讲义 第二章 极限

1、文科数学讲义（李）第二章 微积分的基础极限第一节 数列极限的初步认识定义 以正整数为自变量的函数，当依次取1，2，3，所得到的一列函数值 称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，称为数列的通项。数列常简记为。下面举几个数列的例子。例1例2例3例4例5 .在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列当趋于无穷大时通项的变化趋势。下面我们来研究一个有趣的问题分形几何中的柯契（Koch）雪花问题。设有边长为1的正三角形，则周长为。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每一边生成四条新边，原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边，同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归

2、生成美丽的Koch雪花！给我们直觉：无论有多大，Koch雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch雪花的周长。正三角形的周长为；三等分正三角形各边，新边长为，所以12边形的周长为。仿此可知，究竟当时，Koch雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。我们把有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。 第二节 数列极限的数学定义公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子（约公元前369前286）在庄子天下篇一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列，这是

3、一个无穷递缩等比数列。当越来越大时，通项越来越接近于常数0，并且想让它有多接近它就会有多接近，则称该数列以0为极限。数列，当无限增大时，通项无限接近于常数1，则称该数列以1为极限。数列 ，当无限增大时不以任何常数为限，会无限变大。此时数列没有极限。极限的定性定义定义1 如果无限增大时，数列的通项无限趋近于常数，则称该数列以为极限，记作或其中表示无限增大，此时也称该数列收敛。如果时，不以任何常数为极限，则称数列发散。 极限的定量定义定义2 如果对于任意正数（无论它有多小），总存在相应的正整数，使得的一切，能使不等式恒成立，则称数列以为极限，记作或 注：（1）定义中的常数具有二重性:即具有很小正数

4、的固定性，又具有随意小的任意性。即，取之前任意，取到后固定。（2）是首先给定的，是由确定的。关键是反映变化过程时刻的的存在性，而不是它的唯一性。数列的极限为的几何解释：将常数与数列在数轴上用对应的点表示出来，从项开始，数列的点都落在开区间内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外注：数列极限中蕴含的辩证思想（1）极限的取得是变量的变化过程与变化结果的对立统一。（2）极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一。（3）近似与精确的对立统一。例6 证明数列极限.证明 由于对，要使即取当时，有由极限的定义知 例7 证明数列极限.证明 由于对，要使即取当时，有由极限的

5、定义知 .第三节 数列极限的性质性质 1 (极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一. 证明 （反证法）假设同时有及, 且，不妨设a<b. 按极限的定义, 对于>0, 由于，存在充分大的正整数, 使当时, 有 ,有. 由于，存在充分大的正整数, 使当时, 有 ,有.取，则当时，同时有和成立，这是不可能的，故假设不成立.收敛数列的极限必唯一.性质 2 (四则运算)如果 ,则有加减原则： 乘法原则：除法原则：若性质 3 (收敛数列的有界性) 如果数列收敛, 那它一定有界. 即对于收敛数列，必存在正数，对一切，有 证明 设， 根据数列极限的定义, 取e =1, 存在正整数N, 当时, 不等式

6、都成立. 于是当时, .取，那么数列中的一切都满足不等式.这就证明了数列是有界的. 收敛数列一定有界，反之不成立. 例如，数列有界，但是不收敛.性质 4 (收敛数列的保号性)如果, 且(或), 那么存在正整数N, 当时, 有(或). 证明 就的情形. 由数列极限的定义, 对, 当时, 有,从而. 推论 如果数列从某项起有(或), 且, 那么(或).性质 5 (夹逼准则) 如果数列、及满足下列条件: (1), (2), , 那么数列的极限存在, 且. 证明 因为, , 以根据数列极限的定义, "e >0, $, 当时, 有. 又, 当时, 有. 现取, 则当 时, 有, 同时成立

7、. 又因 , 所以当 时, 有, 即 . 这就证明了. 例8 求证.证明 由于，而，由夹逼准则知，. 如果数列满足条件,就称数列是单调增加的. 如果数列满足条件,就称数列是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 性质 6 (单调有界准则) 单调有界数列必有极限. 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 第四节 函数极限与函数的连续性由于数列可以看做是自变量为的函数：.所以数列的极限为，可以认为是当自变量取正整数且无限增大时，对应的函数值无限接近于常数.对一般的函数而言，在自变量的某个变化过程中，函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做在自变量在这一变化过程

8、的极限.这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同.下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限.一、 自变量时函数的极限引例 观察函数当时的变化趋势图2.1可以看出，当无限增大时，函数无限接近于0（确定的常数）.由此推得函数在时极限的直观定义：定义3 设当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时,函数值无限接近于一个确定的常数 ,称为当 x+时的极限. 记作 或 引例中，类比于数列极限的定义推得当时函数的极限的直观定义：定义4 设当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式都成立，则称是函数在时的极限，

9、记作.简单叙述：类比当时函数的极限定义，当时函数的极限定义：定义5 设当 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式都成立，则称是函数在时的极限，记作.简单叙述：在引例中，结合定义4和定义5，推得函数在时的极限定义：定义6 设当 大于某一正数时有定义，如果存在常数，对任意给定的正数，总存在正数，使得当时，不等式都成立，则称是函数在时的极限，记作.简单叙述：结合定义，函数在时的极限存在的充要条件是：例1 .证明 由于对，要使即取当时，有由极限的定义知 .从几何上看，表示当时，曲线位于直线和之间（图1-15）.图2.2这时称直线为曲线的水平渐近线. 例如 ，

