,21

16、3 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P.)1(实实数数实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值为为.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向实实对对称称矩矩阵阵的的属属于于不不同同.,)3(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的必必有有则则对对应应重重特特征征值值的的是是实实对对称称矩矩阵阵若若rrA .,.)4(1对对角角阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得则则必必有有正正交交阵阵称称阵阵阶阶实实对对为为

17、即即若若实实对对称称矩矩阵阵必必可可对对角角化化nAAPPPnA 实对称矩阵的相似矩阵解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例8 8 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi, 0 得得由由对对, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12

18、 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 AP

19、P则则 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 21 xEA 1101 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰恰好好正正交交与与 .,321两两两两正正交交所所以以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则定义定义.2 22 ),( ,1, 13113211222222211121

20、21称称为为二二次次型型的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn 二次型., .,的的秩秩的的秩秩称称为为二二次次型型称称阵阵对对的的二二次次型型称称为为对对称称阵阵的的矩矩阵阵为为二二次次型型称称其其中中二二次次型型可可记记作作fAAffAAAAxxfTT 二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的.,;,称为实二次型称为实二次型是实数时是实数时当当称为复二次型称为复二次型是复数时是复数时当当fafaijij解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .3303

21、22021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例9定义定义).( 2222211或或法法式式称称为为二二次次型型的的标标准准形形只只含含平平方方项项的的二二次次型型ykykykfnn 二次型的标准形).()(,)1(ARBRBAACCBCT 且且亦为对称阵亦为对称阵则则阵阵为对称为对称如果如果令令任给可逆矩阵任给可逆矩阵.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中化化为为标标准准形形使使有有正正交交变变换换总总任任给给实实二二次次型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij 化二

22、次型为标准形.,)3(变变换换换换一一般般而而言言不不是是正正交交此此时时所所用用的的可可逆逆线线性性变变形形二二次次型型化化为为标标准准拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例1010从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得

23、得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正

24、交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例111131212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令

25、3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例1212由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得

26、 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C定义定义., 0)(, 0;,),0)0(0)(, 0,)(是负定的是负定的并称对称矩阵并称对称矩阵为负定二次型为负定二次型则称则称都有都有如果对任何如果对任何是正定的是正定的称对称矩阵称对称矩阵并并为正定二次型为正定二次型则称则称显然显然都有都有如果对任何如果对任何设有实二次型设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT 正定二次型.,),0(),0(,212122222112222211数数的的个个数数相相等等中中正正中中正正数数的的个个数数与与则则及及使使及及实实的的可可逆逆变变换换有有两两个个它它的的秩秩为为设设有有实实二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 惯性定理.2)(; ;,21量量化化线线性性变变换