信号与系统课件2

1、信号与线性系统信号与线性系统主讲：柯大观主讲：柯大观本课程公共邮箱：本课程公共邮箱：电话：电话：86689930（办）短号：（办）短号：674706Email: 办公地点：温州医科大学茶山校区办公地点：温州医科大学茶山校区4A417奇异函数奇异函数 Singularity Functions 阶跃函数(Step function)奇异函数 冲激函数(Impulse function)Singularity Functions Singular FunctionsSingularity Functions是指函数本身或其导数（或积分）是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数具有不连续点的

2、函数(discontinuous functions)。Singular Functions 区间上具有连续导数的非单调下降区间上具有连续导数的非单调下降函数，但在区间上几乎处处导数为零。函数，但在区间上几乎处处导数为零。单位阶跃函数单位阶跃函数 unit step function or Heaviside step functionlIt was named after the English polymath Oliver Heaviside.l“单步蛙跳”神功 1.定义)t ()t ()t (0100此函数在此函数在t=0t=0处不连续，函数值未定义。处不连续，函数值未定义。)(t10

3、t。21) 0( tSVUs1PPVt)()(a)(b)(t2. 2. 可代替电路中的开关，故又称为开关函数可代替电路中的开关，故又称为开关函数3.、 给函数的表示带来方便01)(0tt 0t右移)(tt01)(0tt 0t左移t (a) (b) (c)tsin)(sin0ttt0000t0t0tttt起始任一函数)t (）图的不同（）与注意（cb)()(sin00tttt单位冲激函数单位冲激函数 unit impulse function or Dirac delta function冲天神术=法宝“导数”+蛙跳神功；缩身冲天神术+“法宝“积分”=“单步蛙跳”神功100dt)t ()t ()

4、t (000)(t)(0tt)(tK)(Kttt) 1 (0t（1）1、定义称为冲激强度K或1000dt)t ()t (t)t (t）（）（ttsin)t (Sa)kt(Saklimtk，其中）（或k0t23231k0( )()lim()2P tPtt或（）10)(tPt22/1( )( )xaaa tlimtea或tttd)(td)(0001证明：由dt)t(d)(d )()t(t或dt)t (d)t ()t (lim)t (Plimt00）（反之，) ( t(1)冲击函数 的积分等于阶跃函数)t (d )()t (t的定义式比较，得将这对式子与)(t2. 的基本性质( ) t)(t)tt

5、()tt ()t()t (00)(t2. 的基本性质 (2)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有)t (fdt)t (f )tt ()(fdt)t ()t (f000)(fdt)t()(fdt)t(ft0000）（证明：(3) 是偶函数单位斜变函数单位斜变函数 R(t) Ramp functionR(t) Ramp function 1.定义)t ()t (t)t (R0000)(tR11t）来表示（可用t)t (R.200dd )()t (Rtd )()t (Rttt00ttdt)t (dR)t ()2()2(1)2()2(1)( ttdtttdt或( ) Unit doublett冲击偶函

6、数22dttddttdt)()()( 1、定义0im0im0221)1()1(矩形脉冲的导数t0)( t0从负t0从正t) 1 (t2、的基本性质)( t奇函数)( )(.00tttt)()( )( )()( )(.tftfttf000dtt)( .)( )( )(.00tfdttttfSingularity functions or singularity brackets其中，n表示积分的次数。 引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：_V1)0( tK_cUFCic10000101001000_)()()()()()()(库仑dttdiqCCUqVUVUcccc2、直流信

7、号、直流信号f(t)=Af(t)=Am mcos(cos( t+t+ ) ) 常用连续时间信号总结常用连续时间信号总结1、正弦信号、正弦信号(-t)(-t)f(t)=Af(t)=A (-t)(-t)3、单位阶跃信号单位阶跃信号00( )10ttt 性质：性质：切除性切除性 y(t)=y(t)=f( (t) )( (t) )0)(00ttft4、单位门信号、单位门信号其余0221)(ttG5、单位冲激信号、单位冲激信号000)(ttt1)(dtt 性质性质：)()0()()()1tfttf)0()()()2fdtttf)()()3tt0 , )(1)()4ataat)(1)()500attata

8、tU(t)U(t)与与 (t)(t)关系：关系：dttdUt)()(tdtU)()(或或 例例1：画出下列信号时域波形：画出下列信号时域波形 f(t)=5U(-t-1) 例例2：求下列表达式值：求下列表达式值 dttt)2()3()13dttt)21()3()22 y(t)= U(t2+5t+4)015010tt1510tt0451045022tttt0)4)(1(10)4)(1(0tttt=3/2=13/8微分呢？6、单位冲激偶信号、单位冲激偶信号 性质性质：dttdt)()(0)()2dtt)()()3tdt)()()1tt)()0()()0()()(tftfttf)()()()()()(

9、)400000tttftttftttf)0()()(fdtttf)()()()500tfdttttfdttt)1 ()3() 12例例:求求tde)()2dtttdtt)()(00dttt) 1()3(2=2td)()(= (t)+U(t) t (f0单位冲击偶函数的卷积定义单位冲击偶函数的卷积定义：对所有：对所有f(t)，( )( )( )df tf ttdt7、单位符号信号、单位符号信号 8、单位斜坡信号：、单位斜坡信号：( )( )dr ttdt2 ( )1t( )()tt( )( )tdr t 0101)sgn(ttt000)(ttttr( )tt22)()(dttdrt 单位斜坡信号

