曲面及其方程

1、编辑ppt9.3 曲面及其方程 编辑ppt定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :已知动点按照某种规律运动, 求运动(2) 坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何图形( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt故所求方程为例例1

2、. 求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、球面及其方程一、球面及其方程编辑ppt例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(

3、222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptxyz二、柱面二、柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt

4、xyzxyzol定义定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptxzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线

5、表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l编辑ppt定义定义3. . 一条平面曲线三、旋转面三、旋转面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转面旋转面.该定直线称为旋转旋转轴，曲线成为旋转面的母线轴，曲线成为旋转面的母线例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM122

6、1,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptxy例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分

7、别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt总结总结(1) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oxy( , )0f x y Oxz( , )0f x z x22( ,)0f xyz(2) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oxz( , )0f x z Oyz( , )0f y z z22(, )0fxyz(3) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所

8、形成的旋转面方程均为Oyz( , )0f z y Oxy( , )0f x y y22(, )0fxzy编辑ppt四、空间曲线的一般方程四、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C

9、的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptzyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptzxyo1C又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122z

10、yx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt 9.4 二次曲面 编辑ppt二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptzyx1 1. 椭球面椭球

11、面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbca机动 目录 上页 下页 返回 结束 z编辑ppt2. 椭圆锥面椭圆锥面( (二次锥面二次锥面) ),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x

12、0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 编辑ppt虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy

13、zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 0编辑ppt(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt4. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx机动 目录 上页 下页 返

14、回 结束 zqypx2222编辑ppt总结. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt5. 化简二次方程判断曲面类型设三元二次方程的一般形式为2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),( , , ) ,( ,)TTTijAAaux y zbb b b则上面方程可写为0TTu Aub uc因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交变换u=Qv，则123(,)0TTv diagvb Qvc 编辑ppt即2221