定积分的应用

1、第七章 定积分的应用一 、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1掌握定积分的微元法.2会用定积分的微元法求平面图形的面积.3会用定积分的微元法求旋转体的体积.4会用定积分的微元法求变力所做的功.5会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点 定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点 定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用.（二）内容提要1定积分的微元法(1)在区间上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为的微元)；（2）将微元上无限“累加”，即在上积分，得上述两步解决问题的方法称为微元法.关于微元，我们有两点要说明：作为的近似表达式，应该足够准确，

2、确切地说，就是要求其差是关于的高阶无穷小，即.称做微元的量，实际上就是所求量的微分.具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部上以“常代变”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元.2.面积微元与体积微元（1）面积微元由曲线轴所围成的图形,其面积微元,面积.由上下两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积.由左右两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积（注意，这时应取横条矩形为，即取为积分变量）.（2）体积微元不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和 之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元，在微小区间上视不变

3、，即把上的立体薄片近似看作以为底，为高的柱片，于是其体积微元，再在的变化区间上积分，则有.3弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线在上有一阶连续导数,仍用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，得弧长微元为,这里.二 、主要解题方法（微元法）1求平面图形的面积的方法 例1 求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线 与直线，(2)圆 .解(1)先画图，如图所示，并由方程， 求出交点为（2，），（8，2）.解一 取为积分变量,的变化区间为，2，在区间，2上任取一子区间，+ ，则面积微元 =, 则所求面积为 = = （）=9.解二取为积分变量，的变化区间为

4、0，8，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成0，2，2，8两部分完成.在区间0，2上任取一子区间， +，则面积微元 1=,在区间2，8上任取一子区间， +， 则面积微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.(2) 如图，利用极坐标计算.的变化区间为，则面积微元 =, 于是所求图形的面积为=2,利用对称性，得 =4=2=2（+）=,事实上，表示一个半径为的圆.面积 =是正确的.小结 计算面积时要注意：（1） 适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜

5、采用直角坐标系，曲边扇形宜采用极坐标系.（2）要考虑图形的对称性.（3）积分区间尽量少分块.2求旋转体体积的方法例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间,+的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为 =, 于是，体积 =1616=12.小结 求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限.3 求

6、曲线的弧长的方法例3(1)求曲线 上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程 ,上相应于从0到的一段弧的长度.解(1) 由公式 = （）知,弧长为=.(2) 因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为 ,=, = ,故 =,故所求弧长为=.4求变力做功的方法例4 设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即= （为弹性系数）按假设 当 =0.005m时 ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有=200,所以取为积分变量，的变化区间为0，0.

7、03，功微元为 =200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为=0.09（J）.5求液体对侧面的压力的方法例5 一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为，（）,高为，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力.解 取坐标系如图所示,则的方程为 , 取水深为积分变量，的变化区间为0，在0，上任取一子区间， +，与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强= (为水的比重), 小梯形上所受的水压力=()=2（）小梯形上所受的总压力为=2=2=2（）=（）.三、学法建议1本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些实际问题，这也是本章

8、的难点.2首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量必须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来.3用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.4用微元法解决实际问题应注意：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题；（2）取好微元，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部，这关系到结果正确与否的问题.（3）核对的量纲是否与所求总量的量纲一致第六章

9、定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法 1课时第二节定积分在几何学上的应用 3课时第三节定积分在物理学上的应用 2

10、课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。五、本章的思考题和习题：第二节 279页习题62 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。第三节 287页习题63 1，3，4，5，11。第一节定积分的元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积面积元素=2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）

11、在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。第二节定积分在几何学上的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，面积=方法二面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，面积=例1 求，围成的面积解，。当时，于是面积例2 计算围成的面积解由，得，当时面积=18。2、在曲边梯形、（）中，如果曲边的方程为参数

12、方程为，则其面积 =，其中例3 求轴与摆线,围成的面积解面积例4 星形线()围成的面积. 解面积=3、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线围成的面积的计算方法：解不等式，得到。面积=4、平行截面面积为已知的空间物体的体积过轴一点作垂直于轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为，,则该物体的体积例1 一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解截面面积5、旋转体体积在上，曲线、直线围成的曲边梯形1）绕轴旋转一周形成旋转体，其截面面积，旋转体体积。2）绕轴旋转一周形成旋转体：位于区间x,x+dx上的部分绕轴旋转一周而形成的旋转体体积，原曲边梯形绕

13、轴旋转一周形成的旋转体体积。例2摆线与x轴围成的图形1）绕轴旋转形成的旋转体体积=2）绕轴旋转形成的旋转体体积=3）绕旋转形成的旋转体的截面面积。绕旋转形成的旋转体体积例3 求心形线与射线、围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解心形线的参数方程为，旋转体体积=6、平面曲线的弧长曲线方程自变量的范围弧微分弧长显函数参数方程极坐标表中当时，弧微分。例1求摆线的长解，。弧长例2摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标解设A点满足要求，此时。根据例2摆线第一拱成弧长，。由条件弧OA的长为，即,点A的坐标为例3 求星形线的全长解星形线的参数方程为, , ,，.弧长。例4 求对数螺线上到的一段弧长解，弧长=二、