10、则是曲线的水平渐近线.二、 自变量时函数的极限引例1 观察函数和在时函数值的变化趋势 图2.3从图中得出，函数和在时函数值都无限接近于2，则称2是函数和在时的极限.从上例中看出，虽然和在处都有极限，但在处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数在的某个去心邻域内有定义，函数在时函数极限的直观定义：定义7 函数在的某个去心邻域内有定义.当时，函数的函数值无限接近于确定的常数，称为函数在时的极限.在定义7中，函数的函数值无限接近于某个确定的常数，表示能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数，表示. 而可以表示为（>0），体现了接近

11、的程度. 由此得到函数在时函数极限的精确定义：定义8 函数在的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数，总存在正数，当满足不等式时，函数满足不等式，称为函数在时的极限.记作或.定义8简单表述为：函数在时极限为的几何解释：对，当时，曲线位于直线和之间。 图2.4例2 证明为常数.证明 由于对，对，当时，都有故例3 证明证明 由于对，要使，即取，当时，都有故在函数的极限中，既包含从左侧向靠近，又包含从右侧向靠近. 因此，在求分段函数在分界点处的极限时，由于在处两侧函数式子不同，只能分别讨论.左侧向靠近的情形，记作. 从右侧向靠近的情形，记作.在定义8中，若把空心邻域改为，则称为函数在时的左极限.记

12、作 或 .类似地，若把空心邻域改为，则称为函数在时的右极限.记作 或 .我们把左极限和右极限统称为单侧极限.根据在时极限的定义推出在时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：定理 .例4 讨论函数当时极限不存在.解 函数图形如下：图2.5在处的左极限为；右极限为.由于，故不存在.定义8 如果函数在点处不连续，则称在处间断，称为的间断点.三、 函数的极限的性质类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以为代表讨论.性质1（唯一性） 若，则极限值是唯一的.性质2（局部有界性） 若，若存在常数及，当时，有.性质3（保号性） 若，且（或），

13、若存在，当时，有（或）.性质4（夹逼准则） 设、是三个函数，若存在，当时，有，则.例5 设函数 ， 例6 设 ，求例7 ，求 例8 例9 重要极限 例10 重要极限 例11例12定义9 若，则称函数为时的无穷小.例如 ，则是时的无穷小.，则是时的无穷小.在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当时，的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.定义10 函数在的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数，总存在正数，当满足不等式时，函数值满足不等式，则称函

14、数为时的无穷大. 按照函数极限的定义，当时无穷大的函数极限是不存在的.为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作.若把定义中改为，称函数极限为正无穷大（或负无穷大），记作.在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.例如 由于，为时的无穷大.求极限的几种常用的方法1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷

15、小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出习题1.根据数列的变化趋势，求下列数列的极限： （1）； （2）； （3）； （4）.2.根据数列极限的定义，证明： （1）； （2）.3.设，求证.4.设数列有界，求证.5.求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在. （1），在处； （2），在处； （3），在处.6.求下列函数的极限. ； ； ； . ； ； ； .四、 函数的连续性定义11 函数 在点 及其附近有定义，如果当 时，则称 在点连续。定义12 函数 在点 及其附近有定义，若则称 在点连续。函数在点处连续，必须满足下列三个条件：（1） 函数在点处有

16、定义；（2） 存在，即；（3）例1 讨论函数在处的连续性.解 由，而，故.由连续性的定义知，函数在处连续.由于函数在处极限存在等价于在处左、右极限都存在并且相等，结合这一特点，下面定义左、右连续的概念.如果，则称函数在点处的左连续.如果，则称函数在点处的右连续.如果函数在点处连续，必有，则有，这说明了函数在点处连续，既包含了在点处左连续，又包含了在点处右连续.定理1 函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续.例2 讨论函数在处的连续性. 解 函数图形如图1-22.图2.6由于，故在处左连续.，故在处不右连续.因此由定理1知，函数在处不连续. 以上是介绍函数在一点处连续的概念，下面介

17、绍连续函数的概念.定义13 如果函数在区间内每一点都连续,称为内的连续函数.如果函数在内连续,且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续.五、 连续函数的性质与存在性定理1.连续函数的性质定理2 初等函数在其定义区间内是连续的。定理3 设函数与在处连续，则其和、差、积、商（分母在处函数值不为零）在处也连续.定理4 设函数由和复合而成.且在处连续，处极限存在，则.注：内函数的极限存在, 外函数在该极限点连续，则求复合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换.如果把条件改为在处连续，且结论仍然成立，即.例3 求解 由和复合而成.且，在处连续，则如果把条件改为在处连续，且结论仍然成立，即.2.闭区间上连续函数的性质定理5 （最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.此定理说明，如果函数，如图1：图2.7则至少存在一点，都有，则是上的最小值.至少存在一点，都有，则是上的最大值.注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.例如，函数在开区间内虽然连续，但是没有最大值和最小值（由于闭区间上连续函数