2020八年级下册数学全册教案

1、1 第十六章二次根式 教材内容 1 本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式. 2. 本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数、 第十八章勾股定理及其 应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标 1. 知识与技能 （1） 理解二次根式的概念. （2） 理解 一 a （a0）是一个非负数，（.a ） 2=a （a0）, a2 =a （a 0）. （3）掌握.a . b = ab （ a 0, b 0）, . ab = . a 、. b ； （4） 了解最简二次根式的概念并灵活运用

2、它们对二次根式进行加减. 2. 过程与方法 （1） 先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内 涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简. （2） 用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定， ？并运用 规定进行计算. （3） 利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简. （4） 通过分析前面的计算和化简结果， 抓住它们的共同特点，？给出最简二次根式的概 念.利用最简二次根式的概念， 来对相同的二次根式进行合并， 达到对二次根式进行计算和 化简的目的. 3. 情感、态度与价值观 通过本单元

3、的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神， 经过探索二 次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点 1. 二次根式 a （a0）的内涵. a （a0） 是- 一个非负数；（ a ）2= a （a0）； -.a2 =a （a0） ?及其运用. 2. 二次根式乘除法的规定及其运用. 3. 最简二次根式的概念. 4. 二次根式的加减运算. 教学难点 1 .对a （a0） 是- 一个非负数的理解；对等式（ ） 2 = a （a0）及寸a =a （a0） 的理解及应用. a _a b=.b （a0, b0） （a0, b0）, 2 2二次根式的乘法

4、、除法的条件限制. 3 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式. 教学关键 1. 潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点. 2. 培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力， ？培养学生一丝不苟 的科学精神. 单元课时划分 本单元教学时间约需 11课时，具体分配如下： 21 . 1 二次根式 3课时 21 . 2二次根式的乘法 3课时 21 . 3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时 16. 1 二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能：1、理解二次根式的概念，并利用 .,a (a 0 )的

5、意义解答具体题目. 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 过程与方法：经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程， 发展学生的 归纳概括能力。 情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和 创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。 教学重难点 1.重点：形如.a (a 0)的式子叫做二次根式的概念； 2.难点：利用“ .a (a0)”解决具体问题. 教学方法：讲解一一小组合作 教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题： 3 问题1：已知反比例函数 y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相

6、等的点的坐标 x 是 _ . 问题2 :如图，在直角三角形 ABC中，AC=3 , BC=1，/ C=90 ，那么 AB边的长是3 问题3:甲射击6次，各次击中的环数如下： 8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方 差是S2,那么S= _ . 老师点评： 问题1横、纵坐标相等，即 x=y，所以x2=3 .因为点在第一象限，所以 x= J3，所以 所求点的坐标（、3 , -,3 ） 问题2:由勾股定理得AB= 10 、探索新知 的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如 次根式，“ ”称为二次根号. （学生活动）议一议： 1. -1有算术平方根吗？ 2. 0的算术平方根是多少？ 3

7、. 当a0, y?0)问题3:由方差的概念得 很明显.3、. 10 像这样一些正数的算术平方根 .a （a 0） ?的式子叫做二 .2、3 3、-、 、x (x0 )、 x 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 ”；第二，被开方数是正数 或0. 解：二次根式有: 0、八 2、x y （x 0, y0）;不是二次 都是一些正数的算术平方根. 4 根式的有：3 3、1、42、一 x x y 例2 当x是多少时，：3x 1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知， 被开方数一定要大于或等于 0,所以3x-1 才能有意义. 1 解：由 3x-1 0,得：x - 3 当x1时，在实数范

8、围内有意义. 3 三、 巩固练习 教材P3练习1、2、3. 四、 应用拓展 _ 1 例3.当x是多少时， 2x 3 + 在实数范围内有意义？ x 1 _ 1 . 分析：要使、2x 3 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 2x x 1 1 中的x+1工0. x 1 2x 3 0 解：依题意，得 x 1 0 由得：x - 2 由得：x工-1 当x-3且XM -1时，、2x 3+在实数范围内有意义. 2 x 1 例4（1）已知y= 丁2 x + . x 2 +5，求的值.（答案：2） y 若a 1 + 乙 b 1 =0，求 a2004+b2004 的值.（答案：-） 5 五、 归纳小结（学生活动，

