系统仿真及其Matlab实现

1、系统模拟及其Matlab实现系统模拟（亦称系统仿真）是指通过建立和运行系统的数学模型，来模仿实际系统的运行状态及其随时间变化的规律，以实现在计算机上进行试验的全过程。这是近30年来发展起来的一门新兴技术学科。实际对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟技术就成为十分重要甚至必不可少的工具。本章在介绍系统模拟的概念以及一般原理、方法和步骤的基础上，主要介绍三种基本的模拟方法及其模型，即蒙特卡洛模拟方法、排队模型、系统动力学模拟。通过蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟可以具体了解系统模拟的基本原理及方法，排队模型体现了离散事件系统模拟的特点

2、与规律，而系统动力学模拟则是一种可以广泛应用于各个领域的连续系统模拟方法。1 系统模拟概述（1）系统模拟的概念 系统模拟（亦称系统仿真）是近30年来发展起来的一门新兴技术学科。模拟（simulation）就是利用模型对实际系统进行试验研究的过程。实际对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟技术就成为十分重要甚至必不可少的工具。系统模拟是对实际系统的一种模仿活动，也就是利用一个模型，通常是数学模型，来模仿实际的事物发展变化的规律。 系统模拟的确切概念可以表述如下：系统模拟是指通过建立和运行系统的数学模型，来模仿实际系统的运行状态及其随时间变化

3、的规律，以实现在计算机上进行试验的全过程。在这个工程中，通过对模拟运行过程的观察和统计，得到被模拟系统的模拟输出参数和基本特性，以此来估计和推断实际系统的真实参数和真实性能，为真实系统问题的决策提供科学依据。 首先，系统模拟是一种有效的实验手段，它为一些复杂系统创造了一种柔性的计算实验验环境，使人们有可能在短时间内从计算机上获得对系统运动规律以及未来特性的认识。第二，系统模拟实验是一种计算机上的软件实验，因此他需要较好的模拟软件（包括模拟语言）来支持系统的建模和模拟过程。第三，模拟的输出结果是在模拟过程中由模拟软件自动给出的。第四，一次模拟结果只是对系统行为的一次抽样，因此一项模拟研究往往由多

4、次独立的重复模拟组成，所得到的模拟结果也只是对真实系统进行具有一定样本量的模拟实验的随机样本。因此，模拟往往要进行多次实验的统计推断，以及对系统的性能和变化规律作多因素的综合评估。 目前，系统模拟作为系统研究和实践中的一个重要技术手段，在求解一些复杂的系统问题中，具有下列几个特点。1）系统模拟面向实际过程和系统问题，将不确定性作为随机变量纳入系统来处理，建立系统的内部结构关系模型，从而使我们对复杂的、带有多种随机因素的系统，可以方便的通过计算机模拟试验求解，避免了求解复杂的数学模型的困难。这也是目前系统模拟得到广泛应用的最根本原因。 2）系统模拟以问题导向方式来建模分析，并使用人-机友好的计算

5、机及软件，使建模与模拟直接面向分析人员，他们可以集中精力研究问题的内部因素及其相互关系，而不是计算机编程、调试及实现，从而使系统模拟为广大科研人员及管理人员所接受。 3）系统模拟为分析人员和决策人员提供了一种有效的实验环境，他们的设想和方案可以通过直接调整模型的参数或结构来实现，并通过模型的模拟运行得到其实施结果，从而可以从中选出满意的方案。因此，系统模拟被看作是“政策实验室”。 然而,模拟技术也并非十全十美,它也有其自身固有的缺点.1）开发模拟软件,建立运行模拟模型是一项艰巨的工作,它需要进行大量的编程、调试和重复运行实验，这也是要消耗时间、人力和资金的。 2）系统模拟只能得到问题的一个特解

