第18章量子力学初步电子工业new

1、第第5篇篇 Planck普朗克普朗克Rutherford卢瑟福卢瑟福Bohr玻尔玻尔Sommerfeld索末非索末非lenard勒纳德勒纳德Thomson汤姆孙汤姆孙Frank夫兰克夫兰克Hertz赫兹赫兹pauli泡利泡利Stark斯达克斯达克李政道、杨振林李政道、杨振林Salam萨拉姆萨拉姆Heisenberg海森伯海森伯Schrdinger薛定谔薛定谔deBroglie德布罗易德布罗易Feynman费曼费曼Dirac狄拉克狄拉克Landau郎道郎道吴健雄吴健雄Mayer梅耶梅耶霍金霍金First Solvay Conference 1911辐射和量子辐射和量子1927年索耳威第五届会议主

2、题是年索耳威第五届会议主题是电子与光学电子与光学1933第七届索耳威会议第七届索耳威会议原子核的构造和性质原子核的构造和性质Solvay Physics Congress, 1921第第17章量子力学基础章量子力学基础1. 量子力学发展线索量子力学发展线索17.0章序章序黑体辐射研究黑体辐射研究能量子观念能量子观念光电效应研究光电效应研究固体低温比热固体低温比热康普顿实验康普顿实验光量子观念光量子观念德布罗易假设德布罗易假设波粒二象性波粒二象性量子力学体系量子力学体系2. 本章内容结构本章内容结构(1) 实物粒子的波粒二象性与不确定关系实物粒子的波粒二象性与不确定关系(2) 薛薛定谔方程的建立

3、及初步应用定谔方程的建立及初步应用(3) 原子中电子的存在状况原子中电子的存在状况17.1微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 一德布罗易物质波观念一德布罗易物质波观念 1. 德布罗易物质波观念的提出德布罗易物质波观念的提出光的波动学说光的波动学说牛顿光的微粒说牛顿光的微粒说惠更斯惠更斯光的波动说光的波动说物质微粒的微粒说物质微粒的微粒说物质微粒的波动说物质微粒的波动说物质微粒的波粒二象性物质微粒的波粒二象性光电效应光电效应光的波粒二象性光的波粒二象性2. 德布罗易物质波观念的数学表述德布罗易物质波观念的数学表述 hmcE 2ph 第二式推导第二式推导 hpmcpmchmch 22结论结论

4、：实物粒子不仅具有：实物粒子不仅具有粒子性粒子性，同时也具有，同时也具有波动性波动性 实物粒子的波粒二象性是实物粒子的波粒二象性是其内禀属性其内禀属性实物粒子的波粒二象性数学表述是通过实物粒子的波粒二象性数学表述是通过类比类比光的波粒二光的波粒二象性得到的象性得到的讨论：讨论：I. 德布罗易关系式的物理意义德布罗易关系式的物理意义 II.对实物粒子，德布罗易关系式的两个公式互相独立对实物粒子，德布罗易关系式的两个公式互相独立III. 物质微粒的能量是指其物质微粒的能量是指其总能量总能量，而不是粒子的动能，而不是粒子的动能 粒子粒子低速运动低速运动时，可用粒子动能代替其总能量求解波长时，可用粒子

5、动能代替其总能量求解波长 例：电子的总能量可写为例：电子的总能量可写为 20cmEEk 推算：物质波推算：物质波波长计算公式波长计算公式；并得到低速；并得到低速近似计算公式近似计算公式 解：由狭义相对论解：由狭义相对论 420222cmpcE kkEcmEccmEcp2024202211 kkEcmEchph2022 kEmch02 cv文献查阅：文先俊，简述建立量子力学基本原理的思想方法，高等函授学文献查阅：文先俊，简述建立量子力学基本原理的思想方法，高等函授学 报，报，1997，vol.4，p2933 3. 由德布罗易关系得到的若干结论由德布罗易关系得到的若干结论 I 宏观粒子的波长极小，