9、老师点评） 本节课要掌握： 1. 形如.a （ a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 2. 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 六、 布置作业 1. P5复习巩固1、综合应用5. 3中的0和 5 2课后作业：同步训练 教学反思： 16.1 二次根式（2） 第二课时 教学内容 1. . a （a 0）是一个非负数； 2a ） 2=a （a 0）. 教学目标 知识与技能：1、理解,a（a0） 是一个非负数和（乜a ） 2=a （a0），并利用它们进 行计算和化简. 2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 ,a （a 0）是一个非负数，用 具体数据结合算

10、术平方根的意义导出（ -a ） 2=a （ a 0）;最后运用结论严谨解题. 过程与方法：1、在明确（.a） 2=a （ a 0 ）的算理的过程中，感受数学的实用性； 2、 课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识。 情感态度与价值观： 通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解 决问题的能力。 教学重难点 1.重点：.a （a 0） 是一个非负数；（Va ） 2=a （a 0）及其运用. 2难点、：用分类思想的方法导出-.a （a0）是一个非负数；？用探究的方法导出（. a ） 2=a （a 0）. 教学方法：讲解一一练习法 教学准备：多媒体课件 教学过程 一、 复习引入

11、（学生活动）口答 1. 什么叫二次根式？ 2 .当a 0时，.a叫什么？当 a 0） 是一 -个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 6 ya （a0）是一个非负数. 做一做：根据算术平方根的意义填空： （*4） 2= _ ；（2 ） 2= _ ；（9） 2= _ ；（寸3 ） 2= _ ；7 老师点评：.4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义, 非负数，因此有（4 ） 2=4. 2=0,所以 (需)2=a (a 0) 例1计算 ( g ) 2 2. ( 3詬)2 3.( ) 2 4.(f ) 2 分析：我们可以直接利用(.a ) 2=a (a 0)的结论解题. 解：

12、(、3 ) 2 =3 , ( 3、5 ) 2 =32(5 ) 2=32 5=45, Y2 2 三、巩固练习 计算下列各式的值: (3、.5)2 (5 . 3)2 四、应用拓展 计算 所以上面的4题都可以运用（.a ） 2=a （a0）的重要结论解题. 解：（1）因为x0,所以x+10 X 1) 2=X+1 (2) v a20,二(Ja2 ) 2=a2 (3) T a2+2a+1= (a+1) 2 又( a+1) 2 0, a2+2a+1 0 , . _2a =a2+2a+1 (.0) 2= _ a20; 分析：(1)因为x 0，所以x+10; ( 2) (4) 4X2-12X+9= (2x)

13、2-2 2x 3+32= (2x-3) 20. (3) a2+2a+仁 (a+1) 0; 4是一个平方等于4的 同理可得: (-2)2=2，(9)2=9，(-3)2=3，(i3)2冷， (.18) 2 -2)2 (-9 ) 4 （0） 1. 2. ( 、a2 ) 2 3. (.a2 2a 1) 2 17 2 8 (4) T 4X2-12X+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3) 又( 2X-3 ) 2 0 - 4X2-12X+9 0,.( . 4X2 12X 9 ) 2=4X2-12X+9 例3在实数范围内分解下列因式： (1) X2-3 (2) X4-4 (3) 2X2-3

14、分析:(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1 . - .； a (a0)是- -个非负数； 2 (二 a ) =a (a0) ;反之:a= (、. a 1) 2 (a 0) 六、布置作业 1教材P5复习巩固2. (1)、( 2) P6 7. 3课后作业：基础训练 教学反思： 16.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a2 = a (a 0) 教学目标 知识与技能：1、理解. a2 =a (a0)并利用它进行计算和化简. 2、通过具体数据的解答，探究 .a2 =a (a 0),并利用这个结论解决具体问题. 过程与方法：课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识，提高竞争意识。 情感态度与

