几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44

1、目 录第一章 引言2第二章一阶非齐次线性微分方程3第三章n阶常系数齐次线性微分方程5第四章n阶常系数非齐次线性微分方程71.常数变易法72.待定系数法93.微分算子法134.拉普拉斯变换法18参考文献21致谢21几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解法周园园数学与信息学院数学与应用数学专业2004级 指导教师：李中平摘要：本文主要阐述了求解常系数非齐次线性微分方程的四种方法：常数变易法、待定系数法、微分算子法、拉普拉斯变换法。常数变易法是求解微分方程的一种较为完善的方法，在其发展中起着重要的作用而其也被广泛的应用到了动力系统。当具有某些特殊形状，可用待定系数法和拉普拉斯变换法来求解。它们的特点是不

2、需要通过积分而用代数方法来可求得非齐次线性方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为代数问题来处理,因而比较简便。微分算子法实际上是一种直接灵活运用的公式法。关键字：线性；非齐次；通解；特解；微分算子；拉普拉斯变换Special solution of special categories of non-homogeneous linear differential equations Zhou YuanyuanCollege of Mathematics and Information, Mathematics and Applied Mathematics, Grade 2004, Inst

3、ructor: Li ZhongpingAbstract:This article mainly focuses onfour methods of solving non-homogenous linear differential equation with constant coefficients: method ofvariation of constant; method of undeterminedcoefficient; method ofLaplace transformation and method of differentialoperator.The method

4、ofvariation of constant is more perfectmethodinsolvingdifferential equation.Not only isit plays the vital role in its development, butalsowidely appliedindynamic system. Whenf(t)have some special shapes, we can use the method of undeterminedcoefficient andthe method ofLaplace transformationto solve

5、it. Their characteristic is that it does notneed to use integral but use algebraic method to obtain theparticularsolution of non-homogeneous linear differentialequation.It can convert the problem of solving differential equations to the problem of solving algebra equation, and then becomes simpler.

6、The method of differential operator is actually a kind of formula method used directly and flexibly.Keyword:linear; non-homogenous; general solution; particularsolution; differential operator; Laplace transform第一章 引言微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，它是各种精确自然科学中表达基本定律和各种问题的根本工具之一。换句话说，只要列出了相应的微分方程，并且有了解(数值

7、得或定性地)这种方程的方法，人们就得以预见到在已知条件下这种或那种运动过程将怎样进行或者为了实现人们所希望的某种运动应该怎样设计必要的装置和条件等等，总之，微分方程成为数学联系实际的主要途径之一。早在十七至十八世纪，牛顿采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程是微分方程，他以非凡的积分技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳地运动轨迹是椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁太阳的一种悲观观点。后来，许多著名的数学家，例如伯努里(家族)、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等都遵循历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题，在这些问题中通常都离不开微分方程的求解。其中由拉格朗日提出了常数变

8、易法和拉普拉斯提出了拉普拉斯变换法在求解常系数非齐次线性微分方程发挥了很大的作用。在海王星被实际观测之先，这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的求法推算出来了。十九世纪在天体力学上的主要成就归功于拉格朗日对线性常微分方程的工作。现今不仅专业研究微分方程的数学工作者愈加愈多，而且力学、电子技术、自动控制、星际航行等各个学科或尖端技术领域的研究者也都以它为必要的工具了。另外，现代的(最优)控制理论、微分对策论以及泛函微分方程的基本思想都源于微分方程。既然微分方程在各个领域都用到，那对于怎样求解微分方程也是极其重要的。关于线性微分方程的通解问题从理论上说可以认为已经解决，但是求方程通解的方法没有具体

9、给出。事实上，对于一般的线性方程是没有普遍解决的，但是对于常系数线性方程以及可以转化成这一类的方程的求解是能够彻底解决的。对于某些特殊的非齐次线性方程也可以通过代数运算和微分运算来求解它的通解。振动是日常生活和工作中常见的一种运动形式，例如钟摆的往复摆动，弹簧的振动，乐器中弦线的振动，机床主轴的振动，电路中的电磁振荡等等，振动问题的研究在一定条件下可以归结为常系数线性微分方程的问题来讨论，常系数非齐次线性微分方程也经常出现，因此讨论常系数非齐次线性微分方程的解法也是很有必要的。本文主要讨论了求解常系数非齐次线性方程的四种解法：常数变易法、待定系数法、微分算子法和拉普拉斯变换法。早在十八世纪下半