6、仅显示出极其微弱的波动性宏观粒子的波长极小，仅显示出极其微弱的波动性例：已知：例：已知：微尘：微尘：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：小球： m2=10-3kg v2=10-1m/s；电子电子: m3=9.11 10-31kg，v3=5 107m/s求：它们各自的德布罗意波长求：它们各自的德布罗意波长 解：解：微尘微尘mmh17215341111063. 6101011063. 6 v 小球小球mmh3013342221063. 6101011063. 6 v 电子电子9731343311046. 11051011. 91063. 6 vmh (m)II 由德布罗易关系得到玻尔

7、量子条件由德布罗易关系得到玻尔量子条件驻波条件：电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即驻波条件：电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即 nrL 2 hp nhrm v2讨论讨论 作用量作用量：称与：称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量有相同量纲的物理量为系统作用量 结论：结论：当微观粒子的作用量与当微观粒子的作用量与h可相比拟时，该系统称量子系统可相比拟时，该系统称量子系统思考题思考题：无限深势阱中粒子能：无限深势阱中粒子能 量量子化量量子化III 由德布罗易关系得到氢原子基态能量由德布罗易关系得到氢原子基态能量解：氢原子能量解：氢原子能量 remrnEnhprempEEEpk022220

8、2242242 E对对r求极值，可得求极值，可得 22024nemrn529. 0041202322 rremrn() 小结：小结：由德布罗易关系推导出的若干结论与已有理论或实验由德布罗易关系推导出的若干结论与已有理论或实验 结果是一致的，初步检验了它的合理性结果是一致的，初步检验了它的合理性 二德布罗意波的实验验证二德布罗意波的实验验证 1.戴维逊革末实验戴维逊革末实验 阴极电压阴极电压实验装置实验装置 阴极电压阴极电压实验现象实验现象集电器电流强度随电压单调增加作周期性变化集电器电流强度随电压单调增加作周期性变化周期变化满足布拉格公式周期变化满足布拉格公式 nd sin2理论分析理论分析

9、meVmpmeV2212 vvVemhphe12 V2 .12 对镍单晶，对镍单晶，d=0.91 实验时，实验时， =65 ，V=54V理论波长理论波长：1.67 实验波长实验波长：1.65 三实物粒子波粒二象性的物理图象三实物粒子波粒二象性的物理图象 1. “波包波包”解释解释 不同介质中波的群速度不同不同介质中波的群速度不同 一旦波弥散开去，不能重新凝结一旦波弥散开去，不能重新凝结2. “鬼场鬼场”解释解释 约束粒子的导波产生机制问题约束粒子的导波产生机制问题3.实物粒子波粒二象性的统计解释实物粒子波粒二象性的统计解释例：分析电子的双缝衍射实验，并说明例：分析电子的双缝衍射实验，并说明玻恩

10、统计解释玻恩统计解释的观点的观点思考：从实验现象中总结波函数的物理意义思考：从实验现象中总结波函数的物理意义弱电子束弱电子束强电子束强电子束18.2.不确定关系不确定关系 一不确定关系的内涵一不确定关系的内涵1. 不确定关系的引入不确定关系的引入 由于粒子的波粒二象性，描述粒子经典由于粒子的波粒二象性，描述粒子经典轨道运动的参量轨道运动的参量：已：已 经不能描述量子粒子的运动状况经不能描述量子粒子的运动状况描述量子粒子运动时，继续沿用轨道参量，但它们描述量子粒子运动时，继续沿用轨道参量，但它们不再具有不再具有经典物理中的轨道物理图像经典物理中的轨道物理图像 2. 不确定关系的特例说明不确定关系

11、的特例说明 以单电子单缝衍射中，电子坐标与动以单电子单缝衍射中，电子坐标与动量的不确定关系为例量的不确定关系为例 x x px p 1 忽略次极大忽略次极大时，电子在时，电子在x方向方向动量范围动量范围 1sin0 ppx 电子在电子在x方向动量不确定度方向动量不确定度 1sin ppx 有有 hpx 考虑次极大时考虑次极大时，电子在，电子在x方向方向动量不确定度动量不确定度 1sin ppx 单缝衍射第一级暗条纹出现位置的条件单缝衍射第一级暗条纹出现位置的条件 1sinx德布罗易波假设德布罗易波假设ph 3. 不确定关系不确定关系 典型特例表示方法典型特例表示方法 2 xpx2 tE一般表述

