2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题(解析版)

1、2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题一、单选题1.已知集合 A=x|x22x>0, B=xl-# vxv 用,则().A. AAB=0B. AUB=RC. BAD. A B【答案】B【解析】依题意A=x|x0或x)2,由数轴可知，选 B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力2.化简AB+BCAD等于A CDB DCC ADD CB第6页共17页，属于基础题型.3.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=()【解析】 根据向量的线性运算求解即可AB bC-AD.AC-AD.D?故选：B本题主要考查首尾相加的向

2、量运算与共起点的向量减法运算A. ex +C-x 1C. eA.充分而不必要条件C.充分必要条件D-x J .e【答案】D【解析】试题分析：与曲线 y=ex关于y轴对称的曲线为 y = e«,向左平移1个单位得-(x -1)-x -1x -1y =e=e ,即 f(x)=e.故选 C.【考点】函数图象的变换.-_444 .'向量a与向量b共线”是存在九wr，使得a=心 ”的()B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】与共线向量有关的问题，重点考虑零向量的特殊性即可判断.【详解】由平行向量的定义,若存在九cr,使得a=：,则向量a与向量b共线.但当向量之与向 量b共

3、线时，若b为零向量,a不为零向量则不存在九s r,使得a= b.故选：B【点睛】本题主要考查向量共线的定义与判定属于基础题型. .15 .函数f (x ) = lx - - Icosx (-冗MxM兀且x=0)的图象可能为()X【答案】D11_【斛析】 因为f (x) =(x+)cos x =(x)cos x = - f (x),故函数是奇函数，所 xx11以排除A, B;取x =兀，则f0)=0一一)cos n = -0 - ) <0 ,故选D.【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.6 .设等差数列 G的前n项和为Sn,若Smi = -2,Sm=0,Sm+=3,则m =()A.

4、3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由 Sm = 0 = ai = am = ( Sm Sm)=一2 又 aml = Sm 一 Sm = 3 ,可得公差d =am4一 am =1 ,从而可得结果.【详解】Yan是等差数列S m a1ams0Sm 一 八 一02=al = 一am = 一 Sm - Sm二一2又 am 4=Sm书一Sm = 3 ,公差 d =am由-am =1 ,3 = am+=a1 +m = 2+m= m = 5,故选 c,【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.函数y = f (x)的图像如图所示

5、，在区间la,b上可找到n(n22)个不同的数x1,x2*l,xn，使彳#fn-iijl,则n的取值范围为()(A) 23(B)。3,4)(C)匕,4)(D) 13,4,5：，【答案】B【解析】 3:11x11表示(x1, f(x1)到原点的斜率;x1x1 -0fnf/llnflxnl表示(Xi, f(),(X2, f(X2),|,(Xn,f(Xn)与原点连线的XiX2Xn斜率，而(Xi,f(Xi),(X2, f (X2),|,(Xn, f(Xn)在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识sin x8.已知

6、函数f(x)=，下列四个命题正确的序号是()x3y = f(x)是偶函数 f (x) <1当x =冗时，y = f(x)取得极小值满足2.,n 、. ,n 1 、, ，一，一f (一兀)< f (兀)的正整数n的最小值为966A.B.C.D.【解析】 对，直接根据偶函数的定义判断即可 对,根据当x >0时sin x与x大小关系判断即可.3对，求导后代入x= n判断即可.2sin x对，求导分析函数单倜性，确定f (x)=的极值点位置再判断即可.X【详解】对，f(x)=snx定义域为xx#。,当X00时， X一 、 sin(-x)-sinxsinxf (x) = = f (x)

7、，故f (x)是偶函数，正确-x -x Xsin x对，因为f(x)=为偶函数，故只需考虑XA0时的情况即可.X画出y =sin x与y = x的函数图像如图.因为sin'x = cosx <1 = x'且当x = 0时成立，由图可得当乂下0时，乂:>$访乂恒成立.sin xsin xsin xX故当X A0时，f (X) = <1.又f (X)=为偶函数，故f (X) = <1恒成立.f '(x)=。则 x cosx - sin x = 0.-3.一当x = 兀时xcosx-sinx =0不成立，故错误.2对，f'(x) =xcosx

