导数典型例题 1

1、导数典型例题高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量xxx0，x0时函数增量yf（x） f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).函数yf（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0x0，f（x0） 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设yf(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡

2、峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，yf(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤:求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：   求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 导数公式： C'=0(C为常数函数)； (xn)'= nx(n-1) (nQ*)；熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)2=

3、(secx)2=1+(tanx)2 (ex)' = ex； (ax)' = axlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)(-1),(a>0且a不等于1) (x1/2)'=2(x1/2)(-1) (1/x)'=-x(-2) 导数的应用:1函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)，那么函数y=f(x)在

4、这个区间内单调递增；如果f'(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数 注意：在某个区间内，f'(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)0。 (2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) 确定f(x)的定义域； 求导数； 由（或）解出相应的x的范围当f'(x)0时，f(x)在相应区间上是

5、增函数；当f'(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数2函数的极值(1)函数的极值的判定 如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.3求函数极值的步骤确定函数的定义域； 求导数； 在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； 检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值4函数的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有

6、的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念 (2)求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值5生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意

7、义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0处的导数值为A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f(0)= =(x-1)(x-2)(x-100)=（-1）（-2）（-100）=100！ 选D.解法二 设f(x)=a101x101+ a100x100+ a1x+a0，则f(0)= a1，而a1=（-1）（-2

8、）（-100）=100！. 选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f(x)=，nN*，则= .解 =2+=2f(2)+ f(2)=3 f(2)，又f(x)=，f(2)= （2）=(1+2)n-1= (3n-1).点评 导数定义中的“增量x”有多种形式，可以为正也可以为负，如，且其定义形式可以是，也可以是（令x=x-x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s的等速度增加，则圆半径R=10

9、cm时，圆面积增加的速度是 .解 S=R2，而R=R(t)，=2 cm/s，=2R·=4R，/R=10=4R/R=10=40 cm2/s.点评 R是t的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的（R是中间变量），此题易出现“S=R2，S=2R，S/R=10=20 cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，

10、以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是A. B. C. D. 解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为，由题意知，tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又，.故选A.点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线，y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tan(为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y=x3-ax2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a的值.解

11、 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m3-am2）.而y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，则切线方程为y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切线过（0，1），2m3-am2+1=0.(*)设（*）式左边为f(m)，f(m)=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f(m)=0有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a0”.由f(m)=2m3-am2+1，得f(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=，a0，f(0)·f()=0，即a0，-a3+1=0，a=3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“

12、方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、 B.、 C.、 D.、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正

13、确的图形是、，故选C.点评 f(x)>0（或<0）只是函数f(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f(x)在(a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x(a，b)，都有f(x)0(或0)且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y=f(x)定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的

14、正、负，可知O点、C点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y=f(x)的极小值个数是2个.点评 导数f(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使f(x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f(x)与数列an满足关系：a1>，其中是方程f(x)=x的实数根；an+1=f(an)，nN*；f(x)的导数f(x)（0，1）.（1）证明：an>，nN*；（2）判断an与an+1的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归纳法）当n=1时，由题意知a1>，原式成立.

15、假设当n=k时，ak>，成立.f(x)>0，f(x)是单调递增函数.ak+1= f(ak)> f()=，（是方程f(x)= x的实数根）即当n=k+1时，原式成立.故对于任意自然数N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0< f(x)<1，g(x)>0.g(x)在上是单调递增函数.而g()=-f()=0，g(x)>g() (x>)，即x>f(x).又由（1）知，an>，an>f(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一

16、新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x0，比较A=xe-x，B=lg(1+x)，C=的大小.解 令f(x)=C-B=-lg(1+x)，则f(x)= >0，f(x)为上的增函数，f(x)f(0)=0，CB.令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当x0时，g(x)=0，g(x)为上的增函数，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当x>a时，有f(a)=(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a)，然后证明F(x)在x>a单调递减即可，并且这种设辅助函数法

17、有时可使用多次，2004年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：y与(a-x)和x2的乘积成正比；当时，y=a3.并且技术改造投入比率：,其中t为常数，且t.（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y的最大值及相应的x值.解：（1）由已知，设y=f(x)=k(a-x)x2，当时，y= a3，即a3=k··，k=8，则f(x)=8-(a-x)x2.0<t，解得0<x.函数f(x)的定义域为0<x.（2）f(x)= -24x2+16ax=x(-24x+16a)，令f(x)=0，则x=0（舍去），当0<x<时，f(x)>0，此时f(x)在（0，）上单调递增；当x>时，f(x)<0，此时f(x)是单调递减.当时，即1t