10、叶，拉格朗日就对求解线性微分方程做出了巨大贡献，提出了常数变易法。当对应的齐次线性微分方程的通解已经求出时，可以把通解中的常数用函数代替，这样就可以求出非齐次线性微分方程的特解，进而求出非齐次线性微分方程的通解。用待定系数法求常系数非齐次线性方程特解的步骤固定，而且求解过程中仅用到代数运算和微分分析运算而不需要通过积分分析运算，因而实际上是一种固定模式法，但因只适合于非齐次是多项式、指数函数、正余函数这些基本初等函数及其乘积的线性组合的情况，因而有一定的局限性。拉普拉斯变换法实质上是把常系数非齐次线性微分方程的初值问题通过对方程施行拉普拉斯变换转化为复变数的代数方程的求解问题，然后再利用拉氏变

11、换或反变换求得相应方程得解。但因并非任意函数都有象函数，而知其也有一定得局限性。用微分算子法求常系数非齐次线性微分方程特解的过程中除了用到了代数运算、微分积分分析外，还用到微分算子多项式，分式运算公式，因而实际上实一种直接灵活运用的公式法。它在用待定系数法求解常系数非齐次线性微分方程特解的基础上扩大了求常系数非齐次线性微分方程特解的范围。总之，不同类型的方程可用不同方法求解的，某些同一类型的方程也可用不同的方法求解，每种方法各有千秋。现在简单介绍全文的内容：第一部分讲解了一阶非齐次线性微分方程的解法，并提出了常数变易法的思想。第二部分简单介绍了阶常系数齐次线性微分方程基本解组的求法。第三部分详

12、细讲解了求解阶常系数非齐次线性微分方程的四种解法：常数变易法，待定系数法，微分算子法、拉普拉斯变换法。第二章一阶非齐次线性微分方程对于特殊的非齐次线性微分方程，我们首先从最简单的一阶非齐次线性方程讨论。（2.1）(2.2） 现在来讨论（2.1）通解的求法，不难看出（2.2）是（2.1）的特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解应该有一定的联系而又有差别。对于（2.2）我们可以用变量分离法（见参考文献1）求得它的通解为（2.3）我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）的通解，显然如果（2.3）中恒为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：在（2.3）中将

13、常数变易为的待定函数，使它满足方程（2.1），从而求出，为此，令（2.4） 微分之，得到 （2.5）以（2.4），（2.5） 代入（2.1）中，得到即 ，积分后得到（2.6）这里是任意常数。将（2.6）代入（2.3）中得到，（2.7）这就是方程（2.1）的通解。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法，以后我们还要用到这种方法。例1 求方程的通解，这里为常数。解 （2.8）首先，求齐线性方程的通解，从得到齐线性方程的通解，其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解。为此，把看成为的待定函数，即， （2.9）微分之，得到。（2.10）以（2.9），（2.10）代入（2.8），得到，积

14、分之，求得。因此，以所求的代入（2.9），即得原方程的通解，这里是任意常数。第三章阶常系数齐次线性微分方程对于阶齐次线性微分方程的通解的结构问题，从理论上可以认为已经解决了，但是求方程的通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性方程是没有普遍的通解，但对于阶常系数齐次线性方程通解的求法，我们是能够彻底解决的。 对于阶常系数齐次线性方程的基本解组的求法，我们可以通过欧拉待定指数函数法（见参考文献1）求得，这里就不推导只给出结论。（3.1）其中为常数。（3.1）的特征方程为（3.2）（3.2）的根就称为特征根。一、特征根是单根的情形设是特征方程(3.2)的个彼此不相等的根，则相应的方程（3.

15、1）有如下个解：（3.3）如果（）均为实数，则（3.3）是（3.1）的个线性无关的实值解，而方程（3.1）的通解可以表示为，其中为任意数。如果特征方程有复根，则方程（3.1）的两个实值解：二、特征根有重根的情形设特征方程（3.2）的根的重数依次为且则方程（3.1）有对应的解：第四章阶常系数非齐次线性微分方程 知道了阶常系数齐线性微分方程的通解，以此为基础就不难解决阶非齐次线性微分方程通解的结构问题了。（4.1）一、常数变易法易见方程 (3.1)是(4.1)的特殊情形，我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系，首先容易直接验证如下两个简单性质：性质1 如果是方程(3.1)的解，而是方程(

