微积分基本定理与应用

1、§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标1直观了解微积分基本定理的含义2会求简单的定积分3会用定积分的知识解决一些简单的应用问题二建构知识网络1.定积分的定义如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式_当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作_，在中，_ 和_ 分别叫做积分下限和积分上限，_叫做被积函数，叫做积分变量，_叫做被积式2定积分的性质（1）_（为常数）；（2）_；（3）_（其中）3微积分基本定理一般地，如果是闭区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布

2、尼兹公式，可以把记作_，即_4通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于_；（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于_；（3）当位于轴上方的曲边梯形的面积等于当位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为_；定积分的值等于位于轴上方的曲边梯形的面积_位于轴下方的曲边梯形的面积4定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：轴及一条曲线围成的曲边梯形的面积为_：1 若在 区间上，则_2 若在 区间上，在 区间上，则_5匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间

3、区间上的定积分，即_6变力作功公式 ：一物体在变力（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动（单位：m ），则力所做的功为_三、双基题目练练手1.下列值等于的积分是( )2.的值（）3如图，直线与抛物线相交，则阴影部分面积为（ ）4= （ ）（）ABCD5若，且a1，则a的值为（）A6B4C3D26已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A B C D7四、经典例题做一做【例1】（1） （2）（3） （4）【例2】求两曲线和所围成图形的面积【例3】一物体在做变速直线运动，其曲线如图所示，求该物体在间的运动路程【例4】如图，阴影部分的面积是 （ ）ABCD【例5

4、】抛物线：，若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为，求直线l的方程五 提炼总结以为师1用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想2用微积分基本定理求定积分：关键是找到满足的函数，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出3利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分4在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限5要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积

5、分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如：当函数在区间上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边梯形的面积，一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图象以及之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方和面积取负号6体会定积分的化归和逼近的思想方法同步练习1下列有定义的定积分为（）ABCD2（2007年山东潍坊）（）A0BCD3设a>0，a1，若，则a等于（）A B C D4（2007年广东潮州）已知为偶函数且，则（）A0B4C8D165的值等

6、于 （ ）ABCD6（2007年广东汕头）7使成立的所有可以表示为8（2006年山东潍坊）汽车从A处起以速度（其中均为正的常数）开始减速度行驶，至B点停止，则A、B之间的距离9由及围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为；若选为积分变量，利用定积分应表达为.10求下列定积分的值（1）；（2）；11.已知，求的最大值12.一质点在直线上从时刻开始以速度运动求（1）在的位置；（2）在内运动的路程§3.3定积分基础自测1.当n无限趋近于+时，(sin+sin+sin)写成定积分的形式，可记为.答案sinxdx2.1dx=.答案13.由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯

7、形的面积为（用定积分表示）.答案lnydy或(2-ex)dx4.已知f(x)为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx=.答案165.已知-1a1，f（a）=（2ax2-a2x）dx，求f（a）的值域.解f(a)=(2ax2-a2x)dx=(-)|=-+=-(a-)2+.-1a1，-f（a），故f(a)的值域为例1计算下列定积分（1）x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.解（1）x（x+1）=x2+x且(x3)=x2,(x2)=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(×23-0)+(×22-0)=.(2)(lnx

8、)=,(e2x)=e2x·(2x)=2e2x,得e2x=(e2x)所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)=cos2x·(2x)=2cos2x,得cos2x=（sin2x）,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2 -sin0）=.例2计算下列定积分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解（1）（-cosx）=sinx，|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cos

9、x|+cosx|=-（cos-cos0）+（cos2-cos）=4.（2）0x2，于是|x2-1|=|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（×23-2）-（-1）=2.例3求函数f(x)=在区间0，3上的积分.解由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4（14分）求定积分dx.解设y=,即(x-3)2+y2=25 (y0).5分dx表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分dx=.14分1.求(cosx+ex)dx.解(cosx+ex)dx=cosxd

10、x+exdx=sinx|+ex|=1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解设y=|x-1|+|x-3|=(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f(x)=求f(x)dx.解f(x)dx=2(x+1)-1 dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+ =2ln2+(2-1)+.4.（-x）dx=.答案一、填空题1.定积分dx=.答案62.若y=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面

