极限复习指导

1、 极限问题复习指导 055350 河北隆尧一中 焦景会 电话 考纲要求1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、了解数列极限和函数极限的概念。3、掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。4、了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。2010年极限命题预测：1、极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考。2、了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质此类题大多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的大题，属中档题。3、 掌握以下思想方法 极限思想：在变

2、化中求不变，在运动中求静止的思想； 数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等。此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高。例题讲解一、 数列的极限1、数列极限的定义；2。几个常用的极限：C=C（C为常数）; =0; qn=0（|q|1）；3。数列极限的四则运算法则。 例1、设常数，展开式中的系数为，则_。解： ，由由，知，所以。 小结 本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力。例2、已知数列an满足a1=0,a2=1,an=, 求an 分析：由an=，求出an。解：由an=, 得 2an+an1=2

3、an1+an2,2an+an1是常数列。2a2+a1=2,2an+an1=2，an=（an1）。an是公比为,首项为的等比数列，an=×（）n1。an=×（）n1，an=。友情提示：1、运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下两点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算。2、熟练掌握如下几个常用极限：（1） C=C（C为常数）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）。例3、 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有（qn）=,则首项a1的取值范围是_。解： （qn

4、）=, qn一定存在。0|q|1或q=1，当q=1时，1=,a1=3；当0|q|1时，由（qn）=得=,2a11=q，0|2a11|1，0a11且a1，综上,得0a11且a1或a1=3。小结: 在学习过程中应重视化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用。二、 函数的极限1、函数极限的概念；2。极限的四则运算法则：如果f（x）=a, g（x）=b,那么f（x）±g（x）=a±b; f（x）·g（x）=a·b; =（b0）。例4、 的值等于_。分析：本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力。解：例5、若f （x）=在点x=0处连续，则f（0）=_。分析

5、：利用逆向思维球解。解：f(x)在点x=0处连续，f(0)=f(x)= = =。例6、设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且 f(x)=0, f(x)=3, 求这一函数最大值。分析：由函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f（x）=f（x）构造方程,求出b的值。解：f（x）=ax2+bx+c是一偶函数, f（x）=f（x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c，b=0。f （x）=ax2+c。又 f(x)= ax2+c=a+c=0, f(x)=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1。f(x)=x2+1，f(x)max=f（0）=1，f(x)的最大值为1。例7、 设 a为常数

6、，若（ax）=0,则a的值是_。分析：先对括号内的的式子变形。解：（ax）= =0,1a2=0，a=±1。但a=1时，分母0, a=1。三、函数的连续性及极限的应用1、函数的连续性；2、如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值；3、若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）0）也在点x0处连续。若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数fu（x）在点x0处也连续。例8、f(x)=的不连续点为( )A x=0 B x=（k=0,±1,&

7、#177;2,）C x=0和x=2k（k=0,±1,±2,） D x=0和x=（k=0,±1,±2,）分析：由条件出发列方程求解。解：由cos=0,得（kZ）,x=；又x=0也不是连续点,故选D例9、 设f(x)=当a为_时,函数f(x)是连续的。解： f(x)= （a+x）=a, f(x)=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f(x)=f（0）, 即说明函数f(x)在x=0处连续,而在x0时, f(x)显然连续,于是可判断当a=1时, f(x)在（,+）内是连续的。小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性。例1

8、0、抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n时的极限值,求S的值。分析：先列出式子。解：S=b·（）2+b·（）2+b·（）2+b·（）22·=·ab=·ab=ab。例11、 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少?解：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=10（

9、m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×=10×（。小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2, 则L2=2×=10×（）4。由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10×（）2n。故从第一次到第n+1次所经过的路程为Sn+1=h0+L1+L2+Ln，则整个过程总路程为S=Sn+1=5+10×=5+10=20。3（m）,小球从开始下落到

10、第一次与地面相碰经过时间t0=1（s）。小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×=2×,同理可得tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn 则t=tn+1=1+2×=8（s）。四、创新考题例12、已知。（）当时，求数列的前n项和；（）求。 解：（I）当，这时数列的前n项和 式两边同乘以，得 式减去式，得 若时， ， 。若时，（II）由（I），当时，则当时， 此时，若，则 。；若则 小结 本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式、求数列的前n项和的基本方法、求数列的极限等基础知识，考查运算能力。 连接练习 1、 （ ）A、1 B

11、、1 C、 D、解：C 提示：2、已知，下面结论正确的是（ ）A 、在处连续 B、 C、 D、解：D 提示: 3、四个函数:f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d。其中在x=0处连续的函数是_。（把你认为正确的代号都填上）解：4、下四个命题:f（x）=在0,1上连续;若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;。=4;若f（x）=则f（x）=0。其中正确命题的序号是_。（请把你认为正确命题的序号都填上）解：5、 =_。解：原式=0。6、数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方程x2bnx+cn

12、=0的两根,其中0|c|1,当（b1+b2+bn）3,求c的取值范围。解：首先,由题意对任意nN*,an·an+1=cn恒成立，=c。又a1·a2=a2=c，a1,a3,a5,a2n1,是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列。其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立。=c。又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为c的等比数列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+