第2讲+导数与微分

1、第二讲一元函数微分学题型一 与导数定义有关的题【例1】已知,则 _.【答案】【解析】原式=.【例2】（11,3）已知函数在x=0处可导，且=0，则= ( )(A)2 (B) (C) (D) 0【答案】(B)详解： 故应选(B)【例3】设函数在处连续，下列命题错误的是( ).若存在，则若存在，则若存在，则存在 若存在，则存在【答案】D【详解】方法1：论证法，证明都正确，从而只有不正确。由存在及在处连续，所以，所以(A)正确；由选项(A)知，所以存在，根据导数定义，存在，所以(C)也正确；由在处连续，所以在处连续，从而，即有，所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确。

2、例如取，有存在而，左右极限存在但不相等，所以在的导数不存在。(D)不正确，选(D).【例4】函数不可导的点的个数是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0解 显然不可导的点最多三个，即，但由常用结论的备注可知，在可导，而在，不可导，故选（B）.【例5】设函数，则在内( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当时，有，命取极限，得，由夹逼准则得；当时，；当时，命取极限，得，由夹逼准则得所以 再讨论的不可导点. 按导数定义，易知处不可导，故应选(C).【例6】设函数在处连续,且,则( )(

3、A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在【答案】【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下：换元令，由题设可得 .于是 因为函数在点处连续，故，进而有 .这表明且存在. 故应选 .题型二 求导数与微分1、复合函数求导（定理）：设在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且【例7】已知，则已知，则_解【例8】设，函数可导，求的导数。解 当时，当时，为，和的复合，且，由题设存在，若 存在由复合函数求导法知而则注：这是一种“经典”的错误，原因是极限不存在，因为求极限的函数在的任何邻域内都有没定义的点（充分大）2、复合函数求导隐函数导数的求法一般有三种方法：(1)方

4、程两边对求导，视是的函数，则的函数是的复合函数。例如，等均是的复合函数。对求导应按复合函数连锁法则做。(2)公式法。(3)利用微分形式不变性【例9】设方程确定为的函数,则_.【答案】【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数.方程两边对求导,得.【例10】已知函数由方程确定，则 .【详解】是由确定的的函数，两边对求导，所以 两边再对求导，得把代入，得，代入，得.3、参数方程求导 设函数【例11】设 则=_. 【答案】【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 , 则 .所以 ,再对求导,由复合函数求导法则得.【例12】设由所确定，求解 本题最简单的方法是利用公式由知

5、 ，则，由知，且令，得，【例13】设，求. 详解：, 4、对数求导法适用于幂指函数、连乘、开方、乘方等。【例14】设，求.解5、高阶导数（常用方法）：1）代公式;2）求一阶、二阶，归纳阶导数3）利用泰勒级数常用公式:1）2）3）【例15】设，求解【例16】设函数的某领域内可导,且,则【答案】【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。由，有所以 以代入，得.【例17】设函数，则【答案】【详解】，由数学归纳法可知 把代入得 【例18】设，求解令，则 【例19】求函数在处的阶导数.解法1 利用公式令，解法2等式右端的次项系数又，则题型三、求切法线方程【例

6、20】设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为.【答案】 x2y+2=0.【详解】在等式两边对x求导,其中视为的函数，得，即将x=0, y=1代入上式,得，即故所求法线方程斜率，根据点斜式法线方程为： 即 x2y+2=0.【例21】曲线上与直线垂直的切线方程为 .【答案】【详解】方法1：因为直线的斜率，所以与其垂直的直线的斜率满足，所以，即，曲线上与直线垂直的切线方程的斜率为1，即，得，把代入，得切点坐标为，根据点斜式公式得所求切线方程为：，即方法2：本题也可先设切点为，曲线过此切点的导数为，得，所以切点为，由此可知所求切线方程为， 即 .题型四 函数特性的讨论【例22】设函数在定义域内可

7、导，的图形如右图所示，则导函数 的图形为 ( )【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是严格单调增加的，因此当时，一定有，对应图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又的图形在轴右侧靠近轴部分是单调增，所以在这一段内一定有，对应图形必在轴的上方，可排除(B)，故正确答案为(D).【例23】设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.【答案】【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点

8、可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个(导函数与轴交点的个数)；是导数不存在的点 对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见为极大值点故共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)【例24】求函数的单调区间与极值详解：所以令，则；因为当时，时，时，时，；所以的单调递减区间为；的单调递增区间为所以是极大值.为极小

9、值.【例25】求函数的拐点_.【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐点为【例26】曲线的拐点是 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】( C)详解：解析：令，其中，在两侧，二阶导数符号变化，故选【例27】设函数满足关系式，且，则( )(A)是的极大值.(B)是的极小值.(C)点是曲线的拐点.(D)不是的极值，点也不是曲线的拐点.【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数在出具有二阶导数且，那么：(1) 当时，函数在处取得极大值；(2)当时，函数在处取得极小值；【详解】令等式中，得，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求

10、导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：以代入，有，所以.从而知，存在去心邻域，在此去心邻域内，与同号，于是推知在此去心邻域内当时曲线是凸的，在此去心临域内时曲线是凹的， 点是曲线的拐点，选(C).【例28】设函数f (x)的导数在x=a处连续,又则( )(A) 是的极小值点.(B) 是的极大值点.(C) 是曲线的拐点.(D) 不是的极值点,也不是曲线的拐点.【答案】 B【详解】方法1：由知又函数的导数在处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以，于是有即，根据判定极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且，当时，函数在处取得极大值. 知是的极大值点，因此

11、，正确选项为(B).方法2：由及极限保号性定理：如果，且(或)，那么存在常数，使得当时，有(或)，知存在的去心邻域，在此去心邻域内.于是推知，在此去心邻域内当时；当时又由条件知在处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，而时，则在处取得极大值，知为的极大值. 因此，选 (B).【例29】若曲线有拐点，则.答案：详解：令，得，所以又曲线过点，代入曲线方程，得题型五 求曲线的渐进线【例30】求曲线渐近线的条数为( )【详解】因为，所以是一条铅直渐近线；因为，所以是沿方向的一条水平渐近线；令 令 所以是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D【例31】求曲线的渐近

12、线。解：显然曲线无水平渐近线和垂直渐近线是时的斜渐近线同理 是时的斜渐近线题型六、方程根的讨论【例32】设在上可微，且当时，试证在内有且仅有一个使.证 令，则，由零点定理知方程在内至少有一实根，又，则最多一个实根，原题得证【例33】求方程不同实根的个数，其中k为参数.详解：显然为方程一个实根.当时，令令 即当时，； 当时，.当时，；当时，.当时，由零点定理可知在,内各有一个零点； 当时，则在,内均无零点.综上所述，当时，原方程有三个根. 当时，原方程有一个根.【例34讨论曲线与的交点个数.【详解】讨论曲线与的交点个数等价于讨论方程在区间内的零点问题，为此对函数求导，得可以看出是的驻点，而且当时，则，而，有，即单调减少；当时，则，而，有，