12、方法一般表述方法 2 qp严格表示方法严格表示方法 4)()(222kGF 典型特例表示方法典型特例表示方法 2 xpx2 tE讨论讨论不确定关系是微观粒子的内禀属性，是波粒二象性的结果不确定关系是微观粒子的内禀属性，是波粒二象性的结果任何一对广义动量与广义坐标之乘任何一对广义动量与广义坐标之乘 积都满足不确定关系积都满足不确定关系不确定关系的本质含义是：任何一对广义动量与广义坐标在不确定关系的本质含义是：任何一对广义动量与广义坐标在 理论上不可能同时具有确定值理论上不可能同时具有确定值不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来利用不确定关系估算物理参量时

13、应注意的问题利用不确定关系估算物理参量时应注意的问题 二二 不确定关系的应用举例不确定关系的应用举例 例：小球质量例：小球质量m=10-3kg，速度，速度v=0.1m/s，位置不确定度，位置不确定度 x=10-6m 求：求：(1).小球的作用量；小球的作用量；(2).小球动量、速度不确定度小球动量、速度不确定度 解：解：(1).作用量作用量 hqp 1061310101010(2).由由 可得可得 2 xpx1291028. 5 smkgpx1261028. 5 smxv对作用量远大于对作用量远大于h的经的经典物理系统，广义动典物理系统，广义动量与广义坐标是可以量与广义坐标是可以被同时精确测定

14、被同时精确测定 1.不确定关系适用的条件不确定关系适用的条件 例：电子的质量例：电子的质量me=9.1 10-31kg，氢原子的半径为，氢原子的半径为10-10m数量级数量级 求：求：(1). 电子的作用量；电子的作用量；(2).测量电子速度时的不确定度测量电子速度时的不确定度 解：解：(1).作用量作用量 hqp101 . 91010101 . 93410631 16106 . 02 smxmexv(2).由由 可得可得 2 xpx作用量与作用量与h相当的量子系统，不确定关系将起很重要作用，此相当的量子系统，不确定关系将起很重要作用，此时，不能再用经典理论讨论物理系统的运动规律时，不能再用经

15、典理论讨论物理系统的运动规律 例：显象管中电子运动速度为例：显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束横截面尺数量级，电子束横截面尺寸为寸为10-4m数量级数量级 求：求：(1).显象管中电子的作用量；显象管中电子的作用量；(2).电子横向速度的不确定度电子横向速度的不确定度 解：解：(1).作用量作用量 hqp 284731101 . 91010101 . 916 . 02 smxmexv(2).由由 可得可得 2 xpx不能单纯以物理对象是否十分不能单纯以物理对象是否十分“微小微小”来判定该系统属于经来判定该系统属于经典典系统或量子系统，而必须依据其作用量是否与系统或量子系统，而必须

16、依据其作用量是否与h相当来判定相当来判定 2. 不确定关系在估算物理量中的应用不确定关系在估算物理量中的应用 例：用不确定关系，估算氢原子中可能有的最低能量例：用不确定关系，估算氢原子中可能有的最低能量 解：不计原子核运动时，氢原子的能量就是原子中电子的能量解：不计原子核运动时，氢原子的能量就是原子中电子的能量 rempEEEpk020242 rrpp ,取取rpqpqp 因因将上式代入能量表达式将上式代入能量表达式 rermEEEpk0220242 求极值求极值 mrrermdrdE10min20230210529. 0040 eV6 .13844)4(2220042002022200202