6、或可行解，不可能获得问题的通解或者最优解。模拟参数的调整往往具有极大的盲目性，寻找优化方案将消耗大量的人力、物力。 3）系统建模直接面向实际问题，对于同一问题，由于建模者的认识和看法有差异，往往会得到不同的模型，模型运行的结果也就不同。因此，系统建模常被称为非精确建模，或认为建模是一种“艺术”而不是纯粹的技术。 虽然以上缺点是由模拟本身的性质所造成的，但随着计算机科学（包括硬件和软件）的发展和系统模拟方法研究的深入，这些问题正在得到改善。计算机技术中的多媒体技术、虚拟现实技术、分布式网络技术的引入更使系统模拟如虎添翼，使系统模拟技术的研究与应用水平达到了新的高度。（2）系统模拟的分类 根据系统

7、模拟的定义，实施一项系统模拟的研究工作，包括三个基本要素，即系统对象、系统模型以及计算机工作。因此，对于模拟中不同的基本要素组合，就必须使用不同类型的模拟技术。在管理系统模拟中,提出使用数学模型和数字计算机,但对于不同的管理问题,就要使用不同的数学模型.因此，系统模拟分两种. 根据问题研究的系统对象的性质,管理系统模拟一般可以分成连续系统模拟和离散事件系统模拟. 连续系统是指系统状态随时间连续变化的系统,系统行为通常是一些连续变化的过程.连续系统模型提出通常是用一组方程式描述,如微分方程、差分方程等,注意差分方程形式上是时间离散的，但状态变量的变化过程本质上是时间连续的，如人口的变化过程、城市

8、用地、居民住宅建设数量等。因此，连续系统模拟的主要任务就是如何求解上述的系统模型的系统运动方程组。 离散事件系统中，表征系统性能的状态只在随机的时间点上发生跃变，且这种变化是由随机事件驱动的，在两个时间点之间，系统状态不发生任何变化。例如，医院门诊病人数量、路口车辆通过数量、公共汽车上乘车人数的变化、电话系统的呼叫、机器零件的生产线加工过程等都是离散事件系统。离散事件模拟就是通过建立表达上述过程的模型，并在计算机上人为构造随机事件环境，以模拟随机事件的发生、终止、变化的过程，最终获得系统状态随之变化的规律和行为。（3）系统模拟的基本步骤 系统模拟是一项应用技术，根据它的基本概念和求解问题的出发

9、点及思路，在实际系统模拟应用时，一般遵循以下几个基本步骤。1） 问题描述与定义 系统模拟是面向具体问题而不是面向整个实际系统，因此，首先要在分析、调查的基础上，明确要解决的问题以及实现的目标，确定描述这些目标的主要参数（变量）以及评价标准。根据以上目标，要清晰地定义系统边界，辨认主要状态变量和主要影响因素，定义环境及控制变量（决策变量）。同时，给定模拟的初始条件，并充分估计初始条件对系统主要参数的影响。2）建立模拟模型 模型是关于实际系统某一方面本质属性的抽象描述和表达。建立模拟模型具有其本身的特点。首先它是面向问题和过程的。在离散系统模拟建模中，主要应根据随机发生的离散事件、系统中的实体流以

10、及时间推进机制，按系统的运行进程来建立模型；而在连续系统模拟建模中，则主要根据系统内部各个环节之间的因果关系、系统运行的流程，按一定方式建立相应的状态方程或微分方程来实现模拟建模。其次，建立模拟模型与所选用的模拟语言密切相关。例如，选用通用模拟技术GPSS(general purpose simulation system)语言时，模拟模型将采取实体流和模块图的形式；当选用带排队功能的图示评审技术Q-GERT（queuegraphical evaluation review technique)语言，或风险评审技术VERT(venture evaluation reviewtechnique)

11、模拟语言时，模拟模型将为随机网络的形式；如果采用多功能模拟语言SLAM（simulation language for alternative modeling)时，则既可构造随机网络和离散事件的模拟模型。当实际系统特别是社会经济系统属于连续性问题时，则可构成因果关系和系统流图模型，并采用系统动力学DYNAMO 模拟语言来实现模拟。3）数据采集 为了进行系统模拟，除了要有必要的模拟输入数据以外，还必须收集与模拟初始条件及系统内部变量有关的数据。这些数据往往是某种概率分布的随机变量的抽样结果，因此需要对真实系统的这些参数或类似系统的这些参数做必要的统计调查，通过分布拟合、参数估计以及假设检验等步