8、- sin xJC令 g(x) = xcosx sin x ,当 x =时, 2JTg() = cos- -sin = 1，当 x ¥万时，g(x) = xcosx -sin x = cosx(x- tanx)先画出y =*与y =tanx的图像如图注意当x w (0,三)时，tan'x = -4 > 1，此时x < tan x，此时 2cos xg(x) = cosx(x - tan x):二 0JT当 xW(L,n)时，cosx<0,XAtanx,故g(x) =cosx(x-tanx) <0 2当 x =n 时，g(n) =ncosn -sin n

9、 <0.故当 x (0,n时，f '(x) = xcosxjsinx <0 x一 ,3二、一一当 x= (n,-)时，cosx <0,且 xtanx = 0有根.又对sin x 67 、3出）二:，埠二，叫二一三83.39 、2-：) =-，f (一 )二-一68 二63 二1033 一 n 一 n 1f （二兀）=少.故满足f（n）f（几）的正整数n的最小值为9.610二66故正确.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中对三角函数的分析与计算能力要求较高属于难题.、填空题n Ji9.函数 f (x) =sin(a&q

10、uot;x-)，在区间b,1】上的最小值是【答案】第8页共17页【解析】根据xw 01 得出三x-工的范围，再根据三角函数单调性进行求解即可 24【详解】一一.冗冗, xC 0,1, x 0,242,2函数f(x)=sin -x- 在区间0,1上的最小值是一在， 【24)2故答案为：混2【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用，属于基础题型.10.在等比数列 Qn)中，若 a2 +a4 =20, a4 +a6 =60 ,则 q =【解析】分析：根据题意列出关于首项ai ,公比q的方程组，解得a1、q的值，即可得结果详解：设等比数列 an中公比为q,aa2 a4 202, a4 % =q

11、a4)=60 q2 =3 ,q = ±J3 ,故答案为 ±J3 .点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题 .等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1,q,n,an,Sn, 一般可以 知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11 .在平面直角坐标系中，点 O(0,0) ,P(1,J3),将向量OP绕点O顺时针方向旋转后，得到向量 OQ ,则点Q的坐标是【答案】(-,3, -1)与x轴正半轴的夹角为 e,再表示出OQ对

12、应的夹角，利用三角函数【解析】设向量OP求解即可.【详解】平面直角坐标系中，点0(0,0) , P(1, J3)则OP； = 2 .将向量0P绕点0顺时针方向旋转弯 (后，得到向量0Q ,设 0P=(1,73) =(2cos e,2sin 日)，易得日=£ ,3设点 Q 的坐标为(x, y)，则 x = 2cos(日 一 () = 2sin 8 = J3 , y =2sin(0 -2-) = -2cos9 = -1，故点 q 的坐标为(J3, 1),故答案为：(. 3, -1)【点睛】本题主要考查三角函数的定义，角日顺时针旋转对应的角度为日-；，属于中等题型.12 .已知eM是夹角为

13、60°的两个单位向量，则向量2号+62与向量2e2 -3e1的夹角【答案】3【解析】根据夹角公式cos0 =rhr21与向量的坐标运算求解即可【详解】一 TT 一 . . . T1已知e、e2是夹角为60的两个单位向量，. & ?e2 =1 m >cos60 =3 .设向量2e +e2与向量2-3的夹角为0,长0,兀.-T tTTT-2-217. (2ge2 )?(2e2-30)二e 6-602e2-6+2 =-,|2：+：| = J(2?+? 2 =小4+4或+1 =V7,|2：-3e1|(2% -3e1 )2 = J412父(+9 ="，故2qe22e2

14、-铝cos 0=-T20 e '2e2 -3e7=一 2 = _1,7 72故答案为:3【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算，属于基础题型.广 2_-x 2x(x <0).、一 一 ,，13 .已知函数f(x)=« x若对wxw R,不等式f(x)之ax成立，则a的取值ex -1(x 0)范围是【答案】1-2,1 1【解析】 分x E 0与x > 0两种情况分别讨论研究恒成立问题即可.【详解】当 x £0, f (x) = x2 2x 之ax,得 x2 (2 + a)x 之 0 ,x M a + 2,即 a 之 x 2,a 之 一2,当乂&g

15、t;0时，£)=3、1,他)=3广(0)=30=1,所以过(0,0)的切线为y =x, f (x)之ax,则a W1,故a w【-2,1,故答案为：1-2,1【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题，需要分开讨论或者数形结合分析，属于中等题型.14 .设Q为平面直角坐标系 xOy中的点集，从Q中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M,N,记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x(Q )，点N的纵坐标的最大值与最小值之差为 y( Q).若Q是边长为1的正方形，给出下列三个结论：x(Q)的最大值为石x(Q)+y(Q)的取值范围是 2,2>/2 Ix(Q)-y(Q)恒等于0.其中