17、min hmemeememE 例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取 t10-8s 解：解：能级宽度能级宽度：原子中电子的能级有一个宽度：原子中电子的能级有一个宽度电子寿命电子寿命：电子在每一个能级上停留的时间：电子在每一个能级上停留的时间谱线的自然宽度谱线的自然宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度Hz1059. 1217 tthhEtE 18. 3.波函数波函数 一波函数的引入一波函数的引入 1.用波函数描述微观粒子运动规律观念的提出用波函数描述微观粒子运动规律观念的提出 用用r、p、L描述方法不适合描述方法不适合如何如何

18、定量定量描述微观粒子运动规律？描述微观粒子运动规律？微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性微观粒子的不确定关系微观粒子的不确定关系2 xpx/ )(0),(rpEtietr 2. 波函数引入的思路波函数引入的思路从波动性角度描述微观粒子运动从波动性角度描述微观粒子运动自由粒子运动规律以平面波描述自由粒子运动规律以平面波描述束缚粒子运动规律通过动力学方程给出束缚粒子运动规律通过动力学方程给出(与经典波动对应与经典波动对应)讨论讨论 引入波函数概念是微观粒子波粒二象性的必然结果引入波函数概念是微观粒子波粒二象性的必然结果 波函数引入的思路同时给出了波动量子力学数学体系的建立波函数引入的思路同

19、时给出了波动量子力学数学体系的建立 思路思路3.波函数的统计解释波函数的统计解释例：分析电子的双缝衍射实验，并说明例：分析电子的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释玻恩统计解释的观点的观点弱电子束弱电子束强电子束强电子束 波函数模之平方代表粒子取得某一物理量值的几率波函数模之平方代表粒子取得某一物理量值的几率 量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波4. 几率波的数学表述几率波的数学表述dxdydztzyxdxdydztzyxdW2*),(),( VtzyxCtzyxWd),(),(d2 讨论讨论 波函数可乘以任意常数而不影响其几率相对强弱的分布波函数可

20、乘以任意常数而不影响其几率相对强弱的分布波函数应该满足归一化条件波函数应该满足归一化条件(自由粒子平面波函数例外自由粒子平面波函数例外) 数学表述数学表述 Cdydzdxtzyx 2),( 归一化波函数可以写为归一化波函数可以写为 ),(1),(tzyxCtzyx 几率密度几率密度 2),(),(),(tzyxdxdydztzyxdWtzyx 三三 量子力学中波函数的基本特征量子力学中波函数的基本特征1.波函数必须是复数波函数形式波函数必须是复数波函数形式(思考题思考题?)2. 波函数可以相差一个相位因子波函数可以相差一个相位因子 ietzyxtzyx),(),( 222),(),(),(tz

21、yxetzyxtzyxi 例：设例：设 1、 2为体系的两个可能状态，作如下三种线性叠加为体系的两个可能状态，作如下三种线性叠加 21 iAe )(21 iBe21 c那些状态相同那些状态相同B和和C3.量子力学中波函数应该满足标准条件量子力学中波函数应该满足标准条件波函数的标准条件是：波函数的标准条件是：单值单值、连续连续、有限有限 4.量子力学中波函数应当满足态叠加原理量子力学中波函数应当满足态叠加原理态叠加原理态叠加原理 如果如果 1、 2分别是粒子存在的一个可能状态，那么，它们分别是粒子存在的一个可能状态，那么，它们的线性叠加的线性叠加 1 2也是粒子的一个可能状态；也是粒子的一个可能

22、状态； 当粒子处于当粒子处于 1和和 2的线性叠加态时，微观粒子同时处于的线性叠加态时，微观粒子同时处于 1和和 2态各粒子出现的几率为态各粒子出现的几率为212122212212 例：设一维空间运动粒子的波函数可以表述为例：设一维空间运动粒子的波函数可以表述为 2/2/)cos()exp(2/, 2/0),(bxbxbEtiAbxbxtx 其中，其中，A为任意常数，为任意常数，E、b为确定常数为确定常数 求：归一化波函数；几率密度求：归一化波函数；几率密度解：由解：由归一化条件归一化条件1d),(d),(d),(22/22/2/22/ xtxxtxxtxbbbb 1d )/cos()/iex

