事物的平衡性

1、14题目：讨论资金积累、国民收入与人口增张的关系。（1） 若国民平均收入X与按人口平均积累资金Y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民收入才是增长的。（2） 作出和的示意图，说明二曲线是平衡点，讨论它的稳定性。（3） 分析人口激增会引起什么后果。 模型分析：（1） 若资金积累增长率和人口增长率由国民平均确定，一般情况下，和都是升函数，二曲线交点M的横坐标是平衡点，因为x=时，k=r,=0（2） 该平衡点的稳定性取决于平衡点附近和的增长速度，若，则平衡点不稳定，即国民平均收入将不断增长，反之，则稳定，即国民收入将停滞。 （3） 在不稳定平衡点的情况下，国民平均收入不断

2、增长，假定人口增长率突然增加，造成在M点再次与相交，则是稳定平衡点。；第11题：一个岛屿上栖居食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生长。在适当的假设下建立三者之间的关系模型，求平衡点。假设 哺乳动物和食肉爬行动物用X1(t)和X2(T)分别表示时间两者的数量。若岛屿上没有食肉爬行动物，哺乳动物的净相增长率为一正常数k1（岛屿上的植物绝对可以供应哺乳动物），若没有哺乳动物，食肉爬行动物的净相增长率为一负数，记为-k2(k2>0).根据统计规律，两类动物相遇的机会正比于x1和x2乘积。建模 考虑了每一种群的数量增长与本种群的数量有关，同时还受到

3、另一种群的影响建立模型如下： X1=k1x1-bx1x2=x(k1-bx2) X2=-k2x2+cx1x2=x2(-k2+cx1)并设 k1=1 k2=0.5 b=0.1 c=0.02 x1(0)=25 x2=2MATLAB: function y=(t,x)k(1),k(2)=0.5 ,b=0.1 c=0.02y=diff(k(1)-b*x(1)*x(1),(-k(2)+c*x(1)*x(2)ts=0:0.1:10;x0=20,4t,x=ode45('v',ts,x0);f1=figue;plot(grid);gtext('x1(t)') ,gtext(

4、9;x2(t)');title(平衡关系)；Gause;f2=figre; plot(x(:,1),x(:,2);grid;slabel('x1'),ylabel('x2');title('相位图')12题目：物种迁移问题一、 问题：大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量地增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当的假设下建立物种数的模型，并讨论稳定状况。二、模型假设：1)假定大陆上物种的数目为常数;2)岛上物种数的增加率与尚未迁移的物种数成正比，比例系数为(>

5、;0);3)岛上物种数的减少与已迁移的物种数成正比，比例系数为(>0);三、模型建立：记岛上物种数为，大陆上物种数为,则由假设知数学模型为：四、模型求解：此模型是求解为何值时，物种可以达到稳定的状态。由微分方程稳定性理论知：先令=0，得到平衡点，再检验在点的导数值是否小于0，若是，则平衡点为稳定点。此模型的= .用Mathematica求解如下：Solvea*(N-x)-b*x0,xDa*(N-x)-b*x,x所得结果为:-a-b由上面的求解可以看到，x0=平衡点为，而且f(x)在平衡点的导数值小于0，所以x0为稳定点。如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的

6、食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡点。模型假设：设x1(t)为成年食饵的数量;x3(t)为未成年的食饵的数量；x2(t)为捕食者的数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r；未成年的食饵的存活率为r1;捕食者的独自生存的死亡率为r2;模型建立：不考虑各个种群的自身的阻滞增长作用则可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab语言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;

7、a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,10题目：问题的提出：如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡

8、点。模型求解：设x1(t)为成年食饵的数量;x3(t)为未成年的食饵的数量；x2(t)为捕食者的数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r；未成年的食饵的存活率为r1;捕食者的独自生存的死亡率为r2;不考虑各个种群的自身的阻滞增长作用则可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab语言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3)

9、;(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,捕食者模型 食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻的数量分别记作，因为大海中资源丰富，假设当食饵独立生存时以指数规律增长，（相对）增长率为，即而捕食者的存在使鱼饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是满足方程 比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。

