数列的求和(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题44 数列的求和专题知识梳理1公式法如果通项是等差或等比数列，则直接利用公式进行求和等差数列an前n项和公式：Snna1d等比数列an前n项和公式：q1时，Sn_na1_；q1时，Sn2分组求和法如果一个数列的通项形如an±bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，则把它们分别求和3错位相减法如果一个数列的通项形如an bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，则用两式错位相减法其实，_等比_数列的前n项和公式就是用此法推导的4裂项相消法如果一个数列的通项是分式型数列，则可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项

2、公式有：，()，5倒序相加法如果一个数列an的通项满足，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)50507常见数列的前n项和公式：(1)123n；(2)135(2n1)n2；(3)122232n2考点探究考向1利用“分组求和法”求和【例】求和：（1）Sn1.（2）1×42×73×10n(3n1)【解析

3、】原式中通项为an Sn222n2.（2）数列an的通项ann(3n1)3n2n，把数列分成了两个数列，分别求和1×42×73×10n(3n1)(3×121)(3×222)(3×323)(3n2n)3(122232n2)(123n)3·n(n1)2.题组训练1.在数列an中，a12101，且当2n100时，an2a102n3×2n恒成立，则数列an的前100项和S100_【解析】2n100，2102n100，将an2a102n3×2n中的n换成102n得，a102n2an3×2102n，消去a1

4、02n得，an2103n2n，S100a1a2a3a4a1002101(210122)(210023)(29924)(232100)4.2.已知数列an的通项公式为an2n13n1，则数列an的前n项和Sn_【解析】数列an的通项公式为an2n13n1，数列an的前n项和Sna1a2an(2113×11)(2213×21)(2n13×n1)(2112212n1)(3×13×23×n)n×(1)2n13×n2nn2n1.考向2利用“裂项相消法”求和【例】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知：，（I

5、）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为，（i）求； （ii）证明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(nN*).【解析】（I） 设数列的公比为q，代入，得或（舍去）又故.设等差数列的公差为d，代入，中，得，解得， （II）（i）由（I）得，故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.（ii）因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1，所以k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1

6、)(k+2)=(233-222)+(244-233)+(2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+2-2.题组训练1.求和：_【解析】因，故Sn1+-=1-.2.已知数列的通项公式an，则该数列的前_项之和等于9.【解析】，=9，所以解得n=993.已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn(an1)2.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn，求数列bn的前n项和Tn及Tn的最小值【解析】(1)(an1)24Sn，Sn，Sn1，Sn1Snan1，即4an1aa2an12an，2(an1an)(an1an)·(an1an)an1an0，an1an2，即an是公差为2

7、的等差数列，由(a11)24a1，解得a11，an2n1.(2)由(1)知bn，Tnb1b2bn(1).Tn1Tn0，Tn1>Tn，数列为递增数列，Tn的最小值为T1.考向3利用“倒序相加法”求和【例】已知函数f(x)，求f()f()f()f()的值【解析】f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.令Sf()f()f()f()，则Sf()f()f()f()，两式相加得，2S2017f()f()2017，S，即f()f()f()f().题组训练1.求sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°的值【解析】设Ssin21

8、°sin22°sin23°sin288°sin289°，将式右边反序得Ssin289°sin288°sin23°sin22°sin21°，又sin xcos(90°x)，sin2 xcos2x1.得2S(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin289°cos289°)89，S44.5.考向4利用“错位相减法”求和【例】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（1）求和的通项公

9、式；（2）求数列的前n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，.又，解得.由，可得 ，由，可得 ，联立，解得，由此可得.数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得 得. 数列的前项和为.题组训练1.已知an为等比数列，其中a11，且a2，a3a5，a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)·an，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设在等比数列an中，公比为q，a11，且a2，a3a5，a4成等差数列，2(a3a5)a2a42(q2q4)qq3，解得q，an()n1.(2)an()n

10、1，bn(2n1)an(2n1)()n1，Tn1·13·5·()2(2n1)·()n1，Tn1·3·()25·()3(2n1)·()n，得：Tn12·(2n1)·()n12(2n1)·()n3，Tn6.2.（2018·无锡模拟）在等差数列中，已知，则数列的前10项和为 【解析】，所以d=-1，得，设，将两边乘以，得，-得，所以3.已知首项为的等比数列是递减数列，其前n项和为Sn，且S1a1，S2a2，S3a3成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)若bnan·log2an，数列的前n项和为Tn，求满足不等式的最大n值【解析】(1)设等比数列an的公比为q，由题意知a1，S1a1，S2a2，S3a3成等差数列，2(S2a2)S1a1S3a3，变形得S2S12a2a1S3S2a3，即得3a2a12a3，qq2，解得q1或q，又由an为递减数列，于是q，ana1qn1n.(2)由于bnanlog2ann·n，Tn2·2n·n，于是