16、3.1)的解，则也是方程(4.1)的解。性质2 方程(4.1)的任意两个解只差必为方程(3.1)的解。其次，我们有下面定理：定理 设,为方程(3.1)的基本解组，而是方程(4.1)的某一解，则方程(4.1)的通解可表为 ，(4.2) 其中为任意常数，而且这个通解(4.2 )包括了方程(4.1)的所有解。定理告诉我们，要解非齐次线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐次线性方程的基本解组。我们进一步指出，只要知道对应的齐次线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次方程的解，正如第一章所做的那样，不过这里稍微复杂一些而已，具体过程如下： 设是方程（2.1）的基本解组，因而（4.3）为(3.1

17、)的通解，把其中的任意常数看作的待定函数.这时（3.3）变成， （4.4）将它代入方程（4.1）就得到必须满足的一个方程，但待定函数有个即，为了确定它们，必须再找出个限制条件，在理论上，这些另加的条件可以任意给出，其法无穷，当然以运算上简便为宜，为此，我们将按下面的方法来给出这个条件。对微分等式(4.4)得 +，令得到，对微分并像上面一样做法，令含有函数的部分等于零，我们有得到一个条件 和表达式。继续上面做法,在最后一次得到第个条件：和表达式。最后，对微分得到。现将（4.4），,，代入（4.1），并注意到是（3.1）的解，得 。这样，我们得到了含个未知数函数的个方程，,.，它们组成一个线性代数

18、方程组,其系数行列式就是，它不等于零，因而方程组的解就可唯一确定,设求得积分得 这里是任意常数,将所得的表达式代入（4.4）即得方程(4.1)的解 显然，它并且是方程(4.1)的通解,为了得到方程的一个解,只需给常数以确定的值。例2求方程的通解,已知它的对应齐线性方程的基本解。解 应用常数变易法,令将它代入方程.则可得决定和的两个方程：解得，。由此 ，。于是原方程的通解为，其中为任意常数.。二、待定系数法本来，有了前面讨论的结果，这一问题已经可以解决了，因为可以求出对应齐线性方程（3.1）的基本解组，再用常数变易法，求得方程（4.1）的一个特解，这样根据定理即可写出方程（4.1）的通解表达式在

19、利用初值条件确定通解中的任意常数，就可得到方程的满足初识条件的解。但是正如大家所看到的，通过上述步骤求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。下面介绍具有某些特殊形状时所适用的一些方法。比如待定系数法，它的特点是不需要通过积分而用代数方法即可求得非齐次线性方程的特解，即将求解微分方程的问题转化为代数问题来处理，因而比较简便。（一）设,其中及为实常数,那么方程 (4.1)有形如（4.7） 的特解,其中为特征方程的根的重数(单根相当于；当不是特征根时,取),而是待定常数,可以通过比较系数来确定。1如果，则此时。现在再分两种情形讨论.：（1）在不是特征根的情形，即因而，这时，取以 代入方程 (4.

20、1)，并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：（4.8） 注意到,这些待定常数可以从方程组(4.8) 唯一地逐个确定出来。（2）在是重特征根的情形，即 而,也就是这时相应地，方程 (4.1)将为， (4.9)令，则方程 (4.9)化为。（4.10）对方程(4.10)来说，由于已不是它的特征根，因此由1知它有形如的特解，因而方程(4.10)有特解满足：，这表明是是的次多项式，其中的幂次的项带有任意常数。但因我们只需要知道一个特解就够了，我们特别地取这些任意常数均为零，于是我们得到方程 (4.9)的一个特解 ，这里是已确定了的常数。2. 如果则此时可象解常系数齐线性方程的做法，作变量变换，将

21、方程(4.1)化为， (4.11)其中都是常数，而且特征方程（3.2）根对应于方程 (4.11)的特征方程的零根，并且重数也相同。因此利用上面的结果就有如下的结论：在不是特征方程(3.2)的根的情形,方程(4.11)有特解从而方程(4.1)有特解。在是特征方程(3.2)重根的情形，方程 (4.1) 有特解从而方程有特解，从而方程（4.7）有特解 。例3 求方程的通解。解 先求对应的齐线性方程的通解，这里特征方程有两个根因此,通解为，其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解。这里，。又因为不是特征根，故可取特解形如,其中为待定常数,为了确定，将将代入原方程，得到，比较系数得由此得，从而，因此，

22、原方程的通解为 。（二） 设其中为常数，而是带实系数的的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，那么我们有如下结论：方程 (4.1) 有形如的特解。这里为特征方程的根的重数，而均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。 事实上,回顾一下（一）的讨论过程，易见当不是实数，而是复数时，有关结论仍然正确。现将表为指数形式。根据非齐线性方程的叠加原理方程与的解之和必为方程(3.1)的解。注意到，易知，若为的解 , 则必为的解.因此,直接利用（1）的结论，可知方程(3.1)有解形如其中为的次多项式，而 显然为带实系数的的多项式，其次数不高于，可见上述结论成立。三、微

