例谈课堂教学过程中的一题多解

1、例谈课堂教学过程中的一题多解内容摘要：一题多解是一种极具教学价值的教学方法，既可以训练学生的发散性思维，培养学生思维的创造性，还能让学生反思自己在解题技巧、知识的掌握与灵活运用上的不足，但在课堂教学过程中，一题多解不能以多为胜，要有目的性和侧重点，要合理使用。才能达到有效教学的最佳效果关键词：一题多解、选择、有效教学。 在数学教学过程中，常常出现一题多解的情况，有的是教师在备课过程中刻意选用有多种解法的例题，有的是学生在课堂练习过程中探究的角度不同而出现多种解法。一题多解虽然属于传统的教学方法，但在实行课程改革的今天，依然需要继承发扬。原因在于有其巨大的教学价值。一是开阔学生眼界，实施有效教学

2、，二是体现数学思维的广阔性。三是既可训练学生的发散性思维，又可以培养学生思维的灵活性和创造性。但是，有的老师满足与解法的多样性，刻意追求让学生眼花缭乱的教学效果，而不考虑它们各自的优劣、简繁。也不考虑哪种解法是通法，哪种解法是简便方法，对方法的使用价值没有分析比对，造成教学效果大打折扣，学生就象满天抓麻雀，一个也没逮着，只是抓到几片羽毛。可见，如何更好地发挥一题多解的训练作用，特别值得我们教师推敲和探讨。教师在课堂中解法的选取将对我们的培养目标，培养对象有重大影响。根据自己多年来的教学体会，在这里就课堂教学过程中如何处理一题多解谈谈自己的一些做法和体会与读者交流。1 不刻意构造繁解，淡化繁解。

3、 有的教师在讲好的方法之前，总喜欢设置一种繁解，以体现另一种解法的巧妙、简洁。其实，这样容易导致学生先入为主，不利于学生对好的方法的掌握，而且需要花费很多时间。实际上对于繁解，课堂上应淡化，甚至可以不提，如果思路很自然，学生肯定想得到。如果是学生主动提出，当然应当表扬，但同时应该引导学生比较、分析它的不可取。而对于能体现数学思想的比较简明扼要的解法，教师应该把它作为重点分析、引申、向学生展示你的思维过程：你是怎样想到这种好方法的。例1 已知实数x,y满足方程，求的最大值和最小值。解法一：令则，代入方程，由应用可求得b的范围是0，10解法二：转化为几何问题。原方程可配方为，表示以（1，-2）为圆

4、心，为半径的圆。为圆上动点令，则为直线方程，问题可转化为求直线在y轴上的截距的最值。结合图形易求得当直线与圆相切时，截距最大或最小，从而求得b的最大值为10 ，最小值为0。解法三：转化为三角函数最值问题。原方程可配方为，令，则，当=1时，有最大值10，当=-1时有最小值0。解法一为繁解，课堂中应淡化，而第二种解法能培养学生用数形结合解题的能力，应着重让学生掌握，并在此基础上构思斜率的几何意义题目，扩展并引申到点与点之间的距离，点与线之间的距离等可用图解的题目。解法三利用三角换元，转化为求三角函数的最值问题，也是一种常用而便捷的解法。以后可以将原方程换成椭圆方程或双曲线方程，这种解法也能很快求解

5、。而且解题过程可以模式化，通过老师点拨，将逐步学会举一反三的思想去学习数学，大大提高学习效率。2 要注重常规解法的讲授，不应特别强调巧解和妙解。一般学生掌握的数学解题方法常常是最普通、最容易想到的那一种，对于他们，掌握巧解比比掌握常规解法要困难一些。在备课过程中，教师若过于强调解题方法的巧妙、快捷，而淡化常规的解题方法，不利于大多数同学的发展，实际上也背离了我们的教学初衷，所以教师在教学过程中应注意遵循常规、巧解兼顾的原则，让所有的学生都能获得解决这类问题的方法，不同层次的学生都能有所收获。例2 已知一条直线和直线，截得的线段中点为原点，求这条直线的方程。解法一：因为所求直线过原点，可设所求直

