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文档简介

1、新浪:数学高2018数学主讲:专题串讲讲义新浪数学高说明:本讲义分由三部分(高等数学篇(34 个专题) 、线性代数篇(15 个专题) 、概率论与数理统计篇(12 个专题)组成,每一部分的例题一方面来源于历届数一、数二及 数三典型考题,另一方面来源于一些优秀经典的练习题;希望读者在听本专题串讲课程前,根据课程更新进度合理计划完成每个专题的思考与解答,相信认真使用本讲义及课程的读者在现第三阶段的复习中必有一定的收获及提高!课程更新时间第一次:10 月 9 日第二次:10 月 16 日第三次:10 月 23 日第四次:10 月 30 日第五次:11 月 6 日第六次:11 月 13 日高等数学专题高

2、等数学专题高等数学专题高等数学专题线性代数专题概率论与数理统计专题关注【狗之1家】有料有态度的基地新浪:数学高高等数学篇求极限及极限式中的参数专题一解题思路:1.求函数极限首先对其化简(如因式分理化、通分、换元、提出极限不为0的),然后判别类型选择方法(理运算法则、等价代换、洛必达法则、泰勒公式、中值定理及导数定义等);2.常用的一些等价无穷小及一些基本极限有:x ® 0ln (1+x)ex2 ,sinarctan x121 x3;6(1+ a x)b-1ab x, ax -1x ln a ;x - sin- x63, arctan3 ;2;33121 öxæli

3、m ç1+= e, limln x = 0, lim< 1.÷x®¥ èx øx®0+x®+¥x®0+n®¥3.求已知极限式中的参数主要是在待定参数取值范围内用洛必达法则(或其他方法)并结合以下几个基本结论逐步定出其中的参数: f ( x) g ( x)= A(), 且lim g ( x) = 0,则lim f ( x) = 0,(1)若lim f ( x) g ( x)= A ¹ 0, 且lim f ( x) = 0,则lim g ( x) = 0,(2)若

4、lim(3)若lim f ( x)× g ( x) = A(), 且lim f ( x) = ¥,则lim g ( x ) = 0.关注【狗之2家】有料有态度的基地新浪:数学高æö1+ + sin x ÷.1. é2000数二ù 求limç 2exëû4exxx®0 ç÷è 1+ø1 éæ 2 + cos x öxù-1ú;úû2.求下列极限(: 1)éë2

5、004数二ùû limêç÷3xêëè3øx®01(2)éë2016数二三ùû lim(cos 2)x4 .x®0设 limax2 + bx +1 - 3x) = -2, 求a, b的值.(3.x®+¥4.确定常数a, b的值, 使lim é abc5e-t dt ù = 1.x2ò+úûx®00æ sin psin 2psin np ö5. &#

6、233;1998数一ù 求lim çn+n ÷.+n +çn®¥÷ëûn +1121çè÷n +n +n øx( )ò6. é2000数二ù 设函数S x =cos t dt.ëû0(1)当n为正整数, 且np £ x < (n +1)p时, 证明: 2n £ S ( x) < 2 (n +1);S ( x)(2)求 lim.xx®+¥pò07. 

7、3;1997数一(改)ù 设a =4 tann xdx.ëûn(1)证明数列an 收敛;(2)求an + an+2;(3)求lim nan .n®¥8.设f ( x)在0,1上可微,对任意的x Î0,1, 有0 < f ( x) < 1, 且f ¢( x) < 1.唯一的x Î(0,1), 使f (x ) = x ;(1)证明:n + f ( xn )(n = 0,1,), 证明xn 极限(2)对", 且lim xn = x.2n®¥关注【狗之3家】有料有态度的基地新

8、浪:数学高专题二无穷小及其阶解题思路:1.若a ¹ 0,k > 0, 且x ® 0时f ( x)Þ x ® 0时, f ( x )是x的k阶无穷小;axk f ( x)常用洛必达法则)Þ x ® 0时, f ( x)是x的k阶无穷小2.若k > 0, 使lim= c ¹ (0kxx®03.若f ( x) = axk -1 + a+ a x + axk +其中a = a = a= 0, 但a ¹ 0k -1k -101k01kÞ x ® 0时, f ( x)是x的k阶无穷小;