23、分算子法微分算子法（见参考文献2）不仅能求前述用比较系数法求解的两种类型的常系数非齐次线性方程的一特解，而且还能将求一特解的常系数线性微分方程的范围扩大不少，在求其一特解的过程中，除用一些代数运算公式，积分分析运算外，主要还用到微分算子多项式，微分算子运算公式，因而微分算子解法实际上是一种直接灵活运用公式法。（一）微分算子的概念：1.求常系数非齐次线性方程一特解的实质： 若已定常系数非齐次线性方程 ：（4.12） 则求 (4.12)的一特解问题可视作下述问题的推广。已知一函数的微商为即（4.13）求事实上，容易看出，当且时，（4.12）即变成（4.13），由此即知：（4.16）的求一特解问题即

24、是（3.17）的求一特解问题的推广。2. 微分算子与微分算子多项式：由(4.13) ，有(不计常数) （4.14） 这时，若记，则 （4.14）可改写为（4.15） 若再（4.15）将改写为：， 则便表示这样一个函数，以作用于它，结果便等于本身，即。这表明：就是的一个原函数，并且在不计较积分常数的条件下与两者之间有着如下可交换关系：这说明：与不计较积分常数的条件下是运算可逆的或可相互约去的。同理，对于， （4.16） 若记，则（4.16）可改写为 。 （4.17） 若再将（4.17）改写为则便表示这样一个函数，以作用于它，结果便等于本身，即而且显然，有 且在不计作用于的计算过程中各次积分的积分

25、常数的条件下，与亦是运算互逆或可相互可约去，即。由此，一般地，我们定义： 和分别称为1阶，2阶，阶微分算子和阶微分算子多项式。（二）阶常系数非齐次线性方程的微分算子表示:由上述阶微分算子多项式的定义即知：阶常系数非齐次线性方程（4.12）可表示为：，而且这时可用，表示这样一个函数，以作用于它，结果便等于本身，即 。因而在此意义下,按照数学上的通常说法,即可称为微分算子多项式所决定的逆算子。由此求方程(4.12)的特解,实质上就是用的逆算子作用于方程的两边而最后归结为计算。为此，作为计算的必要准备,我们转而讨论（三）算子的基本性质：1. （为常数）2. 3. 若，则（四）几个简单微分算子的运算公

26、式:1. （1）（）2. （2） （）3. （3） （）若是次可微函数,则4. (4）5. 设，则有当时， 当时， 其中，是将按的升幂排列后再按普通多项式除法去除1在第步上所得到的商。 (五)一类特殊的阶常系数非齐次线性方程的特解 若给定的阶常系数非齐次线性方程（4.12）的非齐次项是下述三种基本类型,则由的运算公式1，2，3，4，5及性质1，2，3，即可迅速求出这时的方程（4.12）的一特解。1 的次多项式这时的方程（4.12）成为：， （4.18）显然,当时,直接由公式5可求方程（4.12）的一特解为：，其中满足。 当时，若，则同样由公式5可求得方程（4.12）的一特解为：。其中满足。2

27、指数函数与次多项式之积。这时方程（4.12）成为：（4.19）显然，这时可由公式4即可求得方程（4.19）的一特解为：其中可直接用公式5计算得出。3 次多项式与余弦函数或正弦函数之积。这时方程（4.12）成为：（4.20）或 （4.21）若假定和的系数均是实的，则在假定条件下，方程（4.20）（4.21）的特解就是辅助方程 ：（4.22）的特解的实部或虚部，而方程（4.22）的特解的求法完全基本类型2。例4解因为 所以由公式1，有四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法这种方法对求解初值问题和间断微分方程要比通常的方法快速得多，而且拉普拉斯变换与工程上的一些术语有紧密的配合，因此许多工程大师都喜欢采用拉普拉斯变换求解微分方程。下面简单的介绍一下这种方程：（一） 拉普拉斯变换的概念：设是定义在区间上的实变实值或复值函数，一般是已给的复数，若广义积分：存在，则称为函数的拉普拉斯（Laplace）变换，记作：，它表示：对于给定的函数通过拉普拉斯变换，便有一个函数与之对应，因而有：，称为拉氏变换的原函数，称为拉氏变换的原函数的象函数。（二） 一些特殊函数的拉普拉斯变换：12345（三）拉普拉斯变换在解常系数线性微分方程中的应用设给定微分方程（4.1）及初始条件其中是常数，而是连续且满足原函数的条