23、p()/cos()/iexp(2/2 xbxEtbxEtAb bA2 归一化常数归一化常数 2/2/)cos()exp(22/, 2/0),(bxbxbEtibbxbxtx 归一化波函数归一化波函数几率密度几率密度 2/2/)(cos22/, 2/0),(),(22bxbbxbbxbxtxtx 最大几率密度点最大几率密度点00)(cos2ddd),(d2 xbxbxxtx 17.4.非相对论薛定谔方程非相对论薛定谔方程一一 建立薛定谔方程的限制条件建立薛定谔方程的限制条件1. 动力学微分方程的解必须是线性的动力学微分方程的解必须是线性的2. 微分方程中的系数不应包含状态参量微分方程中的系数不应

24、包含状态参量 二非相对论的薛定谔方程二非相对论的薛定谔方程1. 一维自由粒子非相对论的薛定谔方程一维自由粒子非相对论的薛定谔方程一维自由粒子非相对论的波函数为一维自由粒子非相对论的波函数为 )(0),(pxEthietx 对时间求一次导数对时间求一次导数 EhieEhitxtpxEthi )(0)(),(对空间求二次导数对空间求二次导数 22)(022221)1(),(phephtxxpxEthi 再由非相对论动量、能量关系式再由非相对论动量、能量关系式 UmpUEEk 22考虑到非相对论自由粒子考虑到非相对论自由粒子 mEmEpmpEEkk22222 非相对论的薛定谔方程非相对论的薛定谔方程

25、thidxdmh 22222. 非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论将自由粒子薛定谔方程中能量推广为粒子的总能量，就可得将自由粒子薛定谔方程中能量推广为粒子的总能量，就可得到到一般粒子的薛定谔方程一般粒子的薛定谔方程 )()(22222222rUdzddyddxdmhthi 引入引入算符算符2222222zyx UmhH 222则薛定谔方程可以写为则薛定谔方程可以写为 Hthi 一般形式下的薛定谔方程一般形式下的薛定谔方程 讨论讨论薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律 如果量子微观粒子体系的势函数不含时间变量如果量

26、子微观粒子体系的势函数不含时间变量t，对应的薛定，对应的薛定 谔方程可以写为谔方程可以写为定态薛定谔方程定态薛定谔方程 )(222rUmhE 其中其中 Ethiextx )(),( 三定态薛定谔方程的应用举例三定态薛定谔方程的应用举例1. 一维无限深势阱问题一维无限深势阱问题例：求解一维无限深例：求解一维无限深方势阱方势阱问题问题解：解：束缚态束缚态：量子粒子在保守力场下被限制在一定空间范围内：量子粒子在保守力场下被限制在一定空间范围内的状态，称为束缚态的状态，称为束缚态 a 0 U(x)= 0 0 xa 0 x，a x 定解问题定解问题泛定方程泛定方程 0222 kdxd边界条件边界条件 0

27、)()0( a 自然条件自然条件 1)(20 dxxa Ehmk222 泛定方程的通解为泛定方程的通解为 kxBkxAxsincos)( 代入边界条件代入边界条件 0)0( A nkakaBa 0sin)(于是于是归一化波函数归一化波函数为为 xanaxn sin2)( 波函数为波函数为 xanBxn sin)( 代入自然条件代入自然条件aBdxxa21)(20 本征能量本征能量 22222222222manmkEEmkankn 讨论讨论一维无限深势阱的波函数实际上为一维无限深势阱的波函数实际上为驻波解驻波解一维无限深势阱中的微观粒子并不在势阱中各点均匀出现一维无限深势阱中的微观粒子并不在势阱

28、中各点均匀出现 x x x 1(x) 2(x) 3(x) 4(x) 1 2 3 4 n=1,E1 n=2,E2 n=3,E3 n=4,E4 一维无限深势阱中微观粒子的能量只能取分离值，且与一维无限深势阱中微观粒子的能量只能取分离值，且与n相相 关。称这些分离能量值为能量的关。称这些分离能量值为能量的本征值本征值 微观粒子的最低能量称为它的微观粒子的最低能量称为它的基态能量基态能量。一维无限深势阱中。一维无限深势阱中 粒子的基态能量不为零，称为粒子的基态能量不为零，称为零点能零点能例：设质量为例：设质量为m的粒子处在宽度为的粒子处在宽度为a的一维无限深方势阱中的一维无限深方势阱中求：求：(1).