15、价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解 决问题的能力。 教学重难点关键 1重点： 7 = a (a0). 2. 难点：探究结论. 教学方法：练习法 教学准备：多媒体课件9 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容; (老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到: 例1化简 分析：因为(1) 9=-32,( 2 )(-4) 2=42,( 3) 25=52 , (4)( -3) 2=32，所以都可运用 孑 =a (a0) ?去化简. 解：(1) . 9 = , 32 =3 (2) ( 4)2 = . 42 =4 (3) 、25 = 52 =5 (4)

16、( 3)2 =，32 =3 三、 巩固练习 教材P5练习2. 1. 形如.a ( a0)的式子叫做二次根式; 2. .a (a0)是一3. (-a )2= a (a0). 那么，我们猜想当a 0时, - a2 =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题. :、探究新知 (学生活动)填空: ；.0.012 = 因此，一般地: a =a (a0) (1) .9 (2) .,( 4) (3) 25 (4) .(3)2 (2)2 (7)2= 一 22 =2; .0.012 =0.01; 2 ； 10 四、 应用拓展 例2填空：当a0时， 言=_ _ ;当aa，则a可以是什么数？ 分析： .a2=a (

17、a 0),二要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行， 应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当 aw 0时， a =.( a)2，那么-a 0. (1) 根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析， 逆向思想；(3)根据(1)、( 2) 可知.a2 = | a|,而|a |要大于a,只有什么时候才能保证呢？ a 0; (2) 因为.a2 =-a，所以 aw 0； (3) 因为当a 0时 .a2 =a,要使 a，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa , a0 综上，a2，化简.厂2)2 -、(厂2x)2 . 分析：(略) 五、 归纳小结 本节课应掌握：.孑=a ( a0)及其运用

18、，同时理解当 a 0, b 0),反之ab = . a 、 b (a 0, b 0)及其运用. 教学目标 知识与技能：1、理解 I a . b = ab (a 0, b 0), 、ab =、. a 、b ( a 0, b 0),并利用它们进行计算和化简 2、由具体数据，发现规律，导出 為、b = .ab (a 0, b0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出 ab- a b (a0, b0)并运用它12 进行解题和化简. 过程与方法：1、经历“探索 一一发现一一猜想一一验证”的过程引导学生体会合情推 理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系； 2、培养学生用规范的数学语言进行表达 的习惯和能

19、力。 情感态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动， 激发学生的好奇心和求知欲， 体验数 学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。 教学重难点 重点：.a ,b = -. ab (a 0, b 0), 、ab = , a ,b (a 0, b 0 )及它们的运用. 难点：发现规律，导出 a b = . ab (a 0, b 0). 教学方法：探索一一发现一一应用 教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下列各题. 1. 填空 (1) 14 x 、或=”填空. .4 x、.9_ .4 9 , .16 x . 25 _ 、16 25, 一 100 x , 36 _ .

20、100 36 2. 利用计算器计算填空 (1)、2 x 3 6 , (2) 、2 x . 5 帀, (3)、-5 x , 6 30 , (4) 4 x、,5 42, (5) ,7 x .10 A/70 老师点评(纠正学生练习中的错误) 二、探索新知 (学生活动)让3、4个同学上台总结规律. 老师点评：(1)被开方数都是正数； (2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式， ？并且把这两个二次根式中的数相乘， 作 为等号另一边二次根式中的被开方数. 一般地，对二次根式的乘法规定为 4a = 0, b 0) 、ab =、, a . b (a 0, b 0)反过来： 13 例1 计算 (1) (2) ,

21、 x . 9 ( 3)、9 x 27 (4) 2x 6 分析: 直接利用.a ,b = . ab (a0, b0)计算即可. 解：（ 1 x ,9=.9= .3 (3) 、9 x 27= ,9 27 92 3 (4) ；x 6=：2 6= 3 化简 (1) ,76 (3) . 81 100 (4) ,9x2 y2 (5) .54 分析: 利用.ab = . a 、.b ( a0, b0)直接化简即可. 解：(1) 9 16= , 9 x . 16 =3 x 4=12 (2) .16 81=、,16 x .81 =4x 9=36 (3) 781 100 81 x 、100 =9 x 10=90