16、所有正确结论的序号是 【答案】.【解析】易得x(Q),y(Q)与正方形Q的位置无关，故可以考虑将正方形确定在原点，再绕着原点旋转分析所有情况即可 .【详解】如图由题易得x(Q), y(Q)与正方形Q的位置无关，故将正方形ABCD确定在原点，则只需考虑当正方形ABCD绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长J2 .当正方形边 均平行于坐标轴时取最小值 x(Q) = y(Q) = 1.且 x(Q) = y(Q) = max 1 , 2 cos: , 2 sin 二对,x(Q) e 1J2 I,故正确对，x(Q) + y(Q)=2x(Q)w 2,2 J2,故正确.对，因为 x(Q) = y(Q) =

17、 max 拒 cos a, V2sin a，故x(Q)y(Q)=0,故正确.故答案为：第16页共17页本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等三、解答题115 . MBC中，角A, B, C所对边分别是a、b、c,且cos A =3,2 B C 求sin +cos2A的值；2(2)若a=J3,求 ABC面积的最大值.【答案】(1)(2)述942 B C 一一【解析】(1)将sin2+ cos2 A化简代入数据得到答案.29(2)利用余弦定理和均值不等式计算bc W N ,代入面积公式得到答案41 sin2 B 2c cos2A =sin2 ： - A22

18、2cos2 A -12=c o s2 c cAs-21cosc 入1 2Aos3+2_1 =； 299,.1(2)由 cosA =一 ,可得 sinA 32,232.222222.4.由余弦定理可得 a = b c - 2bccosA = bc - - bc - 2bc - - bc = bc333'3 o 93即有bc w a2 =,当且仅当b = c =,取得等号.442则 ABC面积为 bcsinA1x-x22 =逑.22 4343,24一3一即有b = c =一时， ABC的面积取得最大值2【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型16.已知

19、等比数列 值满足：久a2=10, a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数 m,使得 工+-+.+-> 1若存在，求 m的最小值；若不存在, a a?am请说明理由.【答案】(1) an=5X3n/ (2)不存在，详见解析【解析】(1)利用基本量法将所有量表达成首项a1和q的形式列式求解即可.1 ,(2)对一进行等比数列求和，再分析与1的大小关系即可.am【详解】(1)设等比数列an首项为a1,公比为q,则 a3 a2 =a1q2 aq =10111111 ，则 a1a2a3 = a1 aq aq2 = (a1q)3 = 125HIHI，解得：q=3,从而a

20、i =5 .35，数列an的通项公式an =a1q - = 一乂3,=5乂3 一 .3111(2)假设存在正整数 m使得一十一+|+4.aia2am an =5 3n-,11131：一= = (J ，从而数列 一 是首项为一,公比为一的等比数列 an53an53从而得1 ± up ± aa? am31- 1)m53_ 9 .1-13二一 1103-1,从而解得32 mw- 1,显然不成立1 1.1因此不存在这样的整数 m使得使得 一+川+之1成立.a a? am【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量法以及等比数列求和的问题，属于基石题型.17 .小波以游戏方式决定是参加学校

21、合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 A, A2, A3, IA5, A6,4，备(如图)这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。片5出一I一一 J ,-I i I A|01 x/式T,T) A1 -I 4。尸1)(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望.【答案】(1)-(2)-714【解析】(1)因为X满足=0的是两个垂直的向量有 8个，从8个向量中任取2个乘积282共有C8 =28种，所以小波参加学校合唱团的概率为P=-8=7.(2)由题意知X可能取值有-2, -1,0,1,

22、P(X = -2)=21 10-2 = ， P( X = 1) = -2Cs 14C514'P(X =0) = 2C84 84，P(X =1) = 2 =,14C； 14第23页共17页154414求证：MN 平面PAD;(2)求二面角 BAM C的大小;(3)在BC上是否存在点 E,使得ENL平面 AMV?若存在,BE ,求的值：若不存在,BCX的分布列如下:X-2-101P154414141414-2 (-1) 0 1 = 14141414【考点】该题主要考查离散型随机变量X的概率分布、期望，平面向量的概念和运算,随机变量的概率等基础知识，考查综合分析能力和运算能力18 .在四棱锥

