考前自我保持状态参考题

1、考前自我保持状态参考题1 考前10天1（本小题共14分）设aR，函数f(x)=e-x(a+ax-x2) （e是自然对数的底数） .若a=1，求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程.判断f(x)在R上的单调性解：Qf(x)=e-x(a+ax-x2)f'(x)=-e-x(a+ax-x2)+e-x(a-2x)=e-xxx-(a+2)_3分（1）当a=1时f'(x)=e-xx(x-3)，f'(-1)=4e，f(-1)=-e_5分切线方程为y+e=4e(x+1)即4ex-y+3e=0，_7分（2）令f'(x)=0得x=0，x=a+2当a+2>0即a&g

2、t;-2时，f'(x)>0f(x)在(-,0)，(a+2,+)单调递增 在(0,a+2)单调递减_10分当a+2<0即a<-2时，f'(x)<0f(x)在(-,a+2)，(0,+)单调递增在(a+2,0)单调递减_12分-x2当a+2=0，即a=-2时，f'(x)=ex0，f(x)在R上单调递增_14分2（本小题共14分）uuuruuuruuuruuur已知两点M(0,1)N(0,-1)，平面上动点P(x,y)满足|NM|MP|+MNNP=0.求动点P(x,y)的轨迹C的方程；.设Q(0,m)，R(0,-m)（m0）是y轴上两点，过Q作直线与曲线

3、C交于A、B两点，试证：直线RA、RB与y轴所成的锐角相等；.在的条件中，若m<0，直线AB的斜率为1，求VRAB面积的最大值.uuuuruuuuruuuruuur解：.Q|NM|MP|+MNNP=0，(0,-2)(x,y+1)=0_2分化简整理得x2=4y动点P(x,y)的轨迹C为抛物线，其方程为：x2=4y_4分. Q过Q作直线l与抛物线C交于A、B两点，l的斜率k存在y=kx+m2l设直线：y=kx+m与x=4y联立，2 x=4y消去y得x-4kx-4m=0 _6分则此方程有两个不相等的实数根，V=16k+16m>0，*设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4k

4、，x1x2-4m _7分要证直线RA、RB与y轴所成的锐角相等，只要证明kRA+kRB=0, _8分 2x12x2Qy1=，y2= 442x12x2+m+mxmxmy1+my2+m=+=1+2+ =+x1x24x14x2x1x222kRA+kRBm(x1+x2)1m1=(x1+x2)+=(x1+x2) +=0，命题成立. _10分 4x1x24-4m2.若直线AB的斜率k=1，直线x-y+m=0，由.知消去y得x-4x-4m=0，由*式>0得m>-1，-1<m<0，且x1+x2=4，x1x2-4m|AB|=记点R到AB的距离为d，dR-ABm|, _12分SVRAB=1

5、|AB|d=m|=f(m)=m3+m2 222f'(m)=3m2+2m 令f'(x)>0知f(m)在 -1,-递增，在 -,0递减， 332._14分 当m=-时f(m)有最大值，故SRAB最大值为392 考前9天1已知函数f(x)=lnx+a-x,其中a为大于零的常数. x（I）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y=1-2x平行，求a的值； （II）求函数f(x)在区间1，2上的最小值. 解：f'(x)=1-x-(a-x)1ax-a+=-2=2(x>0) .4分 xx2xxx（I）因为曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y=

6、1-2x平行， 所以f'(1)=-2，即1-a=-2,解得a=3.6分 (II)当0<a1时，f'(x)>0在（1，2）上恒成立，这时f(x)在1，2上为增函数f(x)min=f(1)=a-1.8分 当1<a<2时，由f'(x)=0得，x=a(1,2)对于x(1,a)有f'(x)<0,f(x)在1，a上为减函数，对于x(a,2)有f'(x)>0,f(x)在a，2上为增函数，f(x)min=f(a)=lna.11分 当a2时，f'(x)<0在（1，2）上恒成立，这时f(x)在1，2上为减函数， f(x)mi

7、n=f(2)=ln2+a-1. 2综上，f(x)在1，2上的最小值为 当0<a1时，f(x)min=a-1, 当1<a<2时，f(x)min=lna， 当a2时，f(x)min=ln2+a-1 .13分 2x2y222已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的长轴长为e=. ab2（I）求椭圆C的标准方程；（II）若过点B（2，0）的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且OBE与OBF的面积之比为1，求直线l的方程. 2ce=a22xy解：（I）椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0)，由已知得2a= .3分 aba2=b2

8、+c2解得ab=1,c=1 x2+y2=1 5分 所求椭圆的方程为2(II)由题意知l的斜率存在且不为零，x2+y2=1，整理得 设l方程为x=my+2(m0) ，将代入2(m2+2)y2+4my+2=0，由>0得m2>2.7分-4my+y=21m2+2设E(x1,y1)，F(x2,y2)，则 8分 2yy=12m2+2由已知， SOBE1|BE|1= =， 则|BF|2SOBF2由此可知，BF=2BE，即y2=2y1.9分 -4m3y=216m221m2+2代入得，消去y1得2 =2229(m+2)m+22y2=1m2+2解得，m=2182，满足m>2.7即m=.12分所以

9、，所求直线l的方程为7x-14=0或7x+-14=0.13分3 考前8天x2y21已知椭圆2+2=1(a>b>0)ab直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）若m=k，且OAOB=0，求k的值（O点为坐标原点）；（）若坐标原点O到直线lAOB面积的最大值 c=解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意a3，解得c= a=由a=b+c，得b=1. 2分 222x22所求椭圆方程为+y=1. 3分 3（） m=k,y=kx+k=k(x+1).x22+y=1,设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方程3消去y并整理得 y=k(x+1).(1+3k)x+6kx+

10、3k-3=0， 4分2 则=6k2222()2-4(1+3k2)(3k2-3)>0(*) 5分 -6k23k2-3,x1x2=.故x1+x2= 6分 1+3k21+3k2OAOB=0，x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)k(x2+1) 7分222=(1+k)xx+k(x+x)+k12123k2-3-6k22=(1+k+k 1+3k21+3k22+k2k2-32=03k+1k=.经检验k=（）(*)式 . 8分3可得m2=(k2+1). 9分 4将y=kx+m代入椭圆方程，整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0. =(6km)-4(1+3k2)(3m2-3)>0(

11、*) 2-6km3m2-3x1+x2=,x1x2=. 10分 221+3k1+3k36k2m212(m2-1)AB=(1+k)(x2-x1)=(1+k)2- 22(3k+1)3k+1222212(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)= = 11分 (3k2+1)2(3k2+1)212k21212=3+=3+3+=4(k0) 12分 19k4+6k2+123+629k+2+6k1即k=.，k2经检验，k=±(*)式. 当k=0时AB= 13分当且仅当9k2=综上可知ABmax=2，1当AB最大时，AOB的面积取最大值S=2=14分 222.p2已知函数f(x)=p

12、x-2lnx. x（）若p=2，求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （）设函数g(x)=2e，若在1,e上至少存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实x数p的取值范围.解：（）当p=2时，函数f(x)=2x-2-2lnx， f(1)=2-2-2ln1=0 xf'(x)=2+22-， 2xx曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为f'(1)=2+2-2=2 1分从而曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2 2分 p2px2-2x+p（）f'(x)

13、=p+2-= 3分 2xxx令h(x)=px2-2x+p，要使f(x)在定义域(0,+)内是增函数，只需h(x)0在(0,+)内恒成立. 4分由题意p0，h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为11(0,+)，h(x)min=p-， pp1只需p-0，即p1时,h(x)0,f'(x)0， px=f(x)在(0,+)内为增函数，正实数p的取值范围是1,+). 6分 （）g(x)=2e在1,e上是减函数， xx=e时，g(x)min=2； x=1时，g(x)max=2e，即g(x)2,2e， 7分当p0时，h(x)=px2-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴

14、x=轴的左侧，且h(0)<0，所以f(x)在x1,e内是减函数当p=0时，h(x)=-2x，因为x1,e，所以h(x)0，f'(x)=-此时，f(x)在x1,e内是减函数故当p0时，f(x)在1,e上单调递减f(x)max=f(1)=0<2，不合题意；9分当0p1时，由x1,ex-所以f(x)=p(x-)-2lnxx-1在yp2x0， x210， x1x1-2lnx x又由（）知当p=1时，f(x)在1,e上是增函数，x-111-2lnxe-2lne=e-22，不合题意； 11分 xee当p1时，由（）知f(x)在1,e上是增函数，f(1)=0<2，又g(x)在1,e