22、(4) 9x2y2 = “32 x . x2y2 = .32 x , x2 x . y2 =3xy (5) . 54 = ：/9 6 = . 32 x . 6 =3 . 6 三、 巩固练习 (1)计算(学生练习，老师点评) .16 x 8 3 一6 x 2 .10 5a 化简：,20; .18; .24; . 54; 12a2b2 教材P8练习全部 四、 应用拓展 例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1) , (4) (9) 4 9 14 解：(1 )不正确. 改正： (4) ( 9) = . 4 9 = -, 4 x ,9=2 x 3=6 五、归纳小结 本节课应掌握：(1)

23、a b = . ab = (a 0, b 0), . ab =、a . b (a 0, b 0)及其运用. 六、布置作业 1.课本 P12 1 , 4, 5, 6.( 1)( 2) 教学反思： 16 . 2 二次根式的乘除 第二课时 教学内容 行运算. 2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写 出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 过程与方法：1、发展有条理的思考和语言表达能力。 2、培养化归的数学思想。 情感态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学 习数学的信心和兴趣。 (2) 412 X /25 =4 x 25 x . 25

24、 =4 x . 25 =4、12=8 .、3 (2)不正确. 改正： 需 X 25=21； 25112=*7 = 4、7 (a0, b0)及利用它们进行计算和化简. 知识与技能: 教学重难点 教学目标 1、 (a 0, b0)及利用它们进 1 .重点：理解 b0 )及 15 利用它们进行计算和化简.16 2.难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定. 教学方法：引导一一探索一一发现 教学准备：多媒体课件 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式. 2.填空 3利用计算器计算填空： 3 2 0) 3 ；爷 根据大家的练习和回答，我 17 F面

25、我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例 1.计算：(1) 12 (2) 1 /、 1 1 、 ( 3 ): J 2 , 8 4 -1 (4) (a0, b0)便可直接得出答案. 、64 .8 (2) =.4=2 分析：上面4小题利用寻器 解：(1) 12 分析: (3) 直接利用 9x 64y2 (4) 5x 169y2 i a =，a (a 0, b0)就可以达到化简之目的. 巾,b 解：(1) 3 = 3 64 V64 8 (2) 64b2 = J64b2 9 a2 .9a2 8b 3a 三、 巩固练习 教材P11练习1. 四、 应用拓展 例3.已知 9_x，且x为偶数，求(1+x)

26、、x 6 x2 5x 4 ；x2 1 的值. 18 分析：式子a = a，只有a0, b0时才能成立. V b vb 因此得到9-x 0且x-6 0,即6xW 9，又因为x为偶数，所以x=8 . / 6x 0, b0)和a = a (a 0, b0)及其运用. b Hb b Jb 六、 布置作业 1.教材 P12 习题 21. 2 2、7、8、9. 2课后作业：基础训练 教学反思： 16.2 二次根式的乘除(3) 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算. 教学目标 知识与技能：理解最简二次根式的概念， 并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次 根式

27、. 过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念， 并根据它的特点来 检验最后结果是否满足最简二次根式的要求. 情感态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学 习数学的信心和兴趣。解：由题意得 9x0，即 x 9 x 6 0 x 6 原式=(1+x) (x 4)(x 1) (x 1)(x 1) =(1+x) X4 :x 1 19 重难点 1 重点：最简二次根式的运用. 2 难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式. 教学方法：练习法 教学准备：多媒体课件 教学过程 、复习引入 （学生活动） 请同学们完成下列各题 （请三位同学上台板书） 计算（1） 老

28、师点评：上15 , 3、；2=、6，丄8 =2、_；a 、百 5 J27 3 42 a 2 现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 们的传播半径的比是 _ 它们的比是J_2Rh1 2Rh2 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的 二次根式有如下两个特点: 1 被开方数不含分母； 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式. 学生分组讨论，推荐 34个人到黑板上板书. 老师点评：不是. 例仁(1) 3十5 ; Jx2y4x4y2 ;

29、V8x2y3 例 2.如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=2.5cm, BC=6cm 求 AB的长. 解：因为 AB 2=AC 2+BC2 h1km, h2km, ?那么它 20 因此AB的长为6.5cm 36 .169 .4 13 =6.5 (cm) 所以 AB= .2.52 62 21 三、 巩固练习 教材Pii练习2、3 四、 应用拓展 例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式: =1 (庞1) 运1 =匹 2 1 ( . 2 1)(、. 2 1) 2 1 i = i妬 运迈卞耳 3 . 2 ( ；3 .2)( .3 . 2) 3 2 、 同理