9、4.若x ® 0时f ( x)与g ( x)分别是x的m阶与n阶无穷小, 又lim h ( x ) = a ¹ 0,则x®0(1)f ( x) h ( x)是x的m阶无穷小;f ( x) g ( x )是x的m + n阶无穷小; f ( x)(2)m > n时,f ( x) + g ( x)是x的n阶无穷小,x的m - n阶无穷小.g ( x)(3)m = n时,f ( x) + g ( x)是x的n阶或高于n阶的无穷小.5.若x ® 0时,g ( x)是x的n阶无穷小,f ( x)是x的m阶无穷小,g ( x)f (t ) dt是x的(m +1)

10、× n阶无穷小.则ò0x5x6x( )dt, g ( x) =,则当x ® 0时,f ( x)是g ( x )的.ò1. é1997数三ù 设函数f x =sin t2+ëû560( A)低阶无穷小 ( B)高阶无穷小 (C )等价无穷小( D)同阶但不等价的无穷小()( )( )( )( )x( )òéù设f x 有连续导数, f 0 = 0, f0 ¹ 0,F x =x - tf t dt, 且当x ® 0时,¢222.1996数一ë

11、1;0F ¢( x)与xk是同阶无穷小,则k =.( A)1( B)2(C )3( D) 43.当x ® 0时,下列无穷小阶数最高的是.( A)(1+ x2 )sin t 2dt( B)(C )e(D ) ò-11+ x -1+ x- cos 2x04. éë2013数二三 当与axn为等价无穷小量, 求n与a的值.关注【狗之4家】有料有态度的基地新浪:数学高专题三连续与间断解题思路: 1.初等函数在其定义域区间内连续, 故若初等函数f (0的某邻域f ( x) =f ( x0 );0处的左、右极限 lim有定义,则limx®x02.

12、若函数f (f ( x)和 lim f ( x )都但不相等,®x0+或二者相等但不等于f (后者称可去间断点);若函数f (0是f ( x)的第一类间断点(前者称跳跃间断点,0的某邻域有定义,且左、右极限0是f ( x )的第二类间断点(无穷f ( x)和 lim f (lim®x0+间断点和振荡间断点是两种常见的第二类间断点);3.若函数f ( x)在闭区间a, b上连续,则f ( x)在a, b上有界,并取得最大值与最小值及介于最小和最大值之间的任何数.x( )()ò- x221.函数f x =xee dt在 -¥, +¥ 内是.t0(

13、A)有界的奇函数( B)( D),则f ( x).的奇函数的奇函数(C )有界的偶函数2e(n+1)x +12.设f ( x) = lim+ x +1nxnn®¥ e( A)仅有一个可去间断点(C )有两个可去间断点( B)仅有一个跳跃间断点( D)有两个跳跃间断点关注【狗之5家】有料有态度的基地新浪:数学高专题四导数的定义及几何意义f ( x )在(x0 , f ( x0 )处切线的斜率,0 ).解题思路: 函数f (0处的导数f ¢( x0 )表示曲线y =曲线y = f ( x)在(x0 , f ( x0 )处切线方程为y - f ( x0 ) =f 

14、62;(ì ln (1+ï1.设f ( x)= 0处.íïî-2,x = 0( A)不连续( B)连续, 但不可导( D) 可导且f ¢( x)不连续x 3n ,则f ( x)在(-¥, +¥)内.(C )可导,但f ¢( x)不连续( )设函数f x = lim 1+éù2.2005数一二nëûn®¥( A)处处可导(C )恰有两个不可导点3. éë1998数一二û函数f ( B)恰有一个不可导点( D)至少有三个

15、不可导点- 2) x3 - x 的不可导点个数是.( A)3 4.设f ( B) 2(C )1( D)0, y Î(0, +¥), 有f ( xy ) = yf ( x ) + xf ( y ).(1)证明: f ¢( x) = f ( x) + f ¢(1)(;2)求f ( x).x5. éë2014数二ùû 设曲线L的极坐标方程是r = q ,则L对应q = p 处的切线的直角坐标方程是 .2求各类函数的导数专题五解题思路: 1.求导数的基础是基本导数公式,基本方法是四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法

