数学学年论文毕业论文条件概率的意义算法及公式

1、条件概率的意义、算法及公式摘要：条件概率是 “概率论与数理统计”课程的重要知识之一，文章从条件概率的意义、算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率关键词：条件概率；样本空间； 条件概率系列公式 1 引言概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，而条件概率又是概率论与数理统计一个重要知识点本文从条件率的意义、算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率2 主要结论2. 1 条件概率的意义若(，F，P)是一个概率空间，BF，且P(B)>0，则对任意的AF，称P(A|B)= 为已知事件B发生的条件下，事

2、件A发生的条件概率条件概率的意义，可以从以下三个方面来阐述：2.1.1几何直观意义我们可以用单位正方形来表示样本空间，用正方形内任一封闭曲线围成的图形表示事件，而把图形的面积理解为相应事件的概率设A,B，<见右图>无条件概率(或称为绝对概率)P(B)=(注意P()=1)几何直观上，相当于B在空间中所占的比例，亦可表示为P(B)=P(B|)条件概率P(B|A)=，实际上是仅局限于A事件这个范围来考察B事 件发生的概率几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例2.1.2概率空间观点设给定一个概率空间(，F，P),并设AF，P(A)>0 ，P(·|A)可看成新

3、引进的一个概率测度一方面，它仍看作在原来的可测空间(，F)上，将原来定义的概率测度P(·) 改变为P(·| A) ，这里P(·| A)对于任意的BF均有定义，且P(B|A)=这样，当引进条件概率P(·|A)后，可以认为概率空间可由原来的（，F，P）变为 (，F， P(·|A)另一方面又可认为，当引进条件概率P(·|A)后，概率空间由原来的(，F，P)缩简为(，)，其中=，FFA，并且对于任意的BF，定义 ( B)=这样一来，可测空间也就又原来的（，F）缩简为(，)2.1.3 概率直观意义条件概率P(A|B)与无条件概率P(B)亦可解释

4、为后验概率，P(B)可解释为试验前人们根据以往积累的资料和经验，对事件B发生的(绝对)可能性大小的认识而现在经过试验，我们获得了A事件已发生的这个新信息那么，这个新的信息将要求我们并且有助于我们重新审视或估价事件B发生的可能性大小的重新认识，故可解释为后验概率2. 2 条件概率的性质 如果P(A)>0，条件概率具有如下性质： (1)对任意事件B，有P(B|A)0； (2) P(|A)=1， P(|A)=0； (3)对任意可列个两两互不相容事件A，A，A， ，有P；(4)对于一般的事件A与A，有P(AA|A)=P(A|A)P(A|A)P(AA|A)； (5)P(B|A)P(|A)=1； (

5、6)当BA 时，有P(B|A)= ；当 BA时，有P(B|A)=23条件概率的算法计算条件概率通常有两种方法：一是在样本空间内依条件概率计算；二是缩简样本空间法：为了计算条件概率P(B|A)，可把样本空间缩简为A，然后在缩简的样本空间上，即就是在附加条件 “事件A已经发生”的情况下，直接计算事件B发生的概率即可得P(B |A )例 掷三个骰子,已知得到的三个点数不同，求其中包含有1点的概率解：设事件A三个点数不同 事件B其中含有1点因为已知事件A发生，求在此条件下事件B发生的概率，显然所求概率为条件概率P(B|A)，下用两种方法求之法一 掷三个骰子的基本事件总数为6=216，有利A的事件数是6

6、×5× 4=120有利AB的事件数是3!×C(因为1是必取的，其余2个可在剩下5个点数中任取两个，组成不同排列)所以P(A) ， P(AB)= 由条件概率的公式知：P(B|A)=法二 将原样本空间缩简为 (即满足三个点数不同这一条件)，然后在 中考察事件B发生的概率这时满足的基本事件总数为C=201点取定的事件数是：C=10故由缩间样本空间法可得P(B|A)=例 设盒中有4件产品，其中2件正品今从中不放回地抽取两次，每次抽一件，求在第一次取得次品的条件下，第二次也取得次品的概率解：设事件A第一次取得次品， B 第二次取得次品由题意知，所求为P(B|A)法一 我们的

7、试验是由两次抽取组成的复合随即试验，其样本空间应该有 4×3=12个等概的样本点它们可表示如下：e=(次,次) e=(次,正) e=(次,正)e=(次,次) e=(次,正) e=(次,正) e=(正,次) e=(正,次) e=(正,正)e=(正,次) e=(正,次) e=(正,正)则= e,e,e, e,e,e ， =e,e由此P(A)=， P(AB)=由条件概率公式，得 P(B|A)=法二 将样本空间缩间为=e,e,e, e,e,e， 而在上考察B事件发生的情况它仅包含两个样本点e,e故由缩间样本空间法可得P(B|A)= 一般来说，缩间样本空间法是针对同一随机试验而言的，把A事件的

