西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第八章随机变量的数字特征

1、他们的射击技术分别为他们的射击技术分别为乙两个射手乙两个射手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?引例引例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0第八章随机变量的数字特征第八章随机变量的数字特征解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别设设甲甲故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.1

2、. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望的和为随机变量的和为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正平均

3、值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 并非所有的随机变量数学期望都存在并非所有的随机变量数学期望都存在例如：例如： 的数学期望不存在的数学期望不存在 112,( 1),1,2,2kkkkkkP XxpxkXk 例例1 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkp

4、pknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望为 p.=np例例2 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有 0!)(kkekkXE 11)!

5、1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),(PX 例例3 几何分布几何分布 102111 pkpqpqkXPk;,;,则有则有 1111kkkkqkppqkXE)(的分布律为的分布律为设设Xvr. 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(在区间在区间 上取值的概上取值的概率约为率约为,iiixxxiixxp)(连续型随机变量连续型随机变量 在一点取值的概在一点取值的概率为零率为零0)(xXPxFX)(xpyiixxixx而这个离散型随机变量的数学期望为而这个离散型随机变量的数学期望为iiiixxpx)(ix足够小足够小 与以概率与以概率 取值取值 的的离散型随机

6、变量近似离散型随机变量近似iixxp)(Xix2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义.d)()().(,d)(,d)(),( xxpxXEXEXxxpxxxpxxpX即即记为记为的数学期望的数学期望变量变量的值为随机的值为随机则称积分则称积分绝对收敛绝对收敛若积分若积分的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义（2）并非所有连续型随机变量的数学期望都存在）并非所有连续型随机变量的数学期望都存在【说明】【说明】21( )(1)p xx （1）此处要求）此处要求 与离散型要求绝对收敛是同一个与离散型要求绝对收敛是同一个 意义意义dxxpx)( 设顾客在某

7、银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 .,)(000515xxexpx试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解 xxpxXEd)()(xexxd5150 ).(5 分钟分钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例4 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?例例5 均匀分布均匀分布则有则有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba .,)(其它其它01bxaabxp其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论结论 均

8、匀分布的数学均匀分布的数学期望位于区间的中点期望位于区间的中点.例例6 指数分布指数分布 .,)(,0000 其中其中其概率密度为其概率密度为服从指数分布服从指数分布设随机变量设随机变量xxexpXx则有则有xxxpXEd)()( xexxd 0.1 xexexxd00 例例7 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxpXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx .,)()( xexpx021222. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 正正是是它它的的数数学学期期望望。中中的的可可

9、见见),(,2N若若X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为为X的函数的函数), 2 , 1(, kpxXPkk则则Y的期望为的期望为.)()( 1kkkpxfXfE1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望.d)()()(xxpxfXfE 若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 p(x) 则则3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxfYXfEy

10、xfYX则则数数为为二二元元函函为为离离散散型型随随机机变变量量设设.),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为其中其中.dd),(),(),(yxyxpyxfYXfE 则则数数为为二二元元函函为为连连续续型型随随机机变变量量设设,),(,)(yxfYX2).,(),(yxpYX的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例8 设设 (X ,Y) 的分布律为的分布律为. 03 . 014 . 003 . 01

11、)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律为的分布律为Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 01

12、3 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 1. 设设C是常数是常数, 则有则有.)(CCE 证明证明.1)()(CCCEXE 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 证明证明kkkpCxCXE )().(XCE kkkpxC 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 则则.1553 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 kkkkkkpypx).()(YEXE 4. 设设 X、Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,

13、则有则有).()()(YEXEXYE 3. 设设 X、Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 证明证明kkkkpyxYXE )()(说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似机变量数学期望的性质类似.推广推广).()( niiiniiiXEaXaE11 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机的二项分布的随机变量变量X的数学期望是的数学期望是np. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n因为因为 P(X

14、i =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(Xi)= )1 (01pp= p数学期望性质的应用数学期望性质的应用).,)(,.10,20互独立互独立并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车如到达一个车站没如到达一个车站没个车站可以下车个车站可以下车旅客有旅客有位旅客自机场开出位旅客自机场开出一民航送客车载有一民航送客车载有XEX解解,iX引入随机

15、变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例9,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 例例10 某人用某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经一是购买股票；二是存入银行获取利息。买股票的收益取

16、决于经济形势，若经济形势好可获利济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利万元，形势中等可获利1万元，形万元，形势不好要损失势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。 试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？（一）在效益、利润等经济问题中的应用（一）在效益、利润等经济问题中的应用购买股票的获利期望购买股票的获利期望14 0.31 0.5( 2) 0.21.3E 万元万元万元万元存入银行的

17、获利期望存入银行的获利期望20.8 10.8E 12EE 购买股票效益较大购买股票效益较大四、数学期望的应用四、数学期望的应用例例1111 医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到在大量人医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到在大量人群中普查某种疾病。如甲肝的普查就需要对某地区大量人进群中普查某种疾病。如甲肝的普查就需要对某地区大量人进行行血检。假设需要检查血检。假设需要检查N个人的血：有两种方案个人的血：有两种方案 （1）逐人验血；）逐人验血； （2）把这）把这N个人大致分为若干组，每组个人大致分为若干组，每组k个人，把这个人，把这k个个人的血样混合，首先检验混合血样人的血样混合，首先检验混合

18、血样；如果结果呈阳性，则再；如果结果呈阳性，则再逐个验血。逐个验血。 假定对所有人来说，化验结果呈阳性的概率相等，而且假定对所有人来说，化验结果呈阳性的概率相等，而且这些人的反应是相互独立的，证明当被普查人数众多时，应这些人的反应是相互独立的，证明当被普查人数众多时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数。用分组检验的方法能大大减少检验的次数。（二）在医学疾病普查中的应用（二）在医学疾病普查中的应用（1）逐人验血，共需）逐人验血，共需N次，平均每人次，平均每人1次次分析：分析：1k若混合血呈阴性，平均每人若混合血呈阴性，平均每人 次，次，（2）k人一组人一组: 1kk若混合血呈阳性，平均每人若

19、混合血呈阳性，平均每人 次，次，11(1)1kkkXqpkkqq p假设每个人的化验结果呈阳性的概率都为假设每个人的化验结果呈阳性的概率都为解解，则分组后每，则分组后每人平均所需检验次数人平均所需检验次数 服从如下分布服从如下分布X则，每人平均所需检验次数的期望为则，每人平均所需检验次数的期望为111(1)1kkkkEXqqqkkk 1kqk 即只要即只要便可使便可使 从而减少检验次数从而减少检验次数1EX 例例12 设有设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为个相互独立的元件，其寿命服从参数为的指数分布，的指数分布，1,0( )0,0 xexf xx（1）若将这）若将这5个元件组成一个串联系

20、统，求该系统的平均寿命；个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；（2）若将这）若将这5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；（1）如图，设串联系统的寿命为）如图，设串联系统的寿命为Y 12345min,YXXXXX 解：以解：以 表示元件的寿命表示元件的寿命(1,2,3,4,5)iX i （三）在系统平均寿命评价中的应用（三）在系统平均寿命评价中的应用 (5 1)( )5 1( )( )YfyF yf y 415 ()000yyeeyy 55000yeyy 505( )5yYEYyfy dyyedy 则则 12345max,ZXXXXX （

21、2）如图，设并联系统的寿命为）如图，设并联系统的寿命为Z (5 1)( )5( )( )ZfzF zf z 45(1)000zzeezz 137( )60ZEZzfz dz 根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?练习题练习题解解设设1年

22、中死亡人数为年中死亡人数为X ,)002. 0 ,10000( bX则则 10000010000)002. 01()002. 0(1000)(kkkkkXE).(20 人人 被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.解解),9 ,75( NX因为因为,)()(

23、22375231 xexp知知xxpxXEd)()( 故故 xexxd231223)75().(75 分分 例例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其设其成绩成绩 X 服从服从 N(75, 9) 的正态分布的正态分布,试求学生成绩的试求学生成绩的期望值期望值.解解)5()(2)52(33EXEXE , 5)(23 XE1213121121031)2()(33333 XE又又,31 .31353125)(2)52(33 XEXE故故例例3 设设求求:).52(3 XE3102 3121121121Xp., 0, 30,9)(, 0, 10,2)(,)()(

24、2的均值的均值试求电压试求电压其它其它其它其它其概率密度分别为其概率密度分别为相互独立的随机变量相互独立的随机变量是两个是两个与电阻与电阻设一电路中电流设一电路中电流IRVrrrhiiigRAI 解解)()(IREVE )()(REIE d)( d)( rrrhiiig3132002d d 9riir ).(23V 例例4:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例5商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款

