基与维数的求法

1、精选文档线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):依据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间中，假如有个向量满足:(1)线性无关；(2)中任一向量总可以由线性表示. 那么称为维（有限维）线性空间，为的维数，记为，并称为线性空间的一组基.假如在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成为无限维的.例1 数域上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.解 易证为线性空间的一组线性无关的向量组，且对中任一元素有按定义为的一组基，的维数为2.方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为时，任意个向量组成的线性无关

2、向量组均作成线性空间的基.例2 假定是一切次数小于的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：构成的基.证明 由的系数为得，并代入上式可得的系数依此类推便有，故线性无关又的维数为,于是为的基.方法三(利用同构求维数法):数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.例3 设，证明：由实数域上的矩阵的全体实系数多项式组成的空间与复数域作为实数域上的线性空间同构，并求它们的维数.证明 中任一多项式可记为，建立到的如下映射易证是到上既是单射又是满射即一一映射.再设 ，则有故是到的同构映射，所以到同构另外，易证的一个基为，故方法四(求可逆矩阵确定基法)：设与是维线性空间中两组向量

3、，已知可由线性表出：令假如为的一组基，那么当且仅当可逆时，也是的一组基.例4 已知是的一组基，证明也是的一组基.证明 由于且所以也为的一组基.方法五(向量等价求基法):假如空间中一向量组与中一组基等价，则此向量组肯定为此空间的一组基.例5 设表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明为这空间的一组基.证明 则解得于是线性无关，它们皆可由线性表示，因此与等价，从而中任意多项式皆可由线性表示，故为的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不转变矩阵间的线性关系.任何一个矩阵，总可以通过行初等变换和

4、列变换化为标准阶梯型矩阵：，其中表示阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很便利地求出的一个基，从而确定了维数.例6 设是数域上四维线性空间的子空间，且求的一个基与维数.解 若，则存在，使（1）即有（2）若线性无关，（2）仅当时成立那么是零子空间，因而没有基，此时维数为，是直和若存在不全为零的数使（2）成立，则有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量.以为列向量作矩阵，经行初等变换将化为标准阶梯形矩阵.是的一个基同时知，是的一个基，是的一个基，是的一个基，方法七(极大无关组确定基法):线性空间中任意一个向量，都可以表示成中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是

5、的基.例7 求与的交的基和维数.设，解 任取，则，且，（注：此时虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在、中的表示，并非本题所求，即要在空间中将线性表出），求解得故是一维的，基是易知是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：假如是有限维线性空间的两个子空间，那么例8 已知求由向量生成的的子空间与向量生成的子空间的交与和空间的维数的一组基.解 由于，对以为列的矩阵施行行初等变换：秩秩，所以的维数是且为极大线性无关组，故它们是的一组基.又由线性无关知的维数为，同理的维数也为，由维数公式知的维数为.从矩阵易知,故是公有的非零向量，所以它是交空间的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数.替换定理：设向量组线性无关，并且可由向量组线性表出，那么必要时可适当对中的向量重新编号，使得用替换后所得到的向量组与向量组等价.特殊，当时，向量组与向量组等价.例9 已知向量组设它们是向量组的线性组合，又设向量组