12、骤，确定这些随机变量的概率密度函数，以便输入模拟模型、实施模型运行。 此外，某些动态模型，如系统动力学、计量经济模型等，还需要对历史数据进行误差检验和模型有效性检验。4） 模型的确认 在系统模拟中，所建立的模拟模型能否代表真实系统，是决定模拟研究成败的关键。按照同一的标准对模拟模型的代表性衡量,这就是模拟模型的确认.目前常用的是三步确认法：第一步由熟知该系统的专家对模型做直观和有内涵的分析评价;第二步是对模型的假设、输入数据的分布进行必要的统计检查；第三步是对模型作调试运行，观察初步模拟结果与估计的结果是否相近。以及改变主要输入变量的数值时模拟输出的变化趋势是否合理。通过以上三个步骤，一般可以

13、认为该模型已经得到了确认。然而，由于模拟模型确认的理论和方法目前尚未达到完善的程度，仍有可能出现不同模拟模型都能得到确认的情况。因此改进模拟模型的确认方法，使之更趋于定量化，仍然是系统模拟技术研究中的一项重要课题。5） 模型的编程实现与验证 在建立模拟模型之后，就需要选用模拟语言编制相应的模拟程序，以便在计算机上作模拟运行试验。为了使模拟能够模仿模拟模型的运行特征，必须使模拟程序与模拟模型在内部逻辑关系和数学关系方面具有高度的一致性，使模拟程序的运行结果能精确地代表模拟模型应当具有的性能。通常这种一致性由模拟语言自编程和建模的对应性中得到保证。但是，在模拟规模较大或内部关系比较复杂时，仍需对模

14、型与程序之间的一致性进行验证。通常均采用程序分块调试和整体程序运行的方法来验证模拟程序的合理性，也可采用对局部模块进行分析计算与模拟结果进行对比的方法来验证模拟程序的正确性。6）模拟试验设计 在进行正式模拟运行之前，一般均应进行模拟试验框架设计，也就是确定模拟试验的方案。这个试验框架与多种因素有关，如建模模拟目的、计算机性能以及结果处理需求等。通常，模拟试验设计包括模拟时间区间、精度要求、输入输出方式、控制参数的方案及变化范围等。7）模型的模拟运行 经过确认和验证模型，就可以在试验框架指导下在计算机上进行计算。在运行过程中，可以了解模型对各种不同输入及各种不同模拟方案的输出响应情况，通过获得的

15、所需试验结果和数据，掌握系统的变化规律。8）模拟结果的输出与分析 对模拟模型进行多次独立重复运行可以得到一系列的相应输出和系统性能参数的均值、标准偏差、最大和最小数值及其他分布参数等。但是，这些参数仅是对所研究系统作模拟实验的一个样本，要估计系统的总体分布参数及其特征，还需要在模拟输出样本的基础上进行必要的统计推断。通常，用于对模拟输出进行统计推断的方法有：对均值和方差的点估计；满足一定置信水平的置信区间估计；模拟输出的相关分析；模拟精度与重复模拟运行次数的关系以及模拟输出相应的方差衰减技术等。以上所述是系统模拟的原则性步骤，在实际管理系统模拟研究时，这几个步骤紧密相连，对不同的管理问题和模拟

16、方法，也不是一成不变的。从问题定义开始，通过建立模拟模型、收集数据、完成模型确认、模拟编程实验和验证，在模拟实验设计的基础上，重复模拟模型运行，并对模拟结果进行统计分析和统计推断，直到为决策部门和决策人员提供满意的方案为止的全过程是一个辩证的过程、迭代的过程。2 蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟是一种特殊而应用广泛的计算机模拟方法，它是充分利用计算机计算能力的随机实验方法。下面我们通过一个简单的例子说明该方法的基本原理。 某消防部门现有三辆消防车，需要决定是否应该增配消防车。假定是否增配消防车主要依据经济因素来决定，其他假设条件如下: *现有三辆消防车。 *一辆消防车可以而且只能同时处理1起火警。