30、可得： 齿打， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此， 分母有理化后就可以 达到化简的目的. =(,2002 -1 )( . 2002 +1) =2002-仁2001 五、 归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用. 六、 布置作业 1 .教材 P12 习题 21. 2 3、7、10. 3课后作业：基础训练 教学反思： 16.3 二次根式的加减（1） 第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 知识与技能：理解和掌握二次根式加减的方法. 过程与方法：先提出问题，分析问题， 在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法 的理

31、解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简. 1 ,2002 *2001 (,2002+1)的值. 解：原式=(2-1+ 3 -宀;2 + 4 -才3 +、2002 - .2001 )x( .、2002 +1) 22 情感态度与价值观： 体会合作学习的先进性。 重难点关键 1 .重点：二次根式化简为最简根式. 2 .难点关键：会判定是否是最简二次根式. 教学准备：多媒体课件 教学方法：情境导入，归纳应用。 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式. (1) 2x+3x; (2) 2X2-3X2+5X2 ; ( 3) x+2x+3y ; (4) 3a2-2a 2+a3 教师点评：上面题目的结

32、果， 母不变，系数相加减. 二、探索新知 学生活动：计算下列各式. 实际上是我们以前所学的同类项合并. 同类项合并就是字 (1) 2.2+3,2 (2) 2 . 8-38+5.8 (3) 7+2,7 +3 9 7 (4) 3 . 3-2 ,3,2 老师点评： (1) 如果我们把 2当成x,不就转化为上面的问题吗？ 2 .2+3. 2=(2+3)., 2=5 .2 (2) 把,8当成y; 2 8-3 .8+5,8= (2-3+5 )、一 8 =4、8 =8 2 (3) 把,7当成z; 一7+2、7 + .9 -.7 =2 、7 +-. 7+3.7= (1+2+3)、7 =6 . 7 (4) ,3

33、看为x, 2看为y. 3 ”3-2 3 + -, 2 = (3-2 ) .,3 + ：2 = .3 + , 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的， 如2 2与、8表面上看是不相同的， 但 23 它们可以合并吗？可以的. (板书)3 - 2 + . 8 =3 , 2 +2 2 =5、224 3 -3 + 27 =3 *. ,；3 +3 =6.； 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式, 二次根式进行合并. 例1 计算 (1) .-8+.18 (2) .16x + j64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式； 次根式进行合并. 解：( 1) ,8+,

34、18=2.2+3 2= (2+3) .2=5 .2 (2) 、16x +、, 64x=4 . x+8 x= (4+8), x=12 . x 例2 计算 (1) 3 48 -9 , 1 +3 .-12 (2) ( ,48,20 ) + ( .12- .5 ) 解：(1) 3、矶3、心2小 S3 (12-3+6 ) .3=.3 (2)( .48,20 ) + ( ,12- ,5 ) .48. 20 + .12- ,5 =4 .=：3 +2 匕；5 +2 .”：3 - =6 3 + J5 三、 巩固练习 教材P16练习1、2. 四、 应用拓展 例 3 .已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(

35、彳 xJ9x+y2J3)- (x2 J1-5x )的值. 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得( 2x-1 ) 2+ (y-3 ) 2=0, 1 即x= , y=3 其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， ？再合并同 2 类二次根式，最后代入求值. 解：T 4x2+y 2-4x-6y+10=0 / 4x2-4x+1+y 2-6y+9=0 ( 2x-1 ) 2+ (y-3 ) 2=0 1 Q x= , y=3 2 ?再将被开方数相同的 第二步，将相同的最简二 25 =2x ,X xy-x xy =x 、. x +6. xy 1 当 x= , y=3 时， 2

36、 1 原式=_ x 2 五、 归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二 次根式进行合并. 六、 布置作业 1 .教材 Pi7 习题 21. 3 1、2、3、5. 2课后作业：基训 教学反思： 16.3 二次根式的加减（2） 第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题. 教学目标 知识与技能：运用二次根式、化简解应用题. 过程与方法：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式， 进行合并后解 应用题. 情感态度与价值观：学会和他人分享交流。 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点. 教学准备：