23、 P-ABCD中，APAB为正三角形，四边形 ABCD为炬形，平面 PABX平面 ABCD.AB=2AD, M, N分别为 PB, PC中点.(1)请说明理由.BE 1【答案】(1)证明见解析(2)45 (3)存在，=-【解析】(1)欲证MN 平面PAD,则证明MN / AD即可.(2)取AB中点。再建立空间直角坐标系，求得BAM与AMC的法向量再求解即可.设E(1,K,0)再根据EN_L平面AMN ,列出对应的向量，利用数量积为0,求出入再 计算即可.【详解】证明：(1)-M,N分别是PB,PC中点MN是4ABC的中位线MN / BC / AD又ADU平面PAD,MN0平面PAD所以MN /

24、平面FAD.解：(2)过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,因为平面 PABL平面 ABCD,所以POL平面 ABCD,如图建立空间直角坐标系，设 AB=2,则 A(- 1,0,0),C(1,1,0),M(-,0,-i),22113 B(1,0,0),N(-, , ), 2 2 2.-13,3则 AC =12,1,0 ,AM = 一,0,22设平面CAM法向量为口 =(“，, 4 ),0 AC =0 由J -In AM =02xy1 二0，得彳3 4百 八，二 K二-z1 二022令 x1 = 1,则W=一2,乙=f/3，即= 1,-2,-.32B - AM - C的余弦值 cos9平面ABM

25、法向量n2 =(0,1,0 )所以，二面角 因为二面角B-AM-C是锐二面角 所以二面角 B - AM - C等于45i1 1设 E(1"0),则 EN =，一2 2EN AM =01由二4二4 可得九=一EN MN -02所以在 BC存在点E,使得ENL平面AMN,此时BE 1BC 2【点睛】 本题主要考查了立体几何中的垂直平行证明以及用空间向量求解面面角以及是否存在的问题等，求出法向量再利用空间向量的数量积与夹角即可.属于中等题型.1、19.已知函数 f (x) =a(x -)2ln x ,其中 a *0. x(1)若a=2,求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(2)设函数g(x

26、) =a若至少存在一个 小w1,e,使彳导f (%) <g(x0)成立，求实数a x的取值范围.【答案】(1) 2x-y -2 = 0 (2) .|0,- I【解析】(1)求导后代入2=2求得£(刈在x=1处的切线斜率，再利用点斜式求得切线方 程即可.(2)求导后分a=0与a>0时，分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不 等式即可.【详解】1(1)当 a =2时，f (x ) = 2 x _ x-lnx , f 1 =0, f'x = 211-x2x ,，f'(1) = 2,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为y = 2(x 1)，即 2

27、x -y -2 =0(2)原问题等价于至少存在一个1,e,使得f(x。)g(x0) <0成立，令 h(x) = f (x) -g(x) =ax-2ln x,x 1,el则 h' x) = a - =ax -2 , x x当 a=0 时,h'(x )= <0，则函数 h(x)在1, e上单调递减，故 h(x)min = h(e) = 2 V 0, x符合题意；2 2“当a>0时，令，h'(x尸0,解得0Vx< ,则函数h(x)在,0, |上单调递减，令,一 八22"工皿h (x )>0,解得x> ,则函数h(x)在.一，收 单

28、倜递增，a1al c/2 )且 h(1) = a,h(e) =ae2,h la>2=2 -2ln - a21 .当一M1,即a之2时，在1,e】上h'(x)之0,h(x)单调递增， a此时hmin (x) =h(1)=a >2不符合题意2 2. 1 . . .2 .当 一 >e,gp 0 <a <一时，在1,e上 h'(x )<0, h(x )单调递减， ae此时 hmin (x) = h(e) = ae 2 < 0 满足题意一 2 n 23 .当 1 <一 We,即一<a <2时，h(x)min a e八 2 八= 2-2ln- -0,不满足题意 a皿 -2综上，实数a的取值范围为.10,-. , e【点睛】本题主要考查了利用导函数求切线方程的一般方法，同时也考查了分情况讨论思想与导数与单调性和最值的运用等，属于中等题型.& >>20.将所有平面向量组成的集合记作R2 , f是从R2到R2的映射，记作y = f (x)或(y1, Y2) = f (x1，x2),其中x),x2,y1, y2都是实数.定义映射f的模为:在x =1的条件下444y的最大值记做 f .若存在非零向量xW R，及实数k使得f (x) = Ax ,则称人为f的一个特征值.(1)若 f(Xi, x