17、 *无论是否出警，一辆消防车一天运行费用为500元。 *如果出现一起火警而没有消防车到场，则损失2000元。 现有过去200天的火警记录，其中200天没有火警的有20天，一天只出现1起火警的有30天，同时出现2起火警的有70天，依次类推。根据频率可以列出事件的发生概率（见表1）。表1 过去200天的火警记录同时出现火警数/天频率（天）发生概率0200.11300.152700.353400.24300.125100.05 如果某一天同时发生火警的最大数为X，当X3时，总费用为1500元；当X3时，总费用为1500+2000（X-3）元。 现假设增加1辆消防车，即有4辆消防车，当X4时，总费用为

18、4*5002000元；当X4时，总费用为2000+2000（X-4）元。 于是我们考虑未来20天的情况。首先需要模拟未来20天每天可能发生火警的最大数。采用如表10-2所示的随机数表，进行手工模拟。在随机数表中，我们选择第一列数的前2位，那么这个随机数就表示X可能出现的情况。根据表10-1的出现概率以及累积概率，当随机数取0009时表示同时发生火警数为0起，当随机数取1024时，表示同时发生火警为1起，因为此时累积概率为25；依此类推，结果如表10-3所示。根据上述情况，我们可以模拟这20天的火警情况，并计算有3辆或4辆消防车分别带来的损失，全部结果如表10-4所示。由分析结果看出，增加1辆消

19、防车在20天内可以节省4000元。表2 积累概率与随机数X概率积累概率随机数00.10.1000910.150.25102420.350.6255930.20.8607940.150.95809450.0519599表3 模拟结果天随机数X费用（元）3辆消防车4辆消防车110115002000237215002000380150020004995550040005121150020006663150020007312150020008854350020009633150020001073315002000119855500400012111150020001383435002000148843

20、500200015995550040001665315002000178043500200018743150020001969315002000209015002000费用合计5000046000 注意，这里的随机数是在假设每天可能同时发生火警的最大数服从均匀分布，因此用了一个10 000的均匀分布。在实际问题的处理中，随机数的产生可以通过专门的计算机程序和算法来产生。另外，我们在此只做了一次模拟，而在实际问题中，要复杂得多，通常可以借助计算机进行大量的实验，最后求得问题平均解值。 3 排队模型（1）排队系统基本概念 排队对我们来说是最熟悉不过的了，在购买火车票的时候、在医院看病的时候、在超市

21、出口等待付款的时候、在银行取钱的时候，以及其他许许多多的场合，我们都需要排队等候。 然而并非所有的排队只涉及个人，也许有若干项工作排队等候机器来处理。我们称任何等待一项服务的人或事物为顾客，称提供这项服务的人和事情为服务台。因此，当顾客的数量超过了服务台的容量时，也就是说到达的顾客不能立即得到服务时，就形成了排队现象。表4就是一些典型的排队的例子。 表4 典型的排队例子到达的顾客服务内容服务台在公路收费站排队的车辆收费收费车道病人看病医生到达机场上空的飞机降落跑道不能运转的机器修理修理工人到达港口的货船装货（卸货）装卸码头或泊位客户法律咨询法律咨询人员进入我方阵地的敌机我方防空火力射击我方高炮

22、或防空导弹汽车驾驶员执照年审换新管理部门年审办事员需加油车辆加油加油站的加油机从排队的概念以及构成排队的几个要素来看，排队可以有多种形式：可以是单个服务台、单个队列。可以是多个服务台、单个队列。多个服务台可以串连，也可以并联。顾客到来也许是随机的，也许是按照某种系统的方式有规律的到来。顾客可能是一个一个到来，也可能是成批到来。服务事件也许是恒定的，也许是可变的。顾客接受服务的顺序也许与到来的顺序一致，即“先到先服务”，一些与到来顺序不一致，如紧急情况，也就是“插队”。 要讨论排队服务的质量，我们通常用顾客需要等待的时间进行评判。影响一个队列的长度称为队长取决于三个因素：一是顾客到达的速度；二是