10、与阶跃信号、冲激信号关系：单位斜坡信号与阶跃信号、冲激信号关系：9、复指数信号、复指数信号jssincostjtKstKetf)(特点：特点：(1)(1) s=0: f(t)=K s=0: f(t)=K （直流信号）（直流信号）(2(2） =0:=0:其中其中(-t)(-t)tKetf)(tjKetf)(tjKetf)()(sincostjtKet（实指数信号）（实指数信号）(3)(3) =0:=0:10、抽样信号：、抽样信号：0)(tfdttf)()4(tttf00sin)()(0tSa0)()5(ttf性质：性质：(1)f(t)=f(-t)(1)f(t)=f(-t)(2)f(0)=1(2)

11、f(0)=1(3)(3):0kt (-t)(-t)非 常 重 要连续时间信号的时域分解连续时间信号的时域分解 time domain decompose of signal(教材教材P44) 分解将时间函数用若干个函数之和来表示。信号的分解信号的分解求响应求响应再迭加再迭加信信号号直流直流交流交流偶分量偶分量奇分量奇分量系系列列冲冲激激系系列列阶阶跃跃指指数数分分量量正正交交函函数数集集 信号分解的作用将被分解信号作用于线性系统的响应用若干个函数响应之和来表示。)()()(DAtftftf 平平均均值值。：信信号号的的直直流流分分量量，即即tfD TttttfTtf00d)(1)(D信号的平均

12、功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率)(tfEEOttt)(Atf)(DtfOO ttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002A2D2AD2 一直流分量与交流分量一直流分量与交流分量对任何对任何实实信号而言：信号而言：信号的平均功率信号的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e: )(: )()()()(ooeeoeoetftftftftftftftftf 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(etftftf )()(21)(otftf

13、tf 二偶分量与奇分量二偶分量与奇分量)()()(0tftftfe)()(21)(tftftfe)()(21)(0tftftff(t)0112tf(-t)fe(t)fo(t)Ot)(tfOt)( tf Ot)(etfOt)(otf例例 求求f(t)的奇分量和偶分量的奇分量和偶分量 tf t fO, t当当 , f脉脉高高：, 脉脉宽宽：1 1矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为 )()( tutuf)()( tutu存存在在区区间间：三脉冲分量三脉冲分量出现在不同时刻的，出现在不同时刻的，不同强度的冲激函不同强度的冲激函数的和。数的和。叠加叠加可表示为许多窄脉冲的可表示

14、为许多窄脉冲的到到从从)(,tf ）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所以所以0 令令 tttututud)(d()(lim0） ,d2 2连续阶跃信号之和连续阶跃信号之和 01111d)(d)(d)()0()(tttuttftuftf 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。的零状态响应。 tf1t t1t 0f 11ttf 1tfO瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部

15、两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。研究实信号。共轭复函数共轭复函数)(j)()(irtftftf )(j)()(ir*tftftf )()(21)(*rtftftf )()(21)(j*itftftf 四实部分量与虚部分量四实部分量与虚部分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这

16、将是本课程讨论的主要课题。这将是本课程讨论的主要课题。 我们将在第三章中开始学习。我们将在第三章中开始学习。 五正交函数分量五正交函数分量分形几何理论简称分形理论或分数维理论；分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始人为创始人为B.B.Mandelbrot;分形是分形是“其部分与整体有形似性的体系其部分与整体有形似性的体系”；在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业

17、务流量描述等。这些信号的共同特点都是具信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分形理论可提取信号特征，有一定的自相似性，借助分形理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。或自动生成某些具有自相似特征的信号。可浏览网站：http:/六利用分六利用分形（fractal）理论描述信号线性系统的微分方程及求解l一、电路微分方程的导出：一、电路微分方程的导出：l 列方程的基本依据：列方程的基本依据：l 1、元件特性约束：方程。、元件特性约束：方程。l 2、网络拓扑约束：、网络拓

18、扑约束：KCL、KVL方程。方程。l 列方程的基本方法：列方程的基本方法：l 节点分析法和回路分析法。节点分析法和回路分析法。 l线性电路的输入输出方程为常系数微分线性电路的输入输出方程为常系数微分方程。它的一般形式为：方程。它的一般形式为： tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn0111101111.例1. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。)(ti)(te2CLR)(tr解：由图列方程 ).().t( iR)t(rdt)t(drC22KCL:).().t (e)t ( rdt)t (diL1 KVL:)

19、t (e)t ( rdt)t (drRLdt)t ( rdLC222将（2）式两边微分，得 ).(.dt)t (didt)t (drRdt)t ( rdC31222将（3）代入（1）得 ebdtdeb.dtedbdtedbradtdra.dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般来说，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，可以用下列形式的微分方程来描述：n阶常系数微分方程n n阶常系数微分方程的求解法阶常系数微分方程的求解法 the solution method for Nth-order constant-coeffici

20、ent differential equation全响应全响应= =齐次方程通解齐次方程通解 + + 非齐次方程特解非齐次方程特解（自由响应） （受迫响应）全响应全响应= =零输入响应零输入响应rzi(t) + + 零状态响应零状态响应rzs(t)（解齐次方程） （叠加积分法） 时域分析法时域分析法（经典法）变换域法变换域法（拉普拉斯变换法）微分方程求解微分方程求解算子方程算子方程 Operator Functions定义：微分算子微分算子(differential operator) 积分算子积分算子 (integral operator)dpdt1(.)tdp利用算子就可以把电路中的电感、电容伏安特性记为利用算子就可以把电路中的电感、电容伏安特性记为 uL=LpiL ，即可以将电感即可以将电感 和电容记为阻值为和电容记为阻值为Lp和和 的阻抗的阻抗1CCuiC p1C p l算子多项式算子多项式(operatorpolynomial）：）：l例如例如：l逆算子（逆算子（Inverse or converse operator）：）：l这样微分方程的一般形式可记为算子方程：这样微分方程的一般形式可记为算子方程： yp