15、上是减函数，故只需f(x)maxg(x)min，x1,e， 而f(x)max=f(e)=p(e-)-2lne，g(x)min=2， 1e1e4e解得p2 ， e-1即 p(e-)-2lne>2，所以实数p的取值范围是(4e，+). 13分 2e-14 考前7天321已知x0,1，函数f(x)=x-ln(x+)，g(x)=x-3ax-4a 212（）求函数f(x)的单调区间和值域；（）设a-1,若x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围解：（）f/(x)=2x-11x+2 1分令f'(x)=0 解得：x=列表：1,2x=-1（舍去） 2分2可知f

16、(x)的单调减区间是(0,)，增区间是(,1)； 5分 2因为 13<1-ln=ln2-(ln3-1)<ln2， 42所以 当x0,1时，f(x)的值域为,ln2 6分 （）g/(x)=3(x2-a2)因为a-1，x(0,1)所以g/(x)<0， 8分 14g(x)为0，1上的减函数，g(1)g(x)g(0)所以g(x)1-4a-3a2,-4a 9分因为 当x0,1时，f(x)的值域为,ln2 由题意知：,ln21-4a-3a,-4a 所以1414211-4a-3a24 11分-4aln23又a-1，得a- 13分 22已知F,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，A、B为

17、过F1的直线与椭圆的交点，且1(-1F2AB的周长为4（）求椭圆C的方程； （）判断11是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由. +F1AF1B解：（）由椭圆定义可知，4a=，c=1 2分所以a=b=x2y2+=1 5分 所以椭圆方程为32（）设A(x1,y1),B(x2,y2)（1） 当直线斜率不存在时，有x1=x2=-1，y1=，y2=- 3311+= 6分 F1AF1B（2） 当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)代入椭圆方程，并整理得： (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0 7分 6k23k2-6,x1x2=所以x1+x2=-（或求出x1,x2的值）2+3k22+3

18、k2所以11 +F1AF1Bx1-x211 +)=x1+x2+1x1x2+x1+x2+1=12分所以11+=13分 F1AF1B5 考前6天1（本小题满分14分）已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x-10x的一个极值点. 2（）求a；（）求函数f(x)的单调区间；（）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.'解：（）因为f(x)= a+2x-10 2分 1+xa' 所以f(3)=+6-10=0 4因此a=16. 4分 （）由（）知，fn(x)=16l(+1xxx,(-1,+)+2x-10) f'(x)=2(x2-4x+3)1+x. 6分

19、'当x(-1,1) (3,+)时，f当x(1,3)时，f'(x)>0; (x)<0.所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+);f(x)的单调减区间是.(1,3) 9分 （）由（）知，f(x)在(-1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3,+)上单调增加，且当x=1或x=3时，f'(x)=0. 10分 所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9，极小值为f(3)=32ln2-21.12分 所以在f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)

20、.因此，b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9). 14分2. (本题满分14分)x2y2在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.其ab5中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=. 3（1）求C1的方程； （2）平面上的点N满足MN=MF1+MF2，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若 OA·OB=0，求直线l的方程.解：（）由C2：y=4x知F2(1，0)1分 设M(x1，y1)，M在C2上，因为MF2=得x1=255，所以x1+1=， 332，y1= 3分 384

21、2+2=1，M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，于是9a5分 3bb2=a2-1.消去b2并整理得 9a4-37a2+4=0， 解得a=2（a=1不合题意，舍去） 3x2y2+=1 7分 故椭圆C1的方程为43O， （）由MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点1+MF2=MN知四边形MF因为lMN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率k= 3设l的方程为y=x-m) 8分223x+4y=12，由 9分 y=x-m)，22消去y并化简得 9x-16mx+8m-4=0 10分8m2-416m设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=，x1x2=.11分 99因为OAOB，所以x1x2+

22、y1y2=0x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m28m2-416m1=7-6m+6m2=(14m2-28)=0 12分99922所以m=此时=(16m)-49(8m-4)>0，故所求直线l的方程为y=-y=+ 14分6 考前5天(本题满分14分)已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=4n+(-1)n-12n(为非零整数，nN），试确定的值，使得对任意nN，都有bn+1>bn成立解：（I）由已知，(Sn+1-Sn)-(Sn-

23、Sn-1)=1（n2，nN）， 2分 *a*即an+1-an=1（n2，nN），且a2-a1=1数列an是以a1=2为首项，公差为1的等差数列an=n+14分 （II）an=n+1，bn=4n+(-1)n-12n+1，要使bn+1>bn恒成立，n+1nn+2bn+1-bn=4-4+(-1)2-(-1)n34-3(-1)n-1nn-1*2n+1>0恒成立， 2n+1>0恒成立，(-1)n-1<2n-1恒成立6分n-1（）当n为奇数时，即<2恒成立，7分n-1当且仅当n=1时，2有最小值为1，<19分 （）当n为偶数时，即>-2当且仅当n=2时，-2n-1

24、n-1恒成立，10分 有最大值-2，>-212分 即-2<<1，又为非零整数，则=-1*综上所述，存在=-1，使得对任意nN，都有bn+1>bn142若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F1、F2组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.()求椭圆C的方程；() 过点F2作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M,求直线MF1的斜率k的取值范围.x2y2解：()设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0) 1 分 aba=2c由a-c=a=2,c=3,b=3. 4 分 a2=b2+c2x2y21 +=1. 所以，椭圆C的方程

25、为129() F1(-,0)、F2(,0)，当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F2，直线MF1的斜率k=0；6 分 当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，直线AB的方程为2 y=m(x-)， 5 分 7 分222212联立消去y并整理得：(3+4m)x-3mx+12m-36=0 由4m2-3m设M(x0,y0)，则x0= 10分 ,y=m(x-)=00223+4m3+4m当m=0时，AB的中点为坐标原点，直线MF1的斜率k=0； 11 分 当m0时，k=y0x0+3=-3m， 28m+3|k|=3|m|116 =28m+3881|m|+2|m|3|m|3|m|13 分 -且k0. k88综上所

26、述，直线MF1的斜率k的取值范围是-66,. 14 分 887靠前4天 （注意第二题）1+lnx. x1（）若函数在区间(a,a+)（其中a>0）上存在极值，求实数a的取值范围； 2k（）如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围； x+11已知函数f(x)=解：（）因为f(x)=1+lnxlnx，x>0 ，则f'(x)=-， 1分 xx当0<x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0.所以f(x)在（0，1）上单调递增；在(1,+)上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极大值. 2分 因为函数f(x)

27、在区间(a,a+)（其中a>0）上存在极值， 12a<11<a<1. 4分 所以 解得,12a+>12k， x+1(x+1)(1+lnx)(x+1)(1+lnx)k, 记g(x)=, 即为xx(x+1)(1+lnx)'x-(x+1)(1+lnx)x-lnx=, 6分 所以g'(x)=x2x21令h(x)=x-lnx,则h'(x)=1-， x1,h'(x)0. x（）不等式f(x)h(x)在1,+)上单调递增，h(x)min=h(1)=1>0，从而g'(x)>0 8分故g(x)在1,+)上也单调递增，g(x)min

28、=g(1)=2，所以k2 10分2设数列an的前n项和为Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN *（）设bn=Sn-3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN，求a的取值范围 *解：（）依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1n因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1，=2(Sn-3)nN*（）由知Sn=3n+(a-3)2n-1，nN，于是，当n2时，an=Sn-Sn-1=3+(a-3)2nn-1*-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2，an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2

29、=2n-23n-212 +a-3， 23当n2时，an+1an12 2n-2+a-30 a-9又a2=a1+3>a1 综上，所求的a的取值范围是-9，+)8靠前3天 122() 当a=1时，求f(x)在区间1，e上的最大值和最小值； 已知函数f(x)=(a-)x+lnx.（aR）()若在区间（1，+）上，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围1x2+112【解】（）当a=1时，f(x)=x+lnx，f'(x)=x+= 2xx对于x1，e，有f'(x)>0，f(x)在区间1，e上为增函数e21 fmax(x)=f(e)=1+，fmin(x)=f(1)=.5分 222（）令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x-2ax+lnx，则g(x)的定义域为（0，+）. 126分在区间（1，+）上，函数f(x)的图