16、则、隐函数求导法则及参数方程求导法则;f ( x)g( x) 应改写为y = eg(x)ln f (x)或取对数ln y = g ( x)ln f ( x)再求导;2.幂指函数y =( )j x3.设f ( x)在a, b上连续,j ( x),j ( x)可导,则F ( x ) =( )ò2f t dt可导,12( )j x1()¢ =j2 ( x)f (j ( x)j¢ ( x ) - f (j ( x )j¢( x );且F ¢( x) =f (t ) dtò2211( )j x14. 分段函数在分段点的导数一般使用导数定义,并要

17、会讨论分段函数导数的连续性;5. 高阶(2阶及以上)导数一般使用分解法(分解为有公式可套的函数)、归纳法及 泰勒公式(幂级数).1. éë1996数三ùû 设方程x = y y确定y是x的函数,则dy =.dy d 3 yæ d 2 y ö22.把y看作自变量, x为因变量, 变换方程×- 3ç= x.÷32dx dxè dxø关注【狗之6家】有料有态度的基地新浪:数学高504. éë1997数一ùû 设函x 并讨论j5.设y = x arcta

18、n x6.设y = ln (6x2 + 7专题六用导数研究函数的性态及求最值(1) 求出f (x)在开的函数(2) 求出f (x)在端(3) 比较以上所有其中最大的即为10.连续函数f (x)在(或极小值),则它关注【狗之7家】有料有态度的基地新浪:数学高1. éë2016数二三ùû 设f ( x)在(-¥, +¥)内连续, 其导函数的图形如图, 则 .( A)函数f ( x)有2个极值点,曲线f ( x)有2个拐点( B)函数f ( x)有2个极值点,曲线f ( x)有3个拐点(C )函数f ( x)有3个极值点,曲线f ( x)有

19、1个拐点( D)函数f ( x)有3个极值点,曲线f ( x)有2个拐点()22. é2010数一二ù 求函数f ( x) =xò2x - t edt的单调区间与极值.-t2ëû13. éë2017数一二ùû已知函数y ( x)由x3 + y3 - 3x + 3y - 2 = 0确定, 求y ( x )的极值.4.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出:x = t + e-t , y = 2t + e-(2t t ³ 0).(1) 证明该参数方程确定连续函数y = y ( x), x Î

20、1, +¥);(2) 证明y = y ( x)在1, +¥)单调上升且是凸的;(3) 求y = y ( x)的渐近线.5.讨论曲线y = ex + ax3的拐点个数, 其中a为常数.6. éë2007数一二三ùû曲线y = 1 + ln (1+ ex )的渐近线条数为 .x( A)0( B)1(C ) 2( D )3( )1x > 0), 求f ¢( x)及f ( x )的最小值.ò7. é2016数二三ù 设函数fx =t - x22d(tëû0关注【狗之8家】有料有

21、态度的基地新浪:数学高专题七证明不等式解题思路: 1.利用单调性:若f ¢( x) > 0, 且f (a ) = 0,则f ( x) > 0, x Î(a, b); 2.利用最值:若éë f ( x)ùûmin > 0,则f ( x) > 0, x Î I ;中值定理: f (b) - f (a ) = f ¢(x )(b - a ),结合条件对f ¢(x )放缩;3.利用中值定理: f (b) - f (a) f ¢(x ) f ¢(x )g (b) - g

22、(a ) =中值定理:g¢(x ) ,结合条件对 g¢(x ) 放缩.÷ >2 );4.利用曲线的凹凸性:若曲线f ( x)在a, b上是凸弧,则有f çè2ø2若曲线f ( x)在a, b上是凸弧,则"x, x0 Îa, b但x ¹ x0有f ( x ) < f ( x0 ) + f ¢(0 );若曲线f ( x)在a, b上是凸弧,则"a < x < b有f ( x) > b - xf (a ) + x - a f (b).b - ab - a5.利用