6、线方程为，先求出直线与直线的交点分别为和，再运用两交点的中点是原点，由中点公式可求得，即得到所求直线方程为。解法二：设所求直线与直线的交点坐标为A（a,b），则它与的交点坐标为B（-a,-b），因为A、B分别在上，两方程相加得，则，得到所求直线方程为。解法三：前面与解法二相同，得到，将方程中的a,b分别用x,y替代得直线方程x+6y=0,该直线既过点A(a,b),又过点O(0,0),所以方程x+6y=0,为所求直线方程。解法一与解法二均为待定系数法，属于常规解法，学生容易想到，运算也不复杂，容易掌握，课堂中应该着重强调，并认真写出解题过程，使学生逐步养成良好的解题习惯、掌握常规解法。让学生感悟

7、到学好数学最关键的是要有清晰的思路。解法三的方法是化定元为变元，体现数学中设而不求的思想，数学能力较强的学生自然能感悟和领会，不必要过于强调它的重要。3 选择解法要有预埋伏笔的功能一个数学题出现三种或三种以上的解法是常有的，此时教师不必将所有的解法都一一介绍给学生，否则容易导致多而乱，造成消化不良。教师应该选择一两种典型解法重点讲解，其选择的原则就是能对学生的旧知识起到复习作用，这样学生的遗忘才会逐步减少，使学生的知识达到滚雪球式的积累，在新课教学中若习题的某一解法能对将学的知识传授起到作用，那么这种解法也应介绍给学生，对新知识的传授做简单的铺垫。将一个题目的某种简明的新解法介绍给学生，既有利

8、于提高学生的学习兴趣，又有利于知识难点的分解。例3 已知平行四边形的两条边所在的直线方程是x+y-1=0,和3x-y+4=0,平行四边形的对角线交点是M(3,3)求这个平行四边形其他两条边所在直线方程。解法一，先求两直线的交点得P，该交点关于M（3，3）的对称点为Q，由平行四边形性质结合点斜式知所求直线方程是及。解法二：由平行四边形性质可设所求两直线方程为和由点M（3，3）到两对边距离相等得，即所求直线方程为及。解法三：（用转移法求轨迹）设点P（x,y）为所求直线上任一点，则点P(x,y)关于点M（3，3）对称点Q(6-x,6-y)应在已知的直线上，将点Q(6-x,6-y)分别代入直线方程x+

9、y-1=0,和3x-y+4=0,，得所求直线方程是及。教师在讲解了常规解法一和二后，学生会觉得问题比较简单，思路比较自然，没什么难度。此时解法三的提出肯定会引起学生的特别关注，让学生的思维达到一个兴奋点，非常有利于新方法的掌握，教师接着指出这是求轨迹方程的一种重要方法，以后还有很多应用，这样肯定能吸引学生的眼球，同时为后面的知识传授做了很好的铺垫。4一题多解应起到检测功能选择一个有多种解法的问题，进行探究性学习的教学应该是一个比较好的课题，学生根据自己的水平，对知识的熟悉程度，考虑的角度不同，灵活运用知识的能力的不同而对于同一个问题探究出多种解法，让学生自己说、自己做、自己点评，教师只需通过引

10、导提问，让学生的表述更严谨，对知识的把握和运用更准确。既能让学生反思、检测自己的不足：我怎么就没想到这个知识点呢？我怎么就没想到这样处理呢？哦，原来是这样来的.又充分调动学生学习的主动性，让学生体验到成功的喜悦。例4 设是由正数组成的等比数列，公比，那么等于（ ）A B C D 解法一：因为是由正数组成的等比数列，公比q=2，=。选C解法二：因为是由正数组成的等比数列，公比为q ，同理：. ，故选C 解法三 因为是由正数组成的等比数列，公比为q。令，则；。三式相乘得：，故选C。上面三种解法是笔者的一次等比数列课堂练习中由学生提供的。其中解法一是最多人想到的方法，是通项公式与求和公式的基本运用，运算最为复杂。解法二和解法三都具有构造法的特征，体现出对相关知识不仅熟悉而且技巧性地运用。反映出学生之间的差异。特别是解法三提出后，很多同学赞叹之余进行了反思：方法巧妙、过程简洁，知识的运用非常娴熟。 对数学问题的思考开始往往是多个角度的、从发散思维开始的，一个数学题又往往可以从多个角度去探究，如方程