8、发生及B事件的发生是放在同一样本空间中去讨论的对于相应于两个不同随机试验的两个样本空间一般不好说一个是另一个的缩简为此，有以下例题例设袋中有2个白球，1个红球，今从中任取1个，观察颜色后，将其放回，并加入一个与抽出的球同色的球然后，再从袋中任取1.设A为第一次抽得白球，B为第二次抽得白球，求P(B|A)分析： 第一次抽取时的样本空间为白,白,红当A发生后，即第一次抽得白球后，将加入一个新的白球(记为白)，这时样本空间由白,白,红“缩简为=白,白,白,红显然，这里是的 “扩大”怎么能说成是 “缩简”呢？这岂不是与缩简样本空见法的实质相矛盾了吗？那么，应该如何解释本例中样本空间的缩简呢？ 实际上，

9、应用缩简样本空间发时，首先必须弄清，到底什么是本问题的试验及样本空间在本例中，我们的试验是两次抽球所组成的复合随机试验其样本空间共有3×412个等概的样本点我们可将它排列成如下的矩阵形式：=在 “第一次抽得白球”(即事件A)发生的条件下，样本空间缩简为由上述矩阵的前两行的8个样本点所组成的之上故按缩简样本空间法，这时在上计算 “第二次取得白球”的概率，即得P(B|A)= 可见，当我们正确选择条件概率问题中的试验及样本空间后，用缩简样本空间法所得到的一定是原样本空间的缩简，一定比小条件概率系列公式的关系探讨条件概率系列公式即条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式这四个公式是以条件概

10、率公式为起点，以乘法公式和全概率公式为媒介，以贝叶斯公式为终点的一组关联公式，是沿着一条路子走下来的，是一棵藤上开着的四朵美丽的花2. 4. 1基本公式 条件概率公式：P(B|A)= (1) 将此公式移项，即得乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A) (2) 我们很容易想到，乘法公式应该还有另外一种形式，即 P(AB)=P(B)P(A|B) (3) 概率乘法公式可以推广到多个事件的情形：如果P>0,则 P=P(A)P(A| A)P(A| AA)P(A| A，AA) (4)概率论的重要研究课题之一是希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率为达到这个目的，经常把一个复杂事件分解

11、为若干个互不相容的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率最后，利用概率的可加性得到最终结果这里，全概率公式起着重要作用全概率公式的描述如下：设事件A，A是样本空间的一个分割(即A，A互不相容且=)，P()>0，则对任一事件B，有P(B)= (5)若已知事件B发生，想知道P，则需要用贝叶斯公式： P=公式<6>是对P，运用条件概率公式，乘法公式和全概率公式的结果其中P称作先验概率，P称作后验概率2. 4. 2 系列公式使用的技巧条件概率公式作为这组系列公式的头一个还是较好理解和掌握的，一般从题目当中能判断出要求的目标是事件是否具有附加条件，从而选择正确的公式是否使用乘法

12、公式，判断起来也较容易，但是具体使用时，存在公式(2)与公式(3)的选择问题其实，用乘法公式计算P(AB)时，哪一个事件先发生，就选择以那个事件为条件的公式，如事件A先发生，就选择公式(2)，计算P(AB)应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率和条件概率最后代入全概率公式全概率公式是求复杂事件概率的有利工具贝叶斯公式往往与全概率公式同时使用，全概率公式一般 “由因求果”问题，而贝叶斯公式一般用于 “执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式2 . 4 . 3 例题解析例一袋中有只红球，只白球，每次从袋中任取一只球，观察后放回

13、，并且放入只同色球若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球且第三,四次取到白球的概率解：以( i=1,2,3,4)表示第i次取到红球事件，则所求事件的概率为：P( = =例设甲，乙两袋，甲袋中装有只白球，只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到百球的概率是多少？解：由于从乙袋中取球(第二次试验)之前，要从甲袋中任取一球投入乙袋(第一个试验)，而从甲袋中取球的结果影响到从乙袋中取球结果，本例可用全概率公式求解将第一个试验的样本空间分解，即可求出完备实践组因此甲袋中任取一球放入乙袋仅有两种可能：取得一白球或者取得一黑球，分别用A，A表示

14、，则A，A即为所求的一个完备事件组，又设B从乙袋中取得一白球，显然有P(A)=； P(A)=； P(B| A)= ； P(B|A)= 又全概率公式得到 P(B) = P(A)P(B| A) + P(A) P(B|A) = + = 例用某种试剂检查食品的卫生情况，记事件B为 “被检查的食品不卫生”，事件为 “试验呈阳性”，由经验知：P(A|B)=0.99，P(|)=0.95；而已知P(B)=0.04现检查出一批食品的结果呈阳性求这些食品确实不卫生的概率解：这是一个执果寻因问题，已知试验结果呈阳性，可能是确实不卫生也可能是试验有误由贝叶斯公式，得P(B|A) = = = = 0.452本题说明，虽

15、然概率P(A|B)与P(|)都较高，但以此来确定食品不卫生仍然是不够正确的3 结束语参考文献： 魏宗舒等编概率论与数理统计教程M北京：高等教育出版社，1983 复旦大学编概率论M北京：人民教育出版，1979 徐瑞云译实变函数论M 北京： 高等教育出版社，1955 孙清华 赵德修新编概率论与数理统计题解M 武汉： 华中科技大学出版社，2000THE DISSCUSSION OF CONDITIONAL OF PROBABILITYABSTRACT: Conditional probability is one of the important knowledge of the probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional p