角平分线平行线等腰三角形知识板块的应用

1、1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： 图甲a、 如图甲：一直线与角的一边平行b、 如图乙：一直线与角的平分线平行432ODECBA1图乙2等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3等腰三角形与平行线往往出现角平分线a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维

2、方法称为“知识板块”思维。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：321IEDABC例1、如图1：已知在ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE/BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。证明： 13ABCDEI图（2）2 例2、如图2：已知I是ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI/AC交BC于E。求证：DIE的周长等于BC。证明：同理：EI = CE。DIE的周长=DI + IE + ED = BC4321FEDMCBA 例3、如图3：已知在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE/BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF

3、= BECF。证明：同理：CF = FD EF = ED FD = BE CF例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E， 的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：的度数。解： 同理可证：DF = CD = AB = 3 AF = 1EF = AD （AF + DE ）= 4 2 = 2 评注：此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即ABE和DCF。利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。用平行线的同旁内角的平分线互相垂

4、直得到RTBGC，RTBGF。如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。用三角形内角和定理得。EODABC例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。解： 等边OCD 评注：矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。等腰三角形的一个底角=。此题关键是。此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。例6、 在ABC中，A DB C于点D ，点E在B C的延长线上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。解： 评注：关键由发现AC平分。作角平分线的平行线构

5、造出等腰ADF。由勾股定理求出AE=5，从而求出CD：CE的值。3CBAED12例7、 如图：BD是角平分线DE/BC，交AB于点E。求DE之长。解：。设AE=AD=x；则DE=x 评注： 发现AED仍为等腰直角三角形。 由角平分线、平行线发现等腰BED。 设未知数，列方程求出DE之长。（方程思想）例8、 如图：已知RtABC中，以AB为直径的O交斜边BC于点D，OE/BC交AC于点E。求证：DE是O的切线。证明： ED是圆O的切线。评注：只能利用定义证明直线与圆相切。 由等腰三角形和平行线，发现角平分线得1=2。 利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。CPBAO1234例9、AB是O的直径，

6、BC是O外一点。PBAB，AC/OP交O于C点。求证：PC是O的切线。证明：连结，则。【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。】评注：由等腰AOC的构造出现，进而可发现3 = 4。 利用直角B证明了P C O为直角。 具体判定直线与圆相切的两个判别方法： 作垂足，垂足在圆上。 连半径，证明半径的外端就是垂足。6DCBAO12345例10、已知：AB是O的直径，BC是O的切线。切点为点B，DC是O的切线。求证：OC/AD。证明:连结OD,则评注：欲证相切，找垂直。利用直角证直角。CDBAO3112例11、如图：已知在梯形ABCD中，点O在AB上，半圆O与AD、CD、BC相切，且

7、AD = 5， BC = 3。求AB的长。解：（方法一）连结OC、OD则有同理：OA = AD = 5AB = OA + OB = 5 + 3 = 8（方法二）延长DA至E，延长CB至F，使AE=AD、BF=BC；连结EF，则EF/CD，且EF与O相切。则（圆外切四边形的对边之和相等）。例12、已知P为O外一点，通过作O的两条割线，分别交O于A、B和C、D点，且AB是O的直径。已知PA=OA=4，AC=CD。求CD长。求cosB的值。DCPABO12345解：连结BC、OC、AD。设PC= y , CD= x .PO = 8 , OB = 4 y(y + x) = 4×12AB是圆O

8、的直径.BC= BDA = 90O cosB=评注：平行线截得成比例线段。 割线定理可变成为成比例线段。 代数法解几何题（方程思想）。引申说明：BC是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形ACD; BC是ABD的平分线，而AB又是O的直径。因此，连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC/BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。例13、如图：AB是O的直径，C是O上一点，直线DE切O于点C, AB的延长线交ED于点E，CGAB于点G，ADCD于点D, AD交O于点F. HFDCEABOG123求证：AG·BG = AD·DF.证明：（方法一）连结OC,则 延长CG交O于点H. CD2 =DF·AD 由得：AG·