25、元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0, 0, 0,101)(,10的的数数学学期期望望试试求求该该商商店店一一台台收收费费概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxexfXx 解解xeXPxd10111010 1 . 01 e,0952. 0 xeXPxd101211021 2 . 01 . 0 ee,0861. 0 xeXPxd101321032 ,0779. 03 . 02 . 0 eexeXPxd1013103 .7408. 03 . 0 e的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000

26、952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732即平均一台收费即平均一台收费其规律为其规律为独立独立且两者到站的时间相互且两者到站的时间相互的的但到站的时刻是随机但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站某车站每天某车站每天按规定按规定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅

27、客例例6).(以分计以分计设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为 X解解的分布律为的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为四、小结四、小结1. 数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从

28、本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 ).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独立独立3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二项项分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分分 布布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2,

29、 几几何何分分布布 PX=k=ppk 1)1( k=1,2, p1 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望 分布名称分布名称 概率密度概率密度 )(XE 均匀分布均匀分布 XUa,b p(x)= 其他其他, 0,1baxab 2ba 正态分布正态分布 ),(2 NX p(x)=222)(21 xe 指数分布指数分布 )( EX p(x)=)0(, 00, 其他其他xex 1 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评

30、价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第第2 2节方差节方差又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮

31、的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设22222 1. 方差的定义方差的定义一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X取取值分散程度的量值分散程度的量.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X) 值小值小, 则表示则

32、表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.2. 方差的意义方差的意义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(xxpXExXD 23. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)

33、()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 证明证明22)()()(CECECD 4. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD

34、证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推广推广).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 则有则有相互独立相互独立若若,21nXXX即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 则则若若

35、)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.) 2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知例例21. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为

36、n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为npEX 解解1)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 设设XB(n,p), 则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数 . 若设若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2

37、，n 故故 V(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1= p- p2= p(1- p)解解2于是于是i=1,2，n V(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互相互独立独立niiXDXD1)()(= np(1- p)3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有)(XE且分布律为且分布律为设设),(PX)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2

38、(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均匀分布均匀分布则有则有)(XE).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxf其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指数分布指数分布 . 0. 0 x, 0, 0 x,e)x( f,Xx 其中其中其概率密度为其概率密度为服从指数分布服从指数分布设随机变量

39、设随机变量则有则有)(XE./1 22)()()(XEXEXD 20 x2/1xdex 22/1/2 ./1/12 和和分分别别为为指指数数分分布布的的期期望望和和方方差差21 6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有)(XE., 0,21)(222)( xexfx. xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项

40、分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp.)(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX214331204220 解解,d)()(11 xxp因为因为例例3xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,4325

41、23d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 ).(,.,cos)(YDXYxxxpX的方差的方差求随机变量求随机变量其它其它的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续

42、型随机变量2020 解解xxpxXEd)()( 22, 24dcos2022 xxxxxpxXEd)()( 44 204dcosxxx例例4,)()()(22XEXEXD 因为因为22242424316 .2202 ,2431624 2242)()()(XEXEXD 所以所以三、小结三、小结1. 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 则表示则表示X 的的取值比较集中取值比较集中, 以以E(X) 作为随机

43、变量的代表性好作为随机变量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的计算公式方差的计算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性质方差的性质 ).()()(3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD1. 问题的提出问题的提出 那么那么相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质

44、协方差协方差第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数).()(),ov(C),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYX 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量是二维随机变量是二维随机变量2. 定义定义.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)2

45、(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 说明说明 .,)1(个个无无量量纲纲的的量量它它是是一一协协方方差差的的相相关关系系数数又又称称为为标标准准和和YX4. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE

46、).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 协方差的性质协方差的性质 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov(),Cov()2(为常数为常数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是证明证明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY.),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX解解 2222212121212221212112

47、1yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()(),Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是

48、结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机变量二维正态随机变量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分分别别服服从从已已知知随随机机变变量量?)3(.)2(.)1(为为什什么么是是否否相相互互独独立立与与问问的的相相关关系系数数与与求求的的数数学学期期望望和和方方差差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE

49、 .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故:,)3(可可知知立立两两者者是是等等价价的的结结论论关关系系数数为为零零和和相相互互独独由由二二维维正正态态随随机机变变量量相相.是相互独立的是相互独立的与与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 二、相关系数的意义二、相关系数的意义1. 相关系数的意义相关系数的意