23、带1.证明:当x > 0时,ln (e的泰勒公式x +2 .22. éë2002数二ùû 设0 < a < b, 证明不等式: 2a < ln b - ln a < 1 .a2 + b2b - aabf (x)£ a,f ¢¢(x)3. éë1996数一ùû 设f (x)在0,1上具有£ b,导数,且满足条件£ 2a + b .f ¢(x)其中a, b都是非负常数.证明:24.设f ( x)导,且f ( x) > 0,

24、f ( x) f ¢( x) - éë f ¢( x )ùû2³ (0x Î R).öù2éæ x + x(1)证明: f ( x1 ) f ( x2 ) ³ ê f ç 12 ÷ú(x1, x2 Î R);è2øûx Î R).ë(2)若f (0) = 1, 证明: f ( x) ³ e f ¢(0()x关注【狗之9家】有料有态度的基地新浪:数学

25、高专题八方程的根解题思路: 1.如果题中条件及结论只涉及连续函数时,一般使用零点定理说明有根;2. 如果题中条件及结论涉及导数时,一般使用3. 说明至多只有几个根时往往考虑单调性或定理说明有根;定理的推论;当然还可使用反证法推论:若f (n) ( x) ¹ 0,则f ( x) = 0至多只有n个根, x Î I.)去说明至多只有几个根(.4.讨论函数f ( x)或带有参数的方程F ( x, k ) = 0在区间I上根的的问题主要是利用导数把区间I划分成若干个单调区间,并结合每个单调区间的端点值.x2 ( )11+ tdt, 求f ( x)的零点个数.1. é201

26、5数二ù已知函数fx =1+ t dt + ò1ò2ëûx2. éë1994数二ùû 设x > 0时, 方程kx + 1 = 1有且只有一个根, 求k的取值范围.x2f ( x)是区间0,1上的任一连3. éë1998数一二ùû 设y =负函数.x0 Î(0,1), 使得在区间0, x0 上以f ( x0 )为高的矩形面积,等于在区间证明(: 1)x0 ,1上以f ( x)为的梯形的面积;(2)又设f ( x)在(0,1)内可导,且f ¢(

27、4. éë2017数一二ùû 设函数f ( x)在区间0,1上具有0是唯一的.导数, 且f (1) > 0, lim f ( x) < 0.xx®0+1)方程f ( x) = 0在区间(0,1)内至少证明(:一个实根;(2)方程f ( x) f ¢( x) + éë f ¢( x)ùû2 = 0在区间(0,1)内至少两个不同的实根.关注【狗之1家0 】有料有态度的基地新浪:数学高专题九中值定理x Î(a, b),使得f (n) (x ) = 0.解题思路: 1.证

28、明一般不需构造辅助函数,只需对f (n-1) ( x)在a, b或a, b的某一子区间上定理或说明f (n-1) ( x)在a, b的某最值在(a, b)内某点取到.使用(a,¢(x ), f ¢¢(x )ùû = 0.2.证明x一般需构造辅助函数F ( x), 对F ( x)在a, b或a, b的某一子区间上使用定理.f ( x )eò g ( x)dx用如:证明$x Î(a, b), 使f ¢(x ) + g (x ) f (x ) = 0, 构造F ( x) =定理;x ,h Î(a, b),使得某

29、个等式成立.3.证明若要求x ¹ h, 一般是找一个分点c Î(a, b),分别在a, c和c, b上使用中值定理;中值定理.若不要求x ¹ h, 一般是在a, b上使用两次或各一次与x Î(a, b),使得某个高阶导不等式f (n) (x ) < k成立.4.证明若n = 2, 一般可考虑多次使用但若n ³ 3, 一般就是使用泰勒公式.1. éë2010数三ùû 设f ( x)在0, 3上连续, 在(0,3)内中值定理或泰勒公式,()2f ( x)dx = f (2) + f (3).ò

30、导, 且2 f 0 =0证明(1)$h Î(0, 2), 使得f (h ) = f (0);(2)$x Î(0, 3), 使f ¢¢(x ) = 0.2. éë1995数一ùû函数f ( x)和g ( x)在a, b上导数, 且g¢¢( x) ¹ 0,f (a) = f (b) = g (a ) = g (b) = 0, 证明(: 1)在开区间(a, b)内g ( x ) ¹ 0; f (x ) f ¢¢(x )(2)在开区间(a, b)内至少一点x ,