29、粒子在粒子在0 x a/4区间中出现的几率，并对区间中出现的几率，并对n=1和和n= 的情的情 况算出概率值况算出概率值(2).在哪些量子态上，在哪些量子态上，a/4处概率最大？处概率最大？ 解：解：(1). 粒子在粒子在0 x a/4区间中出现的几率区间中出现的几率 已知粒子定态波函数已知粒子定态波函数 xanaxn sin2)( 概率密度概率密度 xanaxxn 22sin2)()( 粒子出现在粒子出现在0 x a/4区间中出现的几率区间中出现的几率 2sin2141sin2)(4/04/02 nnxdxanadxxWaan n=1时时 100/921411 Wn= 时时 100/2541

30、 W(2).在哪些量子态上，在哪些量子态上，a/4处概率最大处概率最大anaaanaa 22sin2)4(sin2)4( 当当 14sin n或或 2)12(4 kn(k=0,1,2,)时，几率取得极大，此时，时，几率取得极大，此时，n=2,6,10, 2. 一维方形势垒与隧道效应问题一维方形势垒与隧道效应问题2. 一维线形谐振子问题一维线形谐振子问题A. 泛泛定方程及化简定方程及化简 0)2(222222 xEdxd势函数势函数222xU S.eqxx 令令 E2 0)(222 ddS.eq(1).定解问题定解问题 B. 定解问题定解问题 0)(222 dd有限有限x (2).定解问题定解问

31、题 求解求解A. 渐近解渐近解0)(222 dd 0222 dd有限有限x )()2(exp)(2 H 2/2/22dd)1()( eeHnnnn0)1(dd2dd22 HHH 有限有限xHB.本证值问题本证值问题波函数波函数)()2(exp)(2 nnHN 2/1!2 nNnn 归一常数归一常数 21nEn12 n 1,2, 0 n本证值本证值本证能量本证能量(2).讨论讨论A.零点能问题零点能问题B. 在其它领域中的应用在其它领域中的应用例：一维方形势垒与隧道效应问题例：一维方形势垒与隧道效应问题一维势垒示意图 I II III x a 0 U0 入射波入射波 反射波反射波 透射波透射波

32、反射波反射波 透射波透射波 势能曲线写为势能曲线写为 axxaxUxU, 000)(0解：解：(1).定解问题定解问题 A.泛定方程泛定方程 0)(20222 IIUEmdxd 02222 IIIIEmdxd 02222 IIIIIIEmdxd B.边界条件边界条件 00 xIIxI 00 xIIxI axIIIaxI axIIIaxI (2).定解问题求解定解问题求解 A. 在在 情况下，令情况下，令 0UE 212mEk 202)(2UEmk 01 k02 k 泛定方程成为泛定方程成为02222 IIkdxd 02122 IIIIkdxd 02122 IIIIIIkdxd 泛定方程的解泛定

33、方程的解 )exp()exp(22xikBxikBI )exp()exp(11xikAxikAII )exp()exp(11xikCxikCIII 将上面各式乘以时间因子将上面各式乘以时间因子 )exp(Eti 三个区域解的第一项为三个区域解的第一项为右行波右行波，第二项为，第二项为左行波左行波根据物理意义，得根据物理意义，得 并与自由粒子波函数比较可知并与自由粒子波函数比较可知:0 C考虑考虑边界条件边界条件，有，有 aikaikaikaxIIIaxIaikaikaikaxIIIaxIxIIxIxIIxICekeBkBekCeeBBeBkBkAkAkBBAA12212212222110000