37、多媒体课件。 教学方法：小组合作交流，应用提高。 教学过程 一、 复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先 将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并， 下面我们 讲三道例题以做巩固. 二、 探索新知 例1.如图所示的 Rt ABC中，/ B=90,点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速 度向点A移动；同时， 点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问： 几秒 后厶PBQ的面积为35平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 26 C 分析：设x秒后 PBQ勺面积为35平方厘米，那么

38、PB=x, BQ=2x ?根据三角形面积公 式就可以求出x的值. 解：设x后厶PBQ勺面积为35平方厘米. 则有 PB=x, BQ=2x 1 依题意，得： _ x 2x=35 2 x2=35 x= 35 所以.35秒后 PBQ勺面积为35平方厘米. PQ= .PB2 BQ2 x2 4x2 5x2 5 35 =5 7 答：.35秒后 PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 . 7厘米. 例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）? 分析：此框架是由 AB、BG BD AC组成，所以要求钢架的钢材， ？只需知道这四段的 长度. 解：由勾股定理，得 AB= AD2 BD2

39、 . 42 22 20 =2 .5 BG= . BD2 CD2 22 12=、5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 、5 + 5 +5+2 =3 ,5+7 3X 2.24+7 13.7 ( m)27 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m的钢材. 三、 巩固练习 教材P16练习3 四、 应用拓展 例3 若最简根式3a b4a 3b与根式.2ab2b6b2是同类二次根式，求a、b的值.（? 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后， 被开方数相同；？事实上， 根式.2ab2 b3 6b2不是最简二次根式，因此把,2

40、ab2 b3 6b2化简成 |b| 、2ab6，才由同类二次根式的定义得 3a-?b=?2 , 2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式.2ab2 b3 6b2化为最简二次根式: 2ab2 b3 6b2 =、b2（2a_1一6）=|b| , 2a b 6 2a 4b 6 3a b 2 a=1, b=1 五、 归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题. 六、 布置作业 1 .教材Pi7习题21 3 7 2课后作业：基训 教学反思： 16.3 二次根式的加减（3） 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除； 多项式与单项式相乘、相除；多项式与多 项式相乘、相除

41、；乘法公式的应用. 教学目标 知识与技能：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应 用. 过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、 乘方等 由题意得 4a 3b 2a b 6 3a b 2 28 运算. 情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。 重难点 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算. 教学准备：多媒体课件。 教学方法：练习，小组合作。 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 1 .计算 (1)( 2x+y) zx (2) (2x2y+3xy2)

42、+ xy 2 .计算 (1)( 2x+3y)( 2x-3y ) (2)( 2x+1) 2+ (2x-1 ) 2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现. 它主要有(1 ) ?单项式X单项式； (2) 单项式X多项式；(3)多项式十单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运 用. 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ ？仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， ？当然也 可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1 .计算： (1)( .6+-、8 )X ,3 ( 2)( 4.

43、6-3 2 )- 2；2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， ？所以直接可用整式的运算 规律. 解：(1)( .6 + ._8 )X、.3=.6 X .3 +8 X . 3 =、18+ . 24 =3 2+2,6 解：(4 ,6-3 2 )+ 2、2=4、-6 十2、2-3 .2 十 2.2 =2 . 3 - 3 2 例2 .计算 (1)( ,5+6)( 3- ,5 ) (2)( .10+.7 )( 0）- 7 (2)分母有理化专- 777 (3)看作二次根式的除法土 =亨= 当PQ时，如(厉)，二芋=(酉丁. *二启=(忑此时，妤| 31 弋虧话KD时，疋苛.炉 巳旋几 但

44、 2 无意义，所以頁有齐(口几 此 吋肓y(vi)r 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义: , 厂 - - %/x 十 2 EC)h 分析： (1) 题是两个二次根式的和， x的取值必须使两个二次根式都有意义； (2) 题中，式子的分母不能为零，即环能取 1=0的值? (3) 题是两个二次根式的和， x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4) 题的分子是二次根式， 分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式 有意义，同时使分母的值不等于零. 眸(1)要使士 -靖竜义1必须人BPX 3f要便点-涓意凡必须 即工所以/使式子J3 -:; 有意的为】壬总3 (2) 因为1