31、使=g (x )g¢¢(x ) .a,f ( x) dx = 1 (b2 - a2 ).( )()( )bò3.设f x 在 a, b 上连续,在 a, b 内可导,且f a =2a1)$x Î(a, b), 使f (x ) = x;(2)$h Î(a, b), 使f ¢(h ) =f (h ) -h +1.证明(:4. éë2005数一ùû已知函数f ( x)在0,1上连续, 在(0,1)内可导,且f (0) = 0, f (1) = 1, 证明:(1)$x Î(0,1), 使f (

32、x ) = 1- x;(2)$不同的点h,t Î(0,1), 使f ¢(h )× f ¢(t ) = 1.中值定理:若函数f ( x)在a, b上连续,5. éë2008数二(ùû 1)证明bf ( x)dx = f (h )(b - a );ò一点h Î a, b , 使得则至少a3(2)若函数j ( x)具有( )( )( )( )òj 2 > j 1 ,j 2 >j x dx,导数,且2一点x Î(1,3),使得j¢¢(x ) <

33、0.则至少6. éë1999数二ùû 设函数f ( x)在-1,1上具有三阶连续导数, 在(0,1)内可导,且f (-1) = 0, f (1) = 1, f ¢(0)=0,证明:x Î(-1,1), 使f ¢(x ) = 3.关注【狗之1家1 】有料有态度的基地新浪:数学高专题十中值定理1.设f ( x)在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数,且f ¢(0) = 0, f ¢(0) f ( x) - f (ln (1+ x),=.则limx3x®02. éë2002数一二&

34、#249;û 设y = f ( x)在(0, +¥)内有界且可导,则 .( A)当lim f ( x) =0时,必有 lim f ¢( x) = 0x®+¥x®+¥( B)当lim f ¢( x)f ¢( x) = 0时,必有 limx®+¥x®+¥(C )当lim f ( x) = 0时,必有lim f ¢( x) = 0x®0+x®0+( D)当lim f ¢( x)f ¢( x) = 0时,必有limx

35、4;0+3. éë2001数一ùû 设y =x®0+f ( x)在(-1,1)内具有连续导数, 且f ¢¢( x) ¹ 0, 试证:(1)对(-1,1)内的任一x ¹ 0,唯一的q ( x)Î(0,1), 使f ( x) = f (0) + xf ¢ éëq ( x) xùû 成立;(2)求limq ( x).x®04.问在闭区间0, 2上是否连续可微的函数f ( x), 满足条件:f (0) = f (2) = 1,( )2( )&#

36、242;¢£ 1,£ 1.fxf x dx0专题十一一元学概念与性质定理:(1)若f ( x)在区间I上连续,则f ( x)在区间I上有原函数;解题思路:1.原函数(2)若f ( x)在区间I上有第一类间断点,则f ( x)在区间I上没有原函数.( )xf (t )dt在a, b上可导,且F ¢( x ) =f ( x ).( )ò基本定理: 若f x 在 a, b 上连续,则F x =2.微x0( )( )xf (t )dt在a, b上不一定不可导.ò注意,若f x 在 a, b 上不连续,则F x =x0( )xf (t )dt为

37、偶(奇)函数.ò3.若f x 在 -a, a 上连续的奇(偶)函数,则0( )()x( )Tf (t )dt = 0.òò4.若f x 在 -¥, +¥ 上连续且以T 为周期,则 f t dt以T 为周期Ûa0ìì1 , x ¹ 0x = 0xïî1.设f ( x) =,则下列正确的是.î( A) f ( x)在-1,1上有原函数(C ) g ( x)在-1,1上有原函数( B) g ( x)在x = 0处可导x()( )f (t ) dt在x = 0处可导òD F

