第七章参数估计53056

1、第七章参数估计基本要求掌握点估计的几种常用方法，了解无偏性、一致性、有效性是评价估计量好坏的标准，理解置信区间的概念和含义，会计算一些不同情况的区间估计。重点 参数的区间估计难点总体均值与方差的置信区间求法。引言 统计推断就是利用样本资料信息对总体作推断，由于信息的有限性，样本的随机性，做出的推断不可能绝对准确，这种不确定性可用概率大小来衡量。例如，某批产品的次品率是个未知数，可以从中抽取100件，如有5件次品，则这100件产品的次品率为，可以用样品的次品率作为整批产品次品率的估计。又如，某地成年人的身高，可随机抽取个成年人，这个成年人的平均身高可作为该地成年人平均身高的估计。参数估计 在已知

2、总体分布的类型时，总体分布中的一些参数往往未知，利用样本的资料信息来估计总体分布中的一些未知参数（平均值、标准差、比率等）。第一节参数的点估计引例 某地水稻面积为10000亩，随机抽取4块稻田，亩产分别为300，350，400，450，求该地平均亩产量及总产量的估计。设平均亩产量，样本均值，平均亩产量估计，总产量的估计。由于样本的随机性，的具体值不同，就存在一个估计“好坏”的标准，即要求保证估计量有较大的概率取值在被估计参数的附近，而且估计量的方差尽量小。点估计 设总体的分布函数为，其中是一个未知的数或一个向量。若总体样本,，构造一个统计量，作为参数的估计，称T为的估计量，记作，即，它是一个随

3、机变量。是样本,的一个观测值，将代入中得到T的具体数值，称为的估计值。同一个未知参数可用不同的方法求得其估计量。点估计的步骤 （1）构造统计量以此作为的估计量；（2）评价估计量的好坏。一、矩法估计阶样本原点矩；阶样本中心矩 （）阶总体原点矩；阶总体中心矩（为正整数）方法 样本矩作为总体矩的估计量。理论背景：样本,是独立同分布，因而,也是独立同分布，由大数定律知，（依概率）所以对充分大的，有由于中心矩可用原点矩表示，所以只讨论原点矩。设为个参数组成的维向量，即（总体原点矩估计）（样本原点矩）（,），由此得到个联立方程，解之得，称之为矩法估计量。例1 求总体均值、方差的矩估计解，；，所以，即矩法估

4、计中总体均值的估计量为样本均值，总体方差估计量为样本方差。例2 两点分布，设，求的矩估计。解，所以，（概率（频率）例3总体，求的矩估计。解，所以，二、极大似然估计极大似然估计以概率最大为依据。如老猎人和新手同时朝一只野兔射击，野兔被击中但只中一枪，我们可认为是老猎人打中的。方法 设总体分布已知，为密度函数，则样本,的概率密度为直观想法：哪一组参数值使现在的样本,出现的可能性最大，哪一组参数可能就是真正的参数。样本落在的邻域内的概率为，极大似然法就是使样本落在邻域内的概率达到最大的参数作为估计量。记（称为似然函数）定义作为的函数，它在时最大，则称为的极大似然估计。即当关于可微时，（称为似然方程组

5、），解之得由于、极值点相同，所以似然方程组可简化成当X为离散型时，事件“”发生的概率为例4 设总体，求的极大似然估计解，解之得，与矩法估计的结果（例1）相同。例5总体，求的极大似然估计。解无法用微分法求极值。因为，所以，这以矩估计不同例6 设总体X的概率密度为，,为样本，求参数的矩估计和极大似然估计例7总体，求的极大似然估计。解无法用微分法求极值，必须从极大似然法估计的定义出发，求的最在值，即尽可能小，但，否则，所以，两种点估计中，矩估计直观简单；极大似然估计效果比较好，但要知道总体分布，且计算较复杂。总体为正态分布、泊松分布、二项分布时，总体分布中的未知参数的矩估计和极大似然估计相同。第二节

6、 估计量优良性的标准同一个未知参数可能有若干种不同的估计，需要对参数的估计的优良性进行评价。估计量是随机变量，不同的观测结果就会得到不同的参数估计值，因而一个好的估计应在多次重复试验中体现出其优良性。一、无偏性一个好的估计量其不同的估计值应在未知参数真值的附近，由此引出无偏性标准。定义 设为的一个估计量，若，则称为的无偏估计量。意义 若多次相互独立地重复用无偏估计量进行实际估计，所得估计值的算术平均值与的真值基本上相同。在科学技术中，称为用估计时产生的系统偏差，的实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差。例1，可修改为，例2 设总体X服从二点分布，设，为未知参数，,是样本，证明：是的无偏估

7、计。例3 设总体X服从区间上的均匀分布，其中为未知参数，又,为样本，证明是的无偏估计。例4设总体X的均值 与方差均为未知参数，为样本。证明为的无偏估计。为的一个估计量，为的一个实值函数，我们通常用作为的估计，但是的无偏估计，不一定是的无偏估计。例如，样本标准差不是总体标准差的无偏估计。二、有效性均方误差：越小越优，即对的偏离程度越小越好。当为的无偏估计时，这时方差越小越优。定义 设、为的两个无偏估计量，若，则称比有效的无偏估计量。设为的无偏估计量，如果，都有，则称为的有效估计量。例5为总体的样本，比较下列无偏估计量的好坏。（1）、（2）、（3）例6 证明（线性估计量），当时三、一致性一个好的估