34、 AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik222212212212222122122121)()(sin)(2)()(4一维势垒示意图 I II III x a 0 U0 入射波入射波 反射波反射波 透射波透射波 反射波反射波 透射波透射波 考虑到考虑到几率密度几率密度 )(2* miJ入射波入射波的几率密度的几率密度 )exp(1xikA 21AmkJ 透射波透射波的几率密度的几率密度 )exp(1xikC 21CmkJD 反射波反射波的几率密度的几率密度 )exp(1xikA 21AmkJR 定义定义透射系数透射系数 22212222221222122

35、4sin)(4kkakkkkkACJJDD 反射系数反射系数 DkkakkkakkkAAJJRD 14sin)(sin)(22212222221222222122B.当当E0时，时，k2为虚数，令为虚数，令k3为实数为实数 32ikk 203)(2EUmk 前面的计算仍成立，经计算，得前面的计算仍成立，经计算，得 AachkkikshakkkaikkikC331323211312)()exp(2 一维势垒示意图 I II III x a 0 U0 入射波入射波 反射波反射波 透射波透射波 反射波反射波 透射波透射波 2321322232123214)(4kkakshkkkkD 一维势垒示意图

36、I II III x a 0 U0 入射波入射波 反射波反射波 透射波透射波 反射波反射波 透射波透射波 其中其中 2xxeeshx 2xxeechx 讨论讨论32ikk 203)(2EUmk 212mEk 于是于是 4)(41432213312321 akekkkkkkDi. 当粒子的能量当粒子的能量E很小，以致很小，以致akakeeak3313 akakakeeeaksh3332232412 k1，k3具有相同数量级，具有相同数量级， 时，时， 于是于是 13ak432akeaEUmakeDeDD)(2202003 透射系数随势垒宽度的增加而减小透射系数随势垒宽度的增加而减小 0 x 32

37、ikk 203)(2EUmk 212mEk a()1.02.05.010.0D0.11.2 10-21.7 10-53.0 10-10ii.任意势垒的透射系数任意势垒的透射系数 badxEUmeDD)(2200iii.常见的隧道效应现象及应用常见的隧道效应现象及应用a. 全反射的透射光全反射的透射光b. 导线接头处的电流导线接头处的电流c. STM隧道扫描显微镜隧道扫描显微镜U(x) E dx a b x 任意形状的势垒任意形状的势垒18.5量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述一一 氢原子的定态薛定谔方程与求解氢原子的定态薛定谔方程与求解 1. 氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔

38、方程ErUm )(222rerU024)( 在在球坐标系球坐标系下，薛定谔方程为下，薛定谔方程为0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222 reEmrrrrrr分离变量运算，可得到如下三个方程分离变量运算，可得到如下三个方程 0)4(2)(10)sin()(sinsin1020222222222RrreEmdrdRrdrdrmddddmddll 其中，其中，ml为待定系数为待定系数 )1( ll , 2 , 1 , 0 l2. 氢原子的定态薛定谔方程的解氢原子的定态薛定谔方程的解(1). 径向波函数与能量量子化径向波函数与能量量子化径向本征函数径向本征函数 )2()2()!

39、(2)!1()2(01202/1330,0rnazLrnazelnnlnnazRllnlrnazln 其中，其中，a0是是玻尔第一轨道半径玻尔第一轨道半径 )2(012rnazLlln 是是缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式 能量本征值能量本征值 22042)4(21menEn , 3 , 2 , 1 n1, 2 , 1 , 0 nl其中其中讨论讨论: A.关于能量本征值关于能量本征值量子力学得到的氢原子能量本征值与玻尔理论给出的相同量子力学得到的氢原子能量本征值与玻尔理论给出的相同径向波函数表明：径向波函数表明： 对同一个对同一个n，有，有n个电子的不同运动状态个电子的不同运动状态 简并态简并

40、态：对物理量：对物理量 ，如果不同微观粒子运动状态对应相同，如果不同微观粒子运动状态对应相同 的的 值，称这些运动状态是物理量值，称这些运动状态是物理量 的简并态的简并态简并度简并度：m个不同微观粒子运动状态对应相同的个不同微观粒子运动状态对应相同的 值，称物值，称物 理量理量 是是m度简并度简并的的主能量量子数主能量量子数n (主量子数、能量量子数主量子数、能量量子数)2()2()!(2)!1()2(01202/1330,0rnazLrnazelnnlnnazRllnlrnazln 径向本征函数径向本征函数 能量本征值能量本征值 22042)4(21menEn B.量子数与物理模型量子数与物