38、 x =-1pìsin x, 0 £ x <( )( )xf (t )dt则 ò2. é2013数二ù 设f x =x =, Fí 2,p £ x £ 2pëûî0( A) x = p 是F ( x)的跳跃间断点(C ) F ( x)在x = p 处连续但不可导( B) x = p 是F ( x)的可去间断点( D) F ( x)在x = p 处可导关注【狗之1家2 】有料有态度的基地新浪:数学高1113. éë1997数三ùû 若函数f

39、( x) =( )( )òò+ 1- xfx dx,则 fx dx =.21+ x2004.下列等式或不等式正确的个数为.ö¢pp si1= arctanx=;21-1(1)ì(3)设f ( x) = ï= 0.íïî0,( A)1( B) 2专题十二(C )3(D ) 4求的方法与技巧表, 基本方法是凑微分、换解题思路: 1.求不定的基础是基本b分部.f ( x)dx = F ( x)= F (b) - F (a ).F ¢( x ) =f ( x ), x Îa,b.òb

40、 a2.公式:a3.计算定几个常用公式:f ( x)是奇函数f ( x) dx, f ( x)是偶函数.Tìï0,( )a( )aéë f ( x ) + f (-x )ùûdx = ía2òò(1)f x 在 -a, a 上连续,则f x dx =ò- a0ïî0a+T ( )()( )f ( x)dx.òò(2)f x 在 -¥, +¥ 上连续, 且以T 为周期,则对"a, 有f x dx =a0ì n -1 &

41、#215; n - 32 ,n是大于1的奇数ppïnn - 23òò(3) sin xdx =cos xdx = ínn22;ï n -1 × n - 31 × p ,2 200n是偶数ïînn - 2p2p2()f (cos x)dx;òòf sin x dx =(4)00pppxf (sin x) dx =f (sin x)dx;(5)ò2 ò00121b( )b()b( )f (a + b - x )ûùdx.òò

42、42; ë(6) f x dx =f a + b - x dx =é fx +aaa:éë1987数二ùû ò1.计算dx, 其中a, b是不全为0的非负数.a sin x + b cos x2222:é2009数二三ù ln æ1ö1û ò> 0).2.计算ëçèx2 +1:ò x4 +13.计算dx.关注【狗之1家3 】有料有态度的基地新浪:数学高()ì2 x -1 , x < 1( )( )( )4

43、. é2016数一二三ù已知函数f x =íln x,则f x 的一个原函数F x 是.ë( A) F ( x) = í (ïî(C ) F ( x) = í (ûx ³ 1î< 1³ 1< 1³ 1= íïî= íïîBFx³ 1³ 1ïî3òdx =.5.1p3ò6. é1995数三(第二问)ùsin x arc

44、tan exdx =.ëûp2-ppp62()ò:(1) ln 1+ tan x dx;(2)7.计算下列定.401 f ( x)x ln (1+ t )dx, 其中f ( x) = ò18. éë2013数一ùû 计算ò0dt.txf ( x),点(3, 2)是它的一个拐点, 直线l1与l29. éë2005数一二ùû 如图,曲线C的方程是y =分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切线, 其交点为(2, 4).设 f ( x)具有三阶连续导数,()3(

45、)ò¢¢¢求x + x fx dx.20( )( )1( )()1( )òò10.设f x 是 0,1 上的连续函数, 且f x = x +f y f y - x dy, 求 f x dx.x0专题十三不等式证明题解题思路: 1.仅告知被积函数f ( x)连续,一般常数变量化, 利用单调性.2.告知被积函数f ( x)具有一阶连续导数,且又至少告知一个端点为0, 一般利用中值定理(f ( x) - f (a ) = f ¢(x )( x - a ))或-公式( )( )xf ¢(t ) dt)建立f ( x )与f

46、 ¢( x )的ò(fx -f a =,然后再用定的不等式性质.a3.告知被积函数f ( x)具有连续导数,一般先利用泰勒公式建立f ( x)与f ¢¢( x)的,然后再用定的不等式性质.1. éë2014数二三ùû 设函数f ( x), g ( x)在a, b上连续, 0 £ g ( x) £ 1, 且f ( x)单调增加,bò( )xa+ g t dtb( )( )f ( x )g ( x ) dx.òòò证明(: 1)0 £g t dt &

