命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

1、 高考高考明方向明方向 1.1.理解理解命题的概念命题的概念 2.2.了解了解“若若p p，则，则q q”形式的命题的逆命题、形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析否命题与逆否命题，会分析四种命题四种命题的相互关系的相互关系 3.3.理解理解充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件的含义的含义. . 备考备考知考情知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一， 考查形式考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目以选择题为主，试题多为中低档题目， 命题的命题的重点主要有两个：重点主要有两个： 一是命题及其四种形式一是命题及其四种形式，

2、 主要考查命题的四种形式及命题， 主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断背景考查充要条件的判断， 这也是， 这也是历年高考命题的重中之历年高考命题的重中之重重命题的命题的热点是利用关系或条件求解热点是利用关系或条件求解参数范围问题参数范围问题，考，考查考生的查考生的逆向思维逆向思维. . 一、知识一、知识梳理梳理名师一号名师一号P P4 4 知识点一知识点一 命题及四种命题命题及四种命题 1 1、命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以在

3、数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假判断真假 的陈述句叫做命题其中的陈述句叫做命题其中判断为真判断为真的语句叫真命题，的语句叫真命题，判断判断为为假假的语句叫假命题的语句叫假命题 注意：注意： 命题必须是陈述句命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。都不是命题。 2 2四种命题及其关系四种命题及其关系 (1)(1)四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系 (2)(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题两个命题互为逆否互为逆否命题，它命题，它们有们有相同的真假性相同的真假性； 两个命题为两个命题为互逆命题互逆命题或或互否命题互否命题，它们

4、的，它们的真假性真假性无无关关 注意：注意：( (补充补充) ) 1 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2 2、常见词语的否定常见词语的否定 原词语原词语 等于（等于（= =） 大于（大于（ ） 小于（小于（ 0，则，则 x2xm0 有实根有实根”的逆否命题；的逆否命题； “若若 x123是有理数，则是有理数，则 x 是无理数是无理数”的逆否命题的逆否命题 A B C D 解析解析: 中否命题为中否命题为“若若 a0，则，则 ab0”，正确；，正确； 中逆命题不正确；中逆命题不正确； 中，中，14m，当，当 m0 时，时，0，原命题正确，原命题正

5、确， 故其逆否命题正确；故其逆否命题正确； 中原命题正确故逆否命题正确中原命题正确故逆否命题正确 答案答案 B 注意：注意： 名师一号名师一号P P5 5 高频考点高频考点 例例 1 1 规律方法规律方法 在在判断四个命题之间的关系判断四个命题之间的关系时，时， 首先要首先要分清命题的条件与结论分清命题的条件与结论， 再再比较每个命题的条件与结论之间的关系比较每个命题的条件与结论之间的关系 要要注意四种命题关系的相对性注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为，一旦一个命题定为 原命题，也就相应的有了它的原命题，也就相应的有了它的“逆命题逆命题” “否命题否命题”“”“逆否命题逆否命题”； 判

6、定命题为真命题时要进行推理判定命题为真命题时要进行推理， 判定命题为假命题时只需举出反例即可判定命题为假命题时只需举出反例即可 对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 例例 1.1.(3)(3) 名师一号名师一号P P4 4 对点自测对点自测 2 2 (2014 陕西卷陕西卷)原命题为原命题为“若若 z1， z2互为共轭复数， 则互为共轭复数， 则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断命题真假性的判断依次如下，正确的是依次如下，正确的是( ) A真，假，真真，假，真 B假，假，真假，假，真 C真，真

7、，假真，真，假 D假，假，假假，假，假 解析解析 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设设 z134i，z243i，则有，则有|z1|z2|， 但是但是 z1与与 z2不是共轭复数，所以逆命题为假，不是共轭复数，所以逆命题为假， 同时否命题也为假同时否命题也为假 注意：注意： 名师一号名师一号P P5 5 问题探究问题探究 问题问题 2 2 四种命题间关系的两条规律四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题； 互为逆否命题的两个命题同真假互为逆否命题的两个命题同真假 (2)当当判断一个命题的真假比较困难时

8、，判断一个命题的真假比较困难时， 可转化为判可转化为判断它的逆否命题的真假断它的逆否命题的真假 同时要同时要关注关注“特例法特例法”的应用的应用 例例 2 2(1)(1)( (补充补充) ) （2011 山东文山东文 5)已知已知 a，b，cR，命题，命题“若若a b c =3， 则则222abc3”的的否命题否命题是（是（ ） (A)(A)若若 a+b+c3，则，则222abc3 3 (B)(B)若若 a+b+c=3a+b+c=3，则，则222abc31”是是“an为递增数列为递增数列”的的( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要

9、条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【规范解答】【规范解答】 若若 q1，则当，则当 a11 时，时，anqn1，an为递减数列，为递减数列，所以所以“q1” / “an为递增数列为递增数列”； 若若an为递增数列， 则当为递增数列， 则当 an 12n时，时， a112， q121”故选故选 D. 例例 1 1.(3).(3)名师一号名师一号P6 特色专题特色专题 例例 2 (2014 湖北卷湖北卷)设设 U 为全集为全集A，B 是集合，则是集合，则“存在存在集合集合 C 使得使得 AC，B UC”是是“AB ”的的( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件

10、必要而不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【规范解答】【规范解答】 如图可知，存在集合如图可知，存在集合 C，使，使 AC，B UC，则有，则有 AB .若若 AB ，显然存在集合，显然存在集合 C.满足满足 AC，B UC.故选故选 C. 例例 1 1.(4).(4) 名师一号名师一号P P4 4 对点自测对点自测 5 5 已知已知 p：4k0，q：函数：函数 ykx2kx1 的值的值 恒为负，则恒为负，则 p 是是 q 成立的成立的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充