11、区域的面积为（用定积分表示）.答案|f(x)-g(x)|dx3.定积分(32x+3)dx=.答案4.设函数f（x）=则f（x）dx=.答案5.定积分2(x3+5x5)dx=.答案06.根据sinxdx=0推断，直线x=0，x=2，y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x轴上方的面积在x轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案等于7.若f(x)dx=1,f(x)dx=-1,则f(x)dx=.答案-28.定积分dx的值是.答案ln2二、解答题9.求下列定积分的值(1)dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解（1）dx表示以y=与x=0,x=3所围

12、成图形的面积，而y=与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为.（2）f（x）=f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，f（0）=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解由f（-1）=2，得a-b+c=2，又f(x)=2ax+b,由f(0)=0得b=0,f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2，由得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解(2ax2-a2x)dx=(ax3-

13、a2x2)|=a -a2即f(a)=a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以当a=时，f(a)有最大值.12.(2009·青岛模拟)对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.解（1）由f(x)=bx3+ax2-3x,则f(x)=3bx2+2ax-3,f（x）在x=1和x=3处取得极值，x=1和x=3是f(x)=0的两个根

14、且b0.f(x)=-x2+4x-3.f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过2sintcost-2cos2t+,f(x)2sintcost-2cos2t+对xR恒成立，而f(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1.故2sintcost-2cos2t+12sin(2t-)12k+2t-2k+,kZk+tk+,kZ.（2）当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.当b0时，由f(x)在R上单调f(x)0恒成立，或者f(x)0恒成立.f(x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b0可得b-a2.从而知满足条件的点P（a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-a2与直线b=

15、-1所围成的封闭图形，其面积为S=(1-a2)da=4.§3.4 定积分的简单应用基础自测1.将由y=cosx,x=0,x=,y=0所围图形的面积写成定积分形式为.答案cosxdx+|cosxdx|2.一物体沿直线以v=3t+2 (t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3 s6 s间的运动路程为 m.答案46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N，变力F做的功W为 J.答案104.曲线y=cosx（ 0x）与坐标轴所围成的面积是.答案35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒

16、的质量M为.答案例1求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-x，所以S=-(-)dx=2xdx=2·x|=，S=4-x-(-)dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y.S=（4-y）-dy=(4y-)|=30-12=18.例2（14分）如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.解抛物线y=x-x2与

17、x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=（x-x2）dx=()|=-=.6分抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0,x2=1-k,9分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)，12分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-.14分例3一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程.解由速度时间曲线易知，v（t）=由变速直线运动的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1 350 (m).答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y2

18、=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S.解方法一由得抛物线与直线的交点为P（1，-1），Q（9，3）（如图）.S=-(-)dx+(-)dx=2dx+(-+)dx= |+（x-+|=+=.方法二若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如图所示,阴影部分的面积是.答案3.一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解物体的速度v=x(t)=(bt3)=3bt

19、2,媒质阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k0)当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=,阻力做的功是：W阻=f阻dx=kv2·vdt=kv3dt=k（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为.答案g(x)-f(x)dx+f(x)-g(x)dx2.设f（x）=则f（x）dx=.答案3.设f(x)=sintdt,则f（f（）=.答案1-cos14.一物体在力F（x）= (单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m)处，则力F（x）做的功为J.答案465.一物体在变力F(x)

20、=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为J.答案6.函数F(x)=t(t-4)dt在-1,5上的最大值为，最小值为.答案0-7.汽车以v=3t+2 (单位：m/s）作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.答案6.58.若f(x)是一次函数，且f(x)dx=5,xf(x)dx=,那么函数f(x)的解析式是.答案f(x)=4x+3二、解答题9.证明：把质量为m（单位：kg）的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W=G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是

21、地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f（r）=G·，其中G为引力常数.则当质量为m的物体距地面高度为x(0xh)时，地心对它的引力f（x）=G·.故该物体从地面升到h高处所做的功为W=f（x）dx=G··dx=GMmd（k+x）=GMm|=GMm=G·.10.设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.解（1）由题意知f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2且f(1)=0,即，解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-3x.(2)作出曲线y=x3-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以(-,0)的阴影