8、计量应是无偏的，且是具有较小方差的，同时当样本容量无限增大时，估计量能在某种意义上无限地接近于未知参数的真值。由此引入一致性（相合性）标准。定义 设为未知参数的估计量，若对任意的，均有，则称为参数的一致估计量。第三节参数的区间估计一、置信区间引例某批轮胎寿命（公里），从中随机抽取100只轮胎，其平均寿命为32000公里，求轮胎平均寿命的区间估计。解 点估计（公里），由查正态表得对于有，查表可得 1-正态表，时查例如，取，由解得，又由得，称为置信水平，称为的置信区间。定义 总体分布有一个未知参数，由样本,确定的两个统计量和，对于给定的，满足，则称随机区间为的置信区间，称为置信水平（度、系数、概率

9、），称为显著水平，分别称为置信下限、上限。意义 保证参数有的概率落在区间中。通常取、参数的区间估计的原则：在保证有一定的置信度下，尽可能地提高精确度。构造未知参数的置信区间的方法：（1）抽样得样本,，构造一个包含的函数，分布已知的，且分布与无关；（2）对给定的置信水平，根据的分布函数，确定使；（3）由解得，即的置信水平为的置信区间。二、均值的置信区间正态总体（），在置信水平下，对总体未知均值的区间估计。（1）总体方差已知时，由引例易知，的置信区间 置信系数越大，越小，越大，区间估计的长度越长，精确度越低；样本容量越大，区间估计的长度越短，精度越高。（2）总体方差未知时，所以，的置信区间 查表中

10、的及自由度而得。例1设总体X服从正态分布，其中已知，,为样本，记，,对于给定的值()，若的置信水平为的置信区间的下限为，则该区间的上限为( )（A）（B） （C） （D）例2 某药品每片中有效成分含量X（单位：）服从正态分布。现从该药品中任意抽取8片进行检验，测得其有效成分含量为分别计算该药品有效成分含量均值的置信度为及的置信区间。（）例3 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得它们的直径（，）（单位：厘米），并求得其样本均值，样本方差，已知，设钉子的直径分布为正态分布，试求总体均值的置信水平为的置信区间。例4 已知某市新生婴儿体重X（单位：）服从正态分布。其中未知，试用该市新生婴儿体重的如下样本

11、求出该市新生婴儿平均体重的置信度为的置信区间。（）三、方差的置信区间正态总体（），在置信水平下，对总体未知方差的区间估计。，总体方差的置信区间 注意：查分布表中及自由度而得。例5 求例4中总体方差的置信度为的置信区间。例6自动包装机包装某食品，每袋净重。现随机抽取10袋，测得每袋净重（克），（，10），计算得，若未知，求的置信度为95%的置信区间，求的置信度为95%的置信区间。（附）四、双样本场合，正态总体，、，和独立,来自总体，,来自总体、在置信水平下，对的区间估计。（1）方差已知时，的置信区间为（2）方差未知时，这是因为、，所以时，即的置信区间为例7 欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣，现假设

12、用它们纺出的棉纱强度分别服从和，试验者从这两种棉花中分别抽取,和,，其均值为，求的置信区间（）（，的置信区间为）例8 某公司利用两条生产线生产灌装矿泉水，现从生产线上随机抽取样本,和,，它们是每瓶矿泉水的体积（毫升），其均值为，样本方差为，假设这两条生产线灌装的矿泉水的体积分别服从和，求的置信区间（）（，的置信区间为）上述两例中，的置信区间包括了零，即可能大于，也可能小于，此时认为和并没有显著差异。（3）双样本场合，正态总体，、，均值未知，和独立,来自总体，,来自总体、在置信水平下，对的区间估计。因为的置信区间为其中，查分布表中及第一自由度，第二自由度而得。四、非正态总体的区间估计当样本容量比

13、较大时，总体均值的置信区间仍可用正态总体来讨论，这时的置信区间是近似的。设总体均值为，方差为，,为样本，由于这些样本是独立同分布的，由中心极限定理知，对充分大的样本容量，近似有在置信水平下：（1）总体方差已知时，的置信区间近似为（2）总体方差未知时，用的一个估计，例如来代替，得的置信区间近似为（样本容量比较大，因而正态分布和分布近似）实践表明，当时，近似程度是可以接受的。例9 某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取50只电池做试验，得（单位：100小时），求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为的置信区间。（，）五、二项分布和泊松分布的参数的区间估计（），由中心极限定理知，对充分大的样本容量，近似有，（）这样得出的置信区间有未知参数，实际应用中，可以用代替，即因而在置信水平下，的置信区间近似为例10 商品检验部门随机抽查了某公司生产的产品100件，发现其中合格产品84件，试求该产品合格率的置