41、理模型 相同量子数相同量子数n的所有轨道的所有轨道(n个个)组成同一组成同一电子壳层电子壳层；相同；相同n，不同，不同l的每一个轨道称为一个的每一个轨道称为一个电子亚壳层电子亚壳层 n=1 n=2 n=1 n=2，l=1 n=2,l=0 (2). 角向波函数与角动量量子化角向波函数与角动量量子化将已得量子数取值代入分离变量式的第一和第二式并求解，可将已得量子数取值代入分离变量式的第一和第二式并求解，可以得到如下结论以得到如下结论 方向本征波函数方向本征波函数角动量本征值角动量本征值 )1( llL角动量量子数取值角动量量子数取值 1, 2 , 1 , 0 nl)(cos)( mlP m为为空间

42、量子数空间量子数(或称或称磁量子数磁量子数)lllm, 2 , 1 , 0 , 1, 讨论讨论 量子力学中角动量的数学表达式与玻尔理论得到的不同，角量子力学中角动量的数学表达式与玻尔理论得到的不同，角 动量量子数的动量量子数的取值范围取值范围也不相同也不相同角动量量子数分别取角动量量子数分别取1,2,3,4,5,6,7时，分别称微观粒子处于时，分别称微观粒子处于 s,p,d,f,g,h,i等电子状态等电子状态角动量为矢量，满足平行四边形合成法则角动量为矢量，满足平行四边形合成法则(3).角动量的空间量子化角动量的空间量子化解分离变量式中的第一式，容易得到以下结论解分离变量式中的第一式，容易得到

43、以下结论 角动量角动量z方向取值方向取值 lzmL 方向的本征波函数方向的本征波函数 lime )(磁量子数磁量子数ml的取值范围的取值范围lll,.2 , 1 , 0,.,1, 讨论讨论 角动量角动量z方向的量子化方向的量子化角动量角动量z方向：磁场方方向：磁场方 向称为向称为z方向方向 空间量子化现象空间量子化现象 l=1，ml=-1 B B Lz l=1，ml=0 l=1，ml=1 l=1，ml=-1 l=1，ml=1 l=1，ml=0 3. 斯特恩斯特恩(O.stern)革拉赫革拉赫W.Gerlach)实验实验 (1). stern -Gerlach实验实验(i). 实验装置实验装置(

44、ii). 实验现象实验现象 O S N P (2). 实验现象解释与自旋量子数实验现象解释与自旋量子数(i). 量子力学中的角动量合成法则量子力学中的角动量合成法则角动量角动量l1与角动量与角动量l2合成的总角动量记为合成的总角动量记为J，则，则 )1( jjJ21212121, 1, 1,llllllllj 例：设例：设l1 =1， l2 =3，计算合成的角动量值，计算合成的角动量值解：首先计算合成角动量量子数解：首先计算合成角动量量子数 j 的取值范围的取值范围4 , 3 , 2.2121 llllj于是，合成角动量值为于是，合成角动量值为 4)14(43)13(32)12(2jjjJ(ii). stern -Gerlach实验现象解释与自旋量子数实验现象解释与自旋量子数设处于设处于l量子态上的电子有自旋角动量量子态上的电子有自旋角动量S，则其总角动量，则其总角动量J为为 )1( jjJslslslslj , 1, 1,对基态对基态银银原子，已知原子，已知l=0，于是，于是sj 依据氢原子理论，角动量在磁场中会发生空间取向量子化，且依据氢原子理论，角动量在磁场中会发生空间取向量子化，且磁量子数磁量子数ml的取值范围的取值范围lllml,.2 , 1 , 0,.,1, 应用于基态银原子，有共有应用于基态银原子，有共有2s+1种可能取值种可能取值sssms,.1, 2