数学建模练习题

1、一. 摘要在分析和研究了这种水泥凝固时放出的热量与这种水泥的四种化学成分有关，通过对所给的数据研究之后，提出了简单的多元线性回归模型，且在通过多种方法建立了回归模型，综合这几种方法建立的多元线性回归模型解决了我们面临的实际问题。模型求解和模型检验的结果表明，我们建立的模型是非常符合所求解的问题的，而且简单易懂，可操作性较高。以下这个方程为上述模型的结果：多元线性回归模型：y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4关键词： 多元线性回归模型 模型求解 模型检验二. 问题重述题目1：某种水泥在凝固时放出的热量y(卡/克)与水泥种的下列四种化学成

2、分有关：X1: 3CAO.AL2O3的成分（%）X2: 3CAO.SiO2的成分（%）X1: 4CAO.AL2O3.Fe2O3的成分（%）X1: 2CAO.SiO2的成分（%）考虑y对这四个变量的线性回归，其实验数据如下表：编号（NO.）X1热量百分比X2 热量百分比X3 热量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.31310

3、68812109.4请用四种方法为发热量建立回归方程。三.模型假设1. 水泥在凝固时放出热量为固定值，收集的数据准确无误2. 假设x1，x2，x3,x4为自变量，y为因变量3. 假设y与诸x之间的线性关系可实际表示为4. 是实际回归常数，是实际回归系数（j=.4）e是回归余四.问题分析与模型准备1. 问题分析回归分析法是一种处理变量间相关关系的数理统计方法，不仅可以提供变量间相关关系的数学表达式，而且可以利用概率统计知识对此关系进行分析，以判别其有效性；还可以利用关系式，由一个或多个变量值，预测和控制另一个因变量的取值，进一步可以知道这种预测和控制达到了何种程度，并进行因素分析。回归分析法就是

4、以统计回归概念为基础，采用多种类型的回归法建立预测方程，包括一元线性、多元线性、非线性等。多元线性回归时要确定因变量与多个自变量之间的定量关系，它的数学模型为：其中，为待定参数；为随机变量，是除x以外其他随机因素对y影响的总和。其中，称 E( y) =b 0+b1 x1 + +bmxm为理论回归方程。在实际问题的研究中，事先并不能断定随机变量y与变量x1，x2，xm之间是否有线性关系，在进行回归参数的估计前，用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量x1，x2 ，xm之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。因此，当求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显著性检验，一般采用两种统计方法对回

5、归方程进行检验，一种是回归方程显著性的F检验；另一种是回归系数显著性的t检验。2. 图一给出所要求的数据考虑y对这四个变量的线性回归，其实验数据如下表：编号（NO.）X1热量百分比X2 热量百分比X3 热量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4五.模型建立5.1最小二乘法参数估计多元线性回归模型

6、为对上式求偏导并令其为0，然后求含n个未知参数的线性方程组，可以得到所需的参数估计值。得到：整理上式得：求解上面的方程组可求出,得值。5.2方程组法进行参数估计可将问题写成y=xb+e其中 式中：b是特定参数向量，e是残差向量遵从正态分布，即eN(0, )；I为nn单位阵，满足E（e）=0，E(e)=X为已知的nk+1常数矩阵，有自变量的各个观察值构成。Y是已知的n1常数矩阵，有因变量的各个观察值构成。用最小二乘法可得到参数向量b的估计值为b=式中：是矩阵x的转置矩阵，是矩阵的逆矩阵。回归系数,通过偏导得到他们最小二乘估计值！5.3MATLAB软件参数估计由已知框图可编写以下MATLAB程序：

7、结果说=明：b为回归模型中的常数系数和回归线系数；bint为个系数的95%置信区间，R与rint为对应实际值的残差和残差置信区间。Stats向量值为拟合优度f值与显著性概率p。所以此函数方程为y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4=0.9824说明模型拟合程度非常高。t检验:在回归模型区域中,给出了回归系数,的估计值及其标准误差、检验值和回归系数估计区间, t的上下限等，各回归系数Sig值都小于0.05 说明因变量与自变量之间的回归效果理想。5.4excel预测估计利用EXCEL回归分析输出结果中得到有关回归分析的统计量、方差分析表和回

8、归系数及其检验、预测区间等数据。分析表中的计算结果,可得下述检验结果。Coefficients标准误差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.1

9、79226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016回归统计Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563标准误差2.446008观测值13dfSSMSFSignificance F回归分析42667.899666.9749111.4

10、7924.76E-07残差847.863645.982955总计122715.763多元线性回归模型(1)的计算结果R2检验:在回归统计区域中,给出的R2为：0.982376调整后的R2为：0.973563均很接近 1,说明因变量与自变量水泥凝固时放出的热量与这种水泥的四种化学成分关系很密切。 F检验:在方差分析区域中,给出的 F检验值为111.4792，远远大于 F0.025 ,Sig值为4.76E-07几乎为零，说明因变量与自变量之间的回归效果非常显著。t检验:在回归模型区域中,给出了回归系数的估计值及其标准误差、检验值和回归系数估计区间, t的上下限等，各回归系数Sig值都小于0.05

11、说明因变量与自变量之间的回归效果理想。所以由上式的excel表格可求出线性回归方程Y=62.40537+1.551103x1+0.510168x2+0.101909x3+-0.14406x4附录1MATLAB编写的程序及结果程序为：y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;

12、x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;Y=y;X=ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)运行程序得；b = 62.4054 1.5511 0.5102 0.1019 -0.1441bint = -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910r = 0.0048 1.5112 -1.6709 -1.7271 0.2508 3.9254 -1.4487 -3.17

13、50 1.3783 0.2815 1.9910 0.9730 -2.2943rint = -4.0390 4.0485 -3.2331 6.2555 -5.3126 1.9707 -6.5603 3.1061 -4.5773 5.0788 -0.5623 8.4132 -6.0767 3.1794 -6.8963 0.5463 -3.5426 6.2993 -3.0098 3.5729 -2.2372 6.2191 -4.1338 6.0797 -6.9115 2.3228stats =0.9824 111.4792 0.0000附录二excel表格所求线性回归方程表格SUMMARY OUTP

14、UT回归统计Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563标准误差2.446008观测值13方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析42667.899666.9749111.47924.76E-07残差847.863645.982955总计122715.763Coefficients标准误差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1

15、786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.179226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016RESIDUA