47、#163; x - a, x Î a, b ;(2)f x dx £aaaa2.设f ( x)在0,1上具有一阶连续导数, 且f (0) =f (1) = 0, 记Mf ¢( x) ,= max0£ x£1£ M .1( )ò证明:f x dx4012( )( )1( )1( )òò¢3.设f x 在 0,1 上具有一阶连续导数, 且f 0 = 0, 证明:fx dx £22fx dx.00关注【狗之1家4 】有料有态度的基地x ( x - 2)新浪:数学高4.设f ( x)在0, 2

48、上具有连续导数, 且f (1) = 0, 记Mf ¢¢( x) ,= max0£x£2£ 1 M .32f ( x)dxò证明:0专题十四反常解题思路: 1.设f ( x)在a, +¥)上连续, F ( x)是f ( x )在a, +¥)上的一个原函数,+¥+¥f ( x)dx收敛Û lim F ( x)f ( x )dx= lim F ( x ) - F (a ).则òa,且òax®+¥x®+¥对其他类型的无穷区间的反常有类

49、似的定义及计算公式.2.设f ( x)在(a, b上连续,且f ( x )在x = a的右邻域,(b( )( )f ( x )dx收敛Û lim F ( x )òF x 是fx 在 a,b 上的一个原函数,则,x®a+abf ( x)dx = F (b) - lim F ( x ).ò且x®a+函数的反常a有类似的定义及计算公式.对其他类型的xe- x+¥1. éë1996数二ùû 计算ò02 dx.(1+ e)- x+¥( )( )( )( )òé199

50、4数三ù 设y = y x 满足y ¢ + 4 y¢ + 4 y = 0, 且y 0 = 2, y 0 = -¢2.4, 求y x dx.ëû03. éë1995数三ùû 下列反常中发散的是. dx dx+¥ dx+¥1( A) ò1- x21 sin+¥1dx收敛,则.ò4. é2016数一ù 若反常ëûxa (1+ x)b0( A) a < 1且b > 1( B) a > 1且b &g

51、t; 1(C ) a < 1且a + b > 1的应用题(D ) a > 1且a + b > 1.专题十五1. éë2003数一ùû 过坐标原点作曲线y = ln x的切线, 该切线与曲线y = ln x及x轴围成的平面图形为D(. 1)求D的面积;(2)求D绕直线x = e旋转一周所形成的旋转体的体积.ìïx (t ) = cos3 t æp ö1- x2 (0 £ x £ 1)与í2. ëé2016数二ûù 设D是由曲

52、线y =ç 0 £ t £÷围成的ïî y (t ) = sin3t è2 ø平面区域, 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.£ e()3. éë2013数二ùû 设曲线L的方程为y = 41)求L的弧长;2(2)设D是由曲线L、直线x = 1, x = e及x轴围成的平面图形,求D的质心的横坐标.关注【狗之1家5 】有料有态度的基地新浪:数学高4. éë2002数二û 某的形状与大小如图, 其中直线l为对称轴,的上部分为矩形A

53、BCD,下部由二次抛物线与线段AB围成.当水面与上端相,欲使矩形部分承受的矩形部分的高h应为多少?水与下部承受的水之比为5:4,专题十六讨论二元函数在某点的可偏导性及可微性( x + ay ) dx + ydy( x + y )2( B)01. éë1996数一ùû已知( A) -1为某函数的全微分,则a =.(C )1( D ) 22.设f ( x, y )在(0,0)处连续, 且lim f ( x, y ) - a - bx - cy = 1, 其中a, b, c是常数.ln (1+ x2 + y2 )x®0 y®0(1) 讨论f

54、 ( x, y )在(0,0)处是否可微,若可微则求出df ( x, y )(2) 讨论f ( x, y )在(0,0)处是否取极值.(0,0);3. éë2012数一ùû 如果函数f ( x, y )在(0, 0)处连续,则下列命题正确的是( A)若极限lim f ( x, y ),则f ( x, y )在(0, 0)处可微x +yx®0 y®0( B)若极限lim f ( x, y ),则f ( x, y )在(0, 0)处可微x2 + y2x®0 y®0 f ( x, y )(C )若f ( x, y )在(