23、顾客接受服务的时间；三是服务台的数量。 如果服务台的个数足够多，等候排队的队伍就不会太长，但服务台的成本就比较高；如果服务台比较少，成本相对比较低，但顾客等待时间可能会比较长，队长会影响服务质量。因此，我们需要在各方面之间找到一种平衡，也就是成本和服务质量之间进行权衡，使方方面面都能接受。 （2） 单服务台排队模型最简单的排队问题只有一个服务台为一个队列顾客提供服务的排队。称这类问题为单服务台排队问题，下面建立单服务台排队模型。并假设：一个服务台。一队顾客。顾客随机到达。服务顺序为“先到先服务”。系统可以到达稳定状态。对于队列中的顾客数量没有限制。对于接受服务的顾客数量没有限制。所有到来的顾客

24、都等待服务。 1）顾客到达。假设顾客到达服从泊松随机分布。因此，在单位时间内顾客到达的平均人数为，在单位时间内有个顾客到达的概率可以根据泊松分布求出。- 式中为到达的顾客数目；为平均到达的顾客数目；为自然对数的底（2.71828）。2） 随机服务时间。顾客接受服务的时间是随机的，但它是连续变量。我们可以用负指数分布来描述。如果服务速度的均值，即单位时间内接受服务的顾客数为，那么，服务时间不超过某一时间的概率为： -所以服务到时间没有完成的概率为：-3） 排队队列的运行特征。显然，如果平均到达速度大于平均服务速度，系统永远不会达到一个稳定状态。到来的顾客总比接受服务后离开的顾客多，队会越排越长。

25、但我们的分析研究必须假定系统能达到一种稳定，也就是说要满足。通常把符合上述到达（服从泊分布）和服务（服从负指数分布）规律的单服务台排队问题称为M/M/1模型 。在系统中没有顾客的概率，也就是服务台空闲的概率为：-有个顾客在系统中的概率为：-因此。可以计算系统中顾客的平均数：-平均排队人数= 等于平均的系统人数- 平均的正在接受服务的人数：-顾客在系统中花费的平均时间为：-平均排队时间=平均在系统中的时间-平均服务时间：-例1 假设到某银行取款机取钱的人随机到来，且服从泊松分布，平均为每小时30人。如果取款机的服务时间平均每人需0.5分钟，取款机前会排多长的队？如果平均服务时间为1.0分钟、1.

26、5分钟或2分钟，情况会怎样？顾客平均在系统中花费多少时间？解 平均到达速度（人/小时），平均服务速度为（人/小时）。于是，平均排队人数为：平均排队时间为：（小时）=0.18分钟如果平均服务时间为1分钟或1.5分钟，相应的平均服务速度为60人和40人（每小时），满足。于是带入式和式，得到（小时）或1.02分钟（小时）或4.5分钟如果平均服务时间延长到2分钟，平均服务速度为 。这时，不满足，所以，系统将不能自动达到稳定状态，排队会越来越长。按式和式，可以分别计算系统中的顾客数以及顾客在系统中平均花费的时间。 若，则（小时）=0.66（分钟）若，则（小时）=2（分钟）若，则（小时）=6（分钟）（3）

27、 多服务台排队模型 如果顾客平均到达速度大于平均服务速度，或者如果排队过长，我们可以通过增加服务台改进服务。考虑1队顾客接受N个并联服务台服务的情况，在银行、加油站、收费站等处都是这种情况。这里我们把多列简化成单个队列，每当一个服务台空闲时，它就为下一个顾客提供服务。当顾客到达和接受服务服从与M/M/1模型同样的规律时，多服务台排队模型称为M/M/N模型，如当服务台个数为3时，称为M/M/3模型。同样，我们假定：N个完全相同的服务台并联工作。只有1队顾客。顾客随机到达。随机的服务时间长度。服务顺序为“先到先服务”。系统可以到达稳定状态。对于队列中的顾客数量没有限制。对于接受服务的顾客数量没有限

