最短距离问题将军饮马

1、、线段和、差牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成两点之间线段最短问题 ”在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的 效果。原题：如图，一位小牧童，从 A 地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短?延伸一：某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个分支线路，分支点为 M，同时向新落 成的 A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区 A、B 分别到主干线的距离 AA 仁 2 千米, BB1=1 千米，且A1B1=4

2、千米。（1） 如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点 M 在什么地 方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2） 如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点 M 在什么地 方时总路线最短？此时分支点M 与 A1 的距离是多少千米？第一讲转化思想x延伸二：如图，正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上，且 DM=2 , N 是 AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？OO 的半径为 1，求 AP+BP 的最小值。延伸四：如图所示，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，/DAB=600 , E 为 AB 的中点，F

3、是 AC 上一动点，则 EF+BF 的最小值是多少？延伸五： 在直角坐标系 XOY 中 x 轴上的动点 M (x,0)到定点 P (5, 5), Q (2, 1)的距离分别为 MP 和 MQ,那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标 x=?延伸三：如图，A 是半圆上一个三等分点,B 是弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点,例，如图，在梯形 ABCD 中，AB II CD，/ A +ZB = 90, E、F 分别是 AB、CD 的中 点，求证 EF =1(AB CD)2二、面积问题例，如图，ABC中，BC = 4,AC2j3,ACB 60，P 为 BC 上一点，过点P 作 PD/

4、AB，交 AC 于 D。连结 AP，问点 P 在 BC 上何处时，APD 面积最大？x、中考题 如图，已知RtAABC,D1是斜边AB的中点，过Dj作D1E1丄AC于Ei,连结BE1交CD1于D2;过D2作D2E2丄AC于E2， 连结BE2交CDi于D3;过D3作D3E3丄AC于E3， , 如此继续，可以依次得到点D4,D5，Dn,分别记BD1E1?ABD2E2,ABD3E3,，BDnEn的面积为S1,S2,S3，Sn则Sn=_SAABC（用含n的代数式表示）EiE2E3.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 0A 在 y 轴的正半轴上，0C 在 x 的正半轴上，0A=2, 0C=3

5、,过原点 0 作/AOC 的平分线交 AB 与点 D,连接 DC过点 D 作DE 丄 DC 交 0A 与点 E.1求过点 E,D,C 的抛物线的解析式.2将/ DEC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另 一边与线段 0C 交于点 G.如果 DF 与第（1）题中的抛物线交于另一点M, 点M的横坐标为 6/5,那么 EF=2G0 是否成立？请说明理由.3对于第（2）题中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使 得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C, G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.BD

6、如图，在 ABD 和厶 ACE 中，AB=AD , AC=AE，/ BAD= / CAE，连结 BC、 DE相交于点 F，BC 与 AD 相交于点 G(1) 试判断线段 BC、DE 的数量关系，并说明理由(2) 如果/ ABC= / CBD，那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗？为什 么？如图 10,四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接M , CG 与 AD 相交于点 N.求证：(1) AE CG ;(2) AN ?DN CN ?MN.AE、CGAE 与 CG 相交于点GF如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分 别交 AC, CD 于点P,Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外);(2)求BP: PQ:QR.k如图，已知反比例函数y的图象与一次函数y k2x b的图象交于A、B