50、义.Y,X,XY较密切较密切的线性关系的线性关系表明表明较大时较大时当当.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差较小时较小时当当YXXY.YX,0XY不不相相关关和和称称时时定定义义：当当 (1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系2. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充要条件; 0,1o XYYX不相关不相关; 0),Cov(,2o YXYX不相关不相关).()()(,3oYEXEXYEYX 不相关不相关 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在

51、相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象.一、问题的引入一、问题的引入第四节第四节 大数定律大数定律 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数

52、定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率大数定律的定义大数定律的定义定义定义.|lim,服服从从大大数数定定律律则则称称随随机机变变量量序序列列恒恒有有对对任任意意的的如如果果存存在在一一个个常常数数序序列列令令是是随随机机变变量量序序列列设设nnnnnniinnXaYPaaaXnYXXX00121121 二、基本定理二、基本定理（契比雪夫大数定理契比雪夫大数定理）有有则则对对于于任任意意正正数数并并有有公公共共的的上上界界且且都都具具有有有有限限的的方方差差两两两两不不相相关关设设随随机机变变

53、量量 ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n21.)(lim| )(|lim0111111 niiniinniknXEnXnPXEnXP.| )(1|, ,0, , ,| )(1|11成立的概率很小等式不充分大时当即对于任意正数时这个事件的概率趋于当明等式表是一个随机事件 niiniiXEnXnnXEnX 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,2 221| )(| XEXP证明证明)( niiniiXDnXnD12111由由

54、契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得,)()(221111110nCXDXEnXnPniinniinii ，则则在在上上式式中中令令 n.)(0XEn1Xn1Pn1iin1ii 证毕证毕故两两不相关因为,nXnC关于定理的说明关于定理的说明:. )X(En1Xn1X,X ,X , n in1in1iin21 值值的的算算术术平平均均接接近近于于它它们们的的数数学学期期望望均均的的算算术术平平随随机机变变量量很很大大时时当当（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时,差不多不再是

55、随机的，几乎变成一差不多不再是随机的，几乎变成一个常数个常数.切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述.limlim10 , 0 , , pnPpnPApAnAnAnA或或有有则则对对于于任任意意正正数数率率在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概是是事事件件的的次次数数发发生生次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件是是设设证明证明引入随机变量引入随机变量 ., 2 , 1, 1, 0kAkAkXk发生发生次试验中次试验中若在第若在第不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第（伯努利大数定理伯努利大数定理）nAXXX 21显然显然是相互独立的，是

56、相互独立的，因为因为, 21nXXX , )10( 分布分布为参数的为参数的服从以服从以且且 pXk,)()(,)(21411 kppXDpXEkk所以所以根据契比雪夫大数定理有根据契比雪夫大数定理有,)(lim0121 pXXXnPnn.lim0 pnPAn即即证毕证毕关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:. , 表表达达了了频频率率的的稳稳定定性性它它以以严严格格的的数数学学形形式式率率收收敛敛于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的频频率率贝贝努努利利定定理理表表明明事事件件发发pnA 故而当故而当n很大时很大时, 事件发生的频率与概率有事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小较大

57、偏差的可能性很小. 在实际应用中在实际应用中, 当试验当试验次数很大时次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替便可以用事件发生的频率来代替事件的概率事件的概率. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法概率的方法.蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的的近似值近似值.针长针长L线距线距aamLn2 下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，

58、不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径.三、典型例题三、典型例题?2111210,22221理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互独立相互独立设随机变量设随机变量nnnPnanaXXXXnn

59、 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？ )(nXE222n21na)n11(0n21na , 0 例例1说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE22221)(2anna )(nXD22 )()(nnXEXE ,2a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出，从中任意选出600600粒，试

60、用切比晓夫（粒，试用切比晓夫（ChebyshevChebyshev）不等式估计：）不等式估计：这这600600粒种子中良种所占比例与粒种子中良种所占比例与1/61/6之差的绝对值之差的绝对值不超过不超过0.020.02的概率。的概率。02. 0600100-X P02. 061600X P .6561600DX ,61600 EX 由切比晓夫不等式有61例例2 24213. 01446561600112112100-XP2DX四、小结四、小结契比雪夫大数定理契比雪夫大数定理伯努利大数定理伯努利大数定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以