45、-石7 = 1-|珈 当“ 1时，国三Q原式没宥覧义,所以当声 1臥 式子一4亏有意艾- 因为使屈有意义的河值为Qo,使7云有意义的诩值加所以便 +4 缶有意义的诂直为花=o (4)因为使+ 2有意义的諏值为E + 20,即Q-乙而分站血和，即舞0,所 以使式子有惫义的邀取值为 x -2 且 XM 0. (1)山_工牛- 2 ； 32 例2己知 g 13为实数，且满足宀9 弋 f +4,求加亠的值 分析；先根据已知条件求出H1与“的值，冉求多项式血-弘的值.二次根式拓 F 与的-1?有惹义的条件分别是ii0及旷1?山从甲求得n的值，从而确定m的值. 解因为n2-9 0, 9-n2 0，且n-3

46、丰0,所以n2=9且n 3,所以 指岀；例1和例2主要复习二次根式的意义，即当Q0时，二次根式亦有意义. 例3 / 4 a. + 4 3 a 1 十 a2 - 4a. * 3 a - 2 Ji -战 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式. 把它们分别 分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐 含条件3-a 0和1-a 0. 解因为1-a 0, 3-a0,所以 av 1, |a -2| = 2-a. (a-1)(a -3)= -(1-a) -(3-a)=(1 -a)(3 -a) 0. a2-4a + 4 1 _ / (a _ 2尸 亠 VT7!

47、 1 aS - + 3 a 2 Jl二* (直 _ $(SL_ 3) a 2 Jj 一 占 J(a_ - 2)， J3- a 1 ,_ - + (a- l)(a- 35 3L-2 Jl - a _ la-21 . A/3 - a 1 她-D3 - 3 a-2 Vl - a 2-a - 3L 1 - a * - a a - 2 计算J 6in 弘=6 X 33 指出；由于二决抿式的基本性虜同耍由曲取值范围确定，即34 而屆応命令 成立的条件是 a 及 s（S bo）,因此在运 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满 足这些条件的. 例心咲点求&T十和胡 问如

48、何确定*+2及-丄的値是正值还是员值了 a 赳 =（75-72）-（73 十忑） Mo. 35 计算 解 J1 十 jt T - x JF十x Ji _其 + Jl + I /十；r-Jl-x Jl + + 小一;tJl + 忑 + Jl (71 十 X + J E XX Jl + X F Jl E X) j亍十X (jl -讦 Vi + x + Vi- x y(i - J)(I + - (TT- 71 + x + X /I - X (Jl + - /1 - x) i + A - 71 + x Vi -忙古 Ji 一 x Ji 十 T 十 口 一 1十工-d) 2 1 2x x 注意: 1.

49、因为第二个式子申的分母7i二？“+详因此详1, 所以在化简过程中， 广 _巧 屮！一 .丨- 2.例沖运用了二次根式的基本性乔阪?b(a0. QO和关系蔬=弟 (a0)进行二次根式的混合运算. 例6 ,wn 卡 2 + JJ -4 n + 2- Ji? T 计算 卩+ r= n + 2 jn _4 n + 2 + jn - 4 分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两 种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整 体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷. 解设a = n + 2 H- Vn3* b = n + 2- -4t 那么 2

50、 2 a+b= 2(n+2) , ab=(n+2) -(n -4) = 4(n+2),1-A r/1 十;T 十 71 - X J1 + H* 1 + 工 1+ A V1 - VI + X3 1 + X 口ri =十 a b (a-Fb)J -2ab Ca + b)J 4(n+2)2 所以原r+訂 二沁 36 若唄属PT与屈是同类最简二次根式，则口二 _ 化简&JJQQ, bQ) = (6)若辺山 bm JHlJ|a|-7bT= _ ab ab 三、课堂练习 i选择题： J(a -矿二2 -弘a的取值范围是 A. a 2 C. a 丰 2 D. av 2 K-2时，J仅+印等于 【 A

51、. x+2 B. -x-2 C. -x+2 D. x-2 (3) 化简念-乩尸十7(x + a)2(0 x a)f于 彳 A. 2x B. 2a C. -2x D. -2a (4) 把很号外面的因式移入很号内叫 J = V m A. 后 B. J- m C- J. m D. -4 若至有意义，则北的取值范園是 K - 5 rr (2)若一-= -1,则d的斯值范围是 a - (习化37 (7)若仪-5|+J2盘十y 十召= 0, Kfl+ y -1 = ; 若lxy 0) = _ ; (10) m-n) J - (nan乩 aC 0)= 9 txi _ n ， - 艮求-,/a - - - 7

52、1-a +200la的fS* 4计算: 1本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻理解并牢固掌握. 2. 在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有 意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母 或式子的取值范围. 3. 运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时， 一定要注意论述每- 个性质中字母的取值范围的条件. 4 通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则 以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问 题. 五、作业：P22,复习题21 教学反

53、思： 17. 1勾股定理（四） 一、 教学目标 1. 会用勾股定理解决较综合的问题。 2. 树立数形结合的思想。 二、 重点、难点 1. 重点：勾股定理的综合应用。 2. 难点：勾股定理的综合应用。 三、 例题的意图分析 例1 （补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结E 38 构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌 握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2, 两对相等锐角，四对互余角，及 30或45特殊角的特殊性质等。 例2 （补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线 求出三角形

54、中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直 角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。 例3 （补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题 通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在 转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运 用，提高解题的综合能力。 例4 （教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无 理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、 课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、 例习题分析 例 1（补充）1.已知：在 Rt AB

55、C 中，/ C=90，CD丄BC 于 D，Z A=60， 求线段AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学 生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双 垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股 定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角，四对 互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图， 并正确标图。 引导学生分析： 欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 BD=3和AD=1。或欲求AB，可 由AB AC2 BC2，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出A

56、C=2 和 BC=6。 例2 （补充）已知：如图， ABC中，AC=4，Z B=45 ，Z A=60。，根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的 ABC不是直角三角形，所以根据 题设只能直接求得Z ACB=75。在学生充分思考和讨 论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得 AD，CD，BD，AB，BC及SMBC。让学生充分讨论还 可以作其它辅助线吗？为什么？ 小结： 可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。 并 指出如何作辅助线? 解略 例3 （补充）已知：如图，Z B= Z D=90 ，Z A A=60，AB=4，CD=2。求:四边形 ABCD 的面积。 分析：如何构

57、造直角三角形是解本题的关键， 可以连 结AC，或延长AB、DC交于F，或延长 AD、BCC A D 39 交于E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为 简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。 解：延长AD、BC交于E。 vZ A= / 60 ,/ B=90 ,AZ E=30。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4, BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE= .48 =.3。 v DE2= CE2-CD2=42-22=12,A DE= . 12 =2 3。 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为 直角三角形的方法，把四边形

58、面积转化为三角形面积之差。 例4 （教材P76页探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点， 进一步体会数轴上的点 与实数对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示-.3 1,2 2的点 六、课堂练习 1. _ ABC 中，AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,则 BC= _ , SABC = _ 2. _ A ABC 中，若Z A=2 Z B=3Z C, AC= 2 3 cm，贝UZ A= _ 度，Z B= _ 度,Z C= _ 度，BC= _ , ABC = _ 。 3. A ABC 中，Z C=90, AB=4 , BC= 2. 3 , CD丄 AB 于 D，贝U A

59、C= _ , CD= _ , BD= _ , AD= _ ,SABC = _ o 4. 已知：如图， ABC 中，AB=26 , BC=25, AC=17 , 求 SA ABC o 课后反思: 17. 2勾股定理的逆定理（一） 一、 教学目标 1. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、 重点、难点 1. 重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 1 S 四边形 ABCD =SABE-SCDE= AB BE-1 CD DE=6 . 3 2 E 40 2. 难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、

60、例题的意图分析41 例1 （补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例2（ P82探究） 通过让学生动手操作， 画好图形后剪下放到一起观察能否 重合， 激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力， 再通过探究理论证 明方法， 使实践上升到理论， 提高学生的理性思维。 例3 （补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角 三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和C2 的值。判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不 是直角三角形。 四、课堂引入 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形? 怎样判定一个三角形是直角