11、分也不必要条件 解析解析:4k0k0，k24k0，函数，函数 ykx2kx1 的值恒为负，但反之不一定有的值恒为负，但反之不一定有4k0，2xa，x0有且只有一个零点的有且只有一个零点的 充分不必要条件是充分不必要条件是( ) Aa0 或或 a1 B0a12 C.12a1 Da0，2xa，x0有且只有一个零点有且只有一个零点的充要条件为的充要条件为 a0 或或 a1.由选项可知，使由选项可知，使“a0 或或 a1”成成立的充分条件为选项立的充分条件为选项 D. 注意：注意： 名师一号名师一号P P5 5 高频考点高频考点 例例 3 3 规律方法规律方法 有关探求充要条件的选择题，解题关键是：有

12、关探求充要条件的选择题，解题关键是： 首先，首先，判断是选项判断是选项“推推”题干，还是题干题干，还是题干“推推”选项选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论其次，利用以小推大的技巧，即可得结论 务必审清题，明确“谁是条件”！务必审清题，明确“谁是条件”！ 此题此题选项选项是条件！是条件！ 练习：练习：( (补充补充) ) 已知已知:3p x且且2y，:5q xy，则则p是是q的的 条件。条件。 答案答案: : 既不既不充分条件充分条件也不也不必要条件必要条件 例例 3.3.名师一号名师一号P6 特色专题特色专题 例例 3 已知命题已知命题 p：关于：关于 x 的方程的方程 4x22ax2

13、a50 的解集的解集 至多有两个子集， 命题至多有两个子集， 命题 q：1mx1m，m0， 若， 若p是是q的必要不充分条件，求实数的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围的取值范围 【规范解答】【规范解答】 p是是q的必要不充分条件，的必要不充分条件， p 是是 q 的充分不必要条件的充分不必要条件 对于命题对于命题 p，依题意知，依题意知 (2a)24 4(2a5)4(a28a20)0， 2a10， 令令 Pa|2a10，Qx|1mx1m，m0， 由题意知由题意知PQ， m0，1m0，1m2，1m10， 解得解得 m9.因此实数因此实数 m 的取值范围是的取值范围是m|m9 注意：注意：(

14、 (补充补充) ) 凡结合已知条件凡结合已知条件求参数的取值范围求参数的取值范围 是求满足条件的是求满足条件的等价条件即等价条件即充要条件充要条件 练习：练习：( (补充补充) ) 已已知知: 210;:11(0)pxqmxm m . . 若若p是是q的必要但不充分条件，的必要但不充分条件， 求实数求实数m的取值范围的取值范围 解：解：p是是q的必要但不充分条件的必要但不充分条件 即即 p q 且且 qp 等价于等价于 q p pq 即即 p是是q的充分但不必要条件的充分但不必要条件 令令210Axx 11(0)Bxmxm m 则则 AB 即即 12110mm 解得解得 9m 所以实数所以实数

15、m的取值范围是的取值范围是9m m 注：注：A A 是是 B B 的真子集，须确保的真子集，须确保12110mm 中的等号不同时取得中的等号不同时取得 例例 4.4. ( (补充补充) ) 求证：关于求证：关于 x 的方程的方程 ax22x10 至少有一个负根的至少有一个负根的 充要条件是充要条件是 a1. 证明：证明：充分性：充分性：当当 a0 时，方程为时，方程为 2x10 的根为的根为x12，方程有一个负根，符合题意，方程有一个负根，符合题意 当当 a0， 方程， 方程 ax22x10 有两个有两个不相等的实根，且不相等的实根，且1a0，方程有一正一负根，符合题意，方程有一正一负根，符合

16、题意 当当 0a1 时，时，44a0， 方程方程 ax22x10 有实根，且有实根，且 2a0， 故方程有两个负根，符合题意故方程有两个负根，符合题意 综上：当综上：当 a1 时，方程时，方程 ax22x10 至少有一个负根至少有一个负根 必要性：必要性：若方程若方程 ax22x10 至少至少有一个负根有一个负根 当当 a0 时，方程为时，方程为 2x10 符合题意符合题意 当当 a0 时， 方程时， 方程 ax22x10 应有一正一负根或两应有一正一负根或两个负根则个负根则1a0 或或 44a02a0. 解得解得 a0 或或 0a1. 综上：若方程综上：若方程 ax22x10 至少有一负根，

17、则至少有一负根，则 a1. 故关于故关于 x的方程的方程 ax22x10至少有一个负根的充要条至少有一个负根的充要条件是件是 a1. 注意：注意：( (补充补充) ) 证明证明充要条件充要条件务必务必明确明确充分性充分性和和必要性必要性并分别给予证明并分别给予证明 练习：练习：( (补充补充) )已知已知( )f x是是定义在定义在 R R 上的函数，上的函数， 求证：求证：( )f x为增函数的充要条件是任意的为增函数的充要条件是任意的12121212( )(),0f xf xxxRxxxx、且恒有 分析：分析： 设设p：12121212( )(),0f xf xxxRxxxx、且恒有 q：( )f x为增函数；证明为增函数；证明p是是q的的充要条件，只需分别充要条件，只需分别证明充分性（证明充分性（pq）和必要性（）和必要性（qp）即可。）即可。 课后作业课后作业 计时双基练计时双基练 P209 P209 基础基础 1 1- -1111、培优、培优 1 1- -4 4 课本课本 P2P2