10、捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是满足 比例系数反映食饵对捕食者的供养能力。自身阻滞作用 模型分析与求解 方程、没有解析解，我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析。首先，利用数学软件求微分方程数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造；然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。1 数值解 记食饵和捕食者的初始数量分别为 ， 为求微分方程，及初始条件的数值解，及相轨线，设，用软件编制程序如下： ； ； ；，可得，及相轨线如图1、2可以猜到，是

11、周期函数，与此相应地，相轨线是封闭曲线，从数值解近似地定出周期为10.7，的最大、最小值分别为28.4和20，并且用数值积分容易算出，在一个周期的平均值为。2 平衡点及相轨线首先求得方程，的两个平衡点为 计算它们的发现，对于，不稳定；对于，处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程，的平衡点的情况。下面用分析相轨线的方法解决这个问题。 从方程，消去后得到 这是可分离变量方程，写作 两边积分得到方程的解，即方程，的相轨线为 其中常数由初始条件确定。 为了从理论上证明相轨线的封闭曲线，记 ， 可以用软件作出它们的图形如下，将它们的极值点记为，极大值记为，则不难知道满足 ， ，

12、 与相比可知，恰好是平衡点。3在一周期内的平均值在数值解中我们看到，一周期的平均值为，这个数值与平衡点，刚好相等。实际上，可以用解析的方法求它们在一个周期的平均值。 将方程改写成 式两边在一个周期内积分，注意到，容易算出平均值为 类似可得 将，与比较可知 ， 即，的平均值正是相轨线中心点的坐标。同样可得到、式的结果如下表平稳点稳定条件不稳定评价 上述结果表明，捕食者的数量与食饵增长率成正比，与它掠取食饵的能力成反比；食饵的数量与捕食者死亡率成正比，与它供养捕食者的能力成反比，这就是说：在弱肉强食情况下降低食饵的繁殖率，可使捕食者减少，降低捕食者的掠取能力却会使之增加；捕食者是死亡率上升导致食饵

13、增加，食饵供养捕食者的能力增强会使食饵减少。 生态学家认为，自然界里长期存在的呈周期变化的色回归年台平衡系统应该是结果稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动恢复原状，如恢复原有的周期和振幅。描述的周期变化状态却不是结构稳定的，因为离开某一闭轨线，几进入令一条闭轨线，不可能恢复原状。 第10题 ：捕食平衡模型的数学解原题目:如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡点。模型假设：设x1(t)为成年食饵的数量;x3(t)为未成年的食饵的数量；x2(t)

14、为捕食者的数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r；未成年的食饵的存活率为r1;捕食者的独自生存的死亡率为r2;模型建立：不考虑各个种群的自身的阻滞增长作用则可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab语言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25

15、,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,第10题 捕食平衡模型的数学解另解一、题目阐述：如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡点。二、模型假设：食饵和捕食者在时刻的数量分别记作,因为大海中资源丰富，假设食饵独立生存时以指数规律增长，增长率为，即而捕食者的生存使食饵

16、的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是满足方程（1）比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。捕食者离开食饵无法生存，设它独立存在时死亡率为,即而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长，设这种作用与食饵数量成正比，于是 （2）比例系数反映食饵对捕食者的供养能力。方程（1），（2）是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑这种自身的 阻滞增长作用，是Voterra提出的最简单的模型。三、模型建立：方程（1），（2）没有解析解，我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析。首先，利用数学软件求微分方程的数值解，通过对结果和图形的观察，猜测它的解析解

17、的构造。记食饵和捕食者的初始数量分别为 为求微分方程（1），（2）及设初始条件（3）的数值解（并作图）及相轨线设，四、模型求解：（Matlab语言程序）用MATLAB软件编程如下： Fuction xdot=shier(t,x) R=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; ts=0:0.1:15; x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x, Plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause, plot(x(:,1),x(:,2),grid,可以猜测，是周期函数，与次相应地，相轨线是封闭曲线，从数值解近似地定出周期为10.7

18、，的最大值，最小值分别为99.3和 2.0，在一个周期的平均值为。如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡点。模型假设：设x1(t)为成年食饵的数量;x3(t)为未成年的食饵的数量；x2(t)为捕食者的数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r；未成年的食饵的存活率为r1;捕食者的独自生存的死亡率为r2;模型建立：不考虑各个种群的自身的阻滞增长作用则可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2

19、*x1(t);Matlab语言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,一 题目叙述如果食饵捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出