55、0, 0)处可微,则极限limx +yx®0 y®0( D)若f ( x, y )在(0, 0)处可微,则极限lim f ( x, y )x2 + y2x®0 y®0专题十七复合函数求导法及其应用()()()()()()¢¢1. é2015数二(局部)ù 设fx, y =2 y +1 e , fx, 0 = x +1 e , f 0, y = y + 2 y, 求f x, y .xx2ë2.证明下列命题(:ûxyx1)设f ( x, y )定义在全平面, 且¶f= 0, ¶f

56、= 0,则f ( x, y )恒为常数;¶x¶y(2)设u ( x, y ), v ( x, y )定义在全平面,且¶u = ¶v , ¶u = - ¶v , u2 + v2= C(常数),¶x¶y ¶y¶x则u ( x, y ), v ( x, y )恒为常数.3. éë2011数一二ùû 设函数z = f éë xy, yg ( x)ùû , 其中f 具有连续偏导数,函数g ( x)可导且在¶2 zx

57、= 1处取极值g (1) =,1求¶x¶yx=1 .y =1关注【狗之1家6 】有料有态度的基地新浪:数学高4. éë2010数二ùû 设u确定a, b的值,使在专题十八多元函数的极值与最值问题(C )点(0, 0)是f ( x( D)根据所给条件2. éë2016数二ùû 设z求z = z ( x, y )的极3. éë2013数二ùû 求曲和最短距离.4. éë2007数一ùû 求f专题十九重(2)将I改为极坐2

58、.计算累次3. éë2005数二三ùû4. éë1999数三ùû 计5.计算òò 1 dxdyxyD6.11二ùûf ( x, y )dxdy =òòD关注【狗之1家7】有料有态度的基地新浪:数学高ì y2 = 2z()òòò7.计算I =x + y dv, 其中W22是曲线íî绕z轴旋转一周所形成的曲面x = 0W与两平面z = 2, z = 8所围成的区域.22222228.计算I = 

59、42;òò( x + y + z ) dv, 其中W : x + y + z £ 4, x + y + z £ 4z.W9.计算I = òòò(mx2 + ny2 + lz2 )dv, 其中W : x2 + y2 + z2 £ R2.W1- xx+ y1f ( x, y, z ) dz,改换为先x, 再z, 最后y的次序.10.将I =dxdyò0òò00专题二十 基本方程求解解题思路: 1.对一阶方程可按变量可分离、齐次(作变量替换化为变量可分离)、一阶线性、一阶线性和(作变量替换化

60、为一阶线性)及全微分方程顺序检查类型;特别是方程还应注意有时可以以x为因变量,以y为自变量得到.2.对高阶方程可按高阶线性(齐次、非齐次)、降阶及方程顺序检查类型.< 1试求在(-¥, +¥)内的(1. éë1999数三ùû 设有微分方程y¢ - 2 y => 1连续函数y = y ( x)使之在(-¥,1)和(1, +¥)内都满足所给方程,且满足条件y (0) = 0.2. éë1994数一ùû 设f ( x)具有连续导数, f (0) = 0, f

61、¢(0) = 1, 且éë xy ( x + y ) - f ( x ) y ùû dx+ éë f ¢( x) + x2 yùû dy = 0为一全微分方程, 求f ( x)及此全微分方程的通解.3. éë2017数二ùû 微分方程y ¢ - 4 y¢ + 8 y = e2x (1+ cos 2x)的特解形式可设为y*= ( A) Ae2(C ) Ae24. éë仅数一ùû 微分方程y¢ =(B cos 2x + C sin 2x )(B cos 2x + C sin 2x )yy的通解为.2xy - x2d 2 ydy5. éë2004数一ùû éë仅数一ùû2+ 4x+ 2 y = (0 x > 0)的通解为 .dx方程xdx26. é2017数三ù é仅数三ù 差分方程y- 2 y = 2t的通解为y =.ëû ëût +1tt关注【狗之1家8 】有料有态度的基地新浪:数学高专题二十一 线性微分方程解的

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