28、制。 所有到来的顾客都等待服务。 如果每个服务台的速度均为，那么我们必须保证,使系统可以达到稳定状态。下面，我们不加推导，给出有关计算公式。所有个服务台都空闲，也就是在系统中没有顾客的概率为： -有个顾客在系统中的概率为：当时，-当时， -平均排队等候的人数为：-平均在系统中顾客数量为：-平均每个顾客的排队等候时间为：-平均每个顾客在系统中的时间为：-例2 在一个信息咨询中心，顾客随机到来，平均每小25人。该中心有3个接待人员，每个顾客的平均咨询时间为6分钟，也就是每个接待人员每小时可以为10个顾客提供服务。试求解这一排队问题的有关特征。解 平均到达速度，平均服务速度为每个服务台，。这是一个M

29、/M/3排队问题。所以3个接待员都空闲，即系统中没有顾客的概率为：在系统中有个顾客的概率为：当时，当时, 排队等候的平均人数为：在系统中平均顾客数为：平均每个顾客的排队时间为：（小时）=8.4（分钟）平均每个顾客在系统中的时间为：（小时）=14.4（分钟）四、 排队系统模拟以上我们介绍了可以通过分析的方法，运用复杂的数学公式来求解排队问题。但在很多情况下，顾客的到来以及接受服务的时间和方式更加复杂，例如多队列、服务台并联、服务台串连等，这时运用解析计算就很难了。另外，有时顾客的到来以及接受服务的时间不一定服从泊松分布和负指数分布，即很可能从获得的历史统计数据和实验数据很难准确的得到某种典型的统

30、计分布，这时解析算就无能为力了。模拟的方法在这种情况下可以提供分析和研究问题的有效途径。 随机离散事件是一系列按时序随机发生的具体事件，它们只能在离散的可数时刻上发生，这些时间一旦出现，将使系统中一个或若干个状态变量发生瞬间变化。由于这些事件的发生具有离散性和随机性，因此称为随机离散事件。 不论对于公共管理还是企业管理，离散事件模拟在现代科学管理中已经成为一种重要的定量分析方法。但它的应用所设计的理论方法较多，技术较为复杂，因此我们下面仅以某银行的服务窗口为例，说明随机离散事件模拟系统的基本概念。 设顾客按泊松流随机到达，即顾客的到达时间为负指数分布。出纳员对每位顾客的服务时间随顾客要求的服务

31、内容的不同而异，根据统计，服务时间也呈负指数分布。顾客到达时，若服务员正忙，则在队列中等候，服务完毕后顾客即离开系统。表106给出顾客到达流和服务时间。 利用此表可以进行手工模拟。设系统状态为银行中的顾客数、正在对列中的排队等候的顾客数和出纳员的忙闲状态。每当一个顾客到达和离开银行，系统的状态就会发生变化，如银行中顾客数或队列长度增一或减一，出纳员由闲变忙或由忙变闲等。此系统共有两类事件，即闲和忙。其模拟过程如表6所示。表6银行服务系统的到达流和服务时间顾客号到达时刻*(min)到达间隔时间（min)服务时间（min)13.23.23.8210.97.73.5313.22.34.2414.81

32、.63.1517.72.92.4619.82.14.3721.51.72.7826.34.82.1932.15.72.51036.64.53.4 在此模拟实验中，采用“面向事件”的模拟时钟，时钟时间表示每一事件发生的时刻，在每一事件发生后，模拟时钟立即推进到该事件时间，并且记录系统的状态和统计系统的参数，即队列中人数、系统中人数、服务状态及忙期、闲期、服务台利用率等。 在满足模拟终止条件时，如8小时营业时间和被服务顾客人数达到规定值时，模拟过程终止。在本例中，模拟终止条件规定为被服务顾客人数到达10人时模拟终止，并输出模拟统计数据，如下表所示。顾客（1）到达时刻（2）开始服务时间（3）离开时间（4）在队列中的时间在银行中逗留时间（5）（3）（2）（