西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数练习题

1、线性代数模拟题一一 单项选择题（每题3分，共18分） 1已知矩阵，且，则 a. 当时，必有秩； b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩； d. 当时，必有秩。2 已知 为3维列向量组，行列式 ，则行列式 a. 6； b. 6； c. 18； d. 18。3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是 a. L； b. L；c. L； d. L。4设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是 a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。5. 设为非零实矩阵，是行列式 中元素的代数余子式，则矩阵

2、必为 a. 不可逆矩阵； b. 对称矩阵； c. 正交矩阵； d. 正定矩阵。6设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 a. ； b. ； c. ； d. 。 二 填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为 ；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组 的通解为 ；3. 设实对称矩阵满足，则二次型 经正交变换 可化为标准形 ；4已知矩阵满足，且，则行列式 ；5设4阶矩阵满足行列式，则其伴随矩阵必有一个特征值为 ；6 已知4阶矩阵 的秩 ，则齐次线性方程组 的基础解系含 个线性无关的解向量。二 计算题（每题8分，共48分）1已知阶矩阵且满足方程 ，

3、其中，求矩阵。2. 已知非齐次线性方程组 ，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。3. 求正交变换,将实二次型 化为标准型,并写出正交变换。4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。5. 已知 是3维线性空间的一个基，且 ， ， 。 （1）求由基 到基的过渡矩阵；（2）设向量 ，求 在基 下的坐标6. 设列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. （1）求常数 ； （2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？ 为什么？四 证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1） 矩阵的特征值都大于零； （2）若，则为正定矩阵。2设阶方

4、阵,其中是维列向量,证明：（1）的充要条件为； （2）当时，矩阵不可逆。模拟题一答案一 选择题 B A A C D二 填空题1. ； 2.；3.；4.； 5.三 计算题1； 2(1) (2) ， 3无解， 唯一解，通解为 ；4(1) 特征值 ；特征向量； (2) ，。5；6. (1)；(2)；(3), A。四 证明题1(1) ，故。 (2) ，且可由线性表示,故向量组与等价。 (1) 若不，则对任意， 线性相关，线性无关,故由线性表示，矛盾。2(1) 因为,且所以。(2) 因为，特征值的取值为，线性无关特征向量有个线性无关特征向量有个所以有个线性无关的特征向量，能相似于对角阵。(3) 的特征值

5、为344和549，所以，其中为特征值3的重数。线性代数模拟题二一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。2. 设三阶矩阵 ，已知伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3. 设是维非零实列向量,矩阵,，则_(A) 至少有1个特征值为1； (B) 只有1个特征值为1；(C) 恰有个特征值为1； (D) 没有1个特征值为1。4. (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。5. 设为

6、实矩阵，则 (A) 必合同于阶单位矩阵； (B) 必等价于阶单位矩阵；(C) 必相似于阶单位矩阵；(D) 是阶单位矩阵。二、填空题（每题3分，共15分）1已知为阶方阵，不是的特征值，且，则 。2. 若三阶方阵有特征值 ，则行列式 。3已知实二次型正定,则常数的取值范围为_。 4. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为 。5. 设为阶实矩阵，且，则行列式 。三、计算题(每题9分,共54分)1 线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。2. 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中， 。3计算行列式，其中， 4.

7、 已知实二次型 =，求正交变换,化为标准形，并写出正交变换 5. 已知为三阶实对称矩阵，秩,是对应特征值的特征向量，试求：（1）的另一个特征值及其特征向量； （2） 矩阵，矩阵。6. 设的两个基，；， （1） 求由基 的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐标；(3) 求在基下有相同坐标的所有向量。四、证明题(每题8分,共16分)1 设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要条件为秩。2. 设是阶实矩阵,的特征值互异。证明:矩阵的充分必要条件为的特征向量都是的特征向量。模拟题二答案一、选择题1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 二、填空题1. ； 2. ； 3. ；4. 是的极大线性无关组；5. 三、计算题1. 当2时，方程组有唯一解 当2，1时，方程组无解 当2，1时，2 < 3，方程组有无穷多组解,其通解为 ，为任意常数。2. ， 3. ， ，。4.的矩阵，有特征值 A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量，；， 于是正交变换即 化二次型为标准形 。5（1） 因为，所以；设，由正交， 得 （2） 设，则 。6. (1) 设 , (2) ，坐标 （3） 设 则 解得，故。四、证明题1设，则都是线性方程组的解。故方程组有非零解。2 必要性： 设，则当时，由，知 都是对应特征