14、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积第三节定积分在物理学中的应用一、内容要点1、变力沿直线运动所做的功如左图，设dx很小，物体在变力的作用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为，从点a移动到点b, 在变力所做的功例1一物体按规律直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从运动到时，克服力所做的功。解位于处时物体运动的速度，所受的阻力。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素。物体从运动到时，克服力所做的功。例2一个圆拄形水池，底面半径5米，水深10米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于

15、多少？（水的密度=1）解如图，将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量密度体积，当薄层水的厚度很小时，所做的功元素。要把池中的水全部抽出来，所做的功例3一条均匀的链条长，质量，悬挂于某建筑物顶部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物顶部解如图，将位于处、长度为的一小段拉到顶部，其质量为，所做的功元素。全部拉上建筑物顶部所做的功2、液体的压力例4 一块矩形木板长10米，宽5米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度=1）解如图，木板在处所受的压强为。位于处、长为5米、宽为米的小矩形受到的压力元素（吨）。整块木板一侧受到的压力（吨）。3、引力例5 如图一质量为

16、的质点位于原点，一根密度为、长为的均匀细棒区间上，求细棒对质点的引力解位于处、长为的小段，其质量为，对质点的引力元素。细棒对质点的引力例6 设星形线，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。解如图，位于处、长为的小段，到原点的距离，线密度为，其质量为，其中。该小段对质点的引力元素，其水平分量，铅直分量。因此,二、教学要求与注意点不仅会建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于会运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法第 十 章 定 积 分 的 应 用教学基本要求：1初步培养具有用定积分解决实际问题的能力;2.掌握用定积分计算面

17、积、弧长、体积和侧面积;3.掌握用定积分的物理应用,了解微元法及其应用、定积分近似计算的几种方法§ 1 平 面 图 形 的 面 积教学目的：掌握平面图形面积的计算公式包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式教学内容：平面图形面积的计算公式教学重点：1的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握2领会微元法的要领一直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线 与直b线轴所围成的曲边梯形的面积为若 在 上不都是非负的，则所围成的面积为一般的，有两条连续曲线 及直线所围成的平面图形的面积为1 简单图形：型和型平面图形 .2 简单图形的面积 :

18、 给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线 和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征简化计算. ( 参阅4P232240 E8693 )例 1 求抛物线 与直线 所围的平面图形的面积.所给的区域不是一个规范的x-区域, 如图需将其切成两块, 即可化成x-形区域的面积问题第一块的面积等于 第二块的面积等于总面积 我们也可以把图形看成 y-形区域计算其面积例2 求由曲线围成的平面图形的面积.例3 求由抛物线与直线所围平面图形的面积.3 参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程.由参量方程表示且 在 上连续， （对于或 的情况类似讨论）。计算中，主

19、要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征 . 2）从 参数方程 定义域的分析确定例2 求摆线 的一拱与x 轴所围的平面图形的面积 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 所以其面积为例2 求由曲线 所围图形的面积. (cd3)由图看出, 积分的上下限应为 t 从 1 到 1, 其面积为:二、极坐标下平面图形的面积若曲线是极坐标方程和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析 定义域例3 求双扭线 围成的平面图形的面积解 先看一下双纽线的图象，它由两支，因 ，所以双扭

20、线 所围成的平面图形的面积为例1 求曲线与 所围部分的面积例2三叶形曲线所围成的平面图形的面积解 先用Matlab画出三叶形曲线的图形计算所围成的面积 § 2 由平行截面面积体积教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握(2)进一步领会微元法的要领abS(x)x上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式：现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式

21、的思想求出它的体积？如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。即由此可得 这里，体积的计算的关键是求截面面积S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出S(x)例1 求两圆柱所围的立体体积 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面, 是一个边长为 的正方形, 所以截面面积 ,考虑到是8 个卦限，所以有int('8*(a2-x2)',0,'a')ans =16/3*a3再看一个例题例2 求椭圆柱 与坐标面 ,

22、斜面 , 所围部分的体积. 由图可以看出, 底面椭圆方程是： 截面是与yz平面平行的三角形。xy10cm5cm8cm截面1（兰）三角形面积等于 25；截面2（红）三角形的底边平方 ；因两三角形相似 int('50*(1-(x2)/16)',0,4)ans =400/3例 3 绕极轴旋转所得的体积 若对心脏线作如图所示的次分割, 则每个小扇形旋转可看作小球带锥, 其对应的球带宽度 球带半径为 从而所以球带面积为 整个旋转体体积为 由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。我们在看一个演示，看能否从中找出计算抛物面被一平面所截后的体积。

23、§3.平面曲线的弧长与曲率教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式1 直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程给出，其中 在 上具有一阶连续导数。现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 取横坐标 为积分变量，它的变化区间为 . 曲线上对应于 上任一小区间的一段弧的长度 可以用该曲现在点出的切线上相应的一小段的长度来近似代替(图). 而这相应切线段的长度为以

24、此作为弧长元素，即以为被积表达式，在区间上做定积分，变得所求得弧长.曲线段弧 的长度为2.参数方程情形设曲线弧由参数方程给出，其中 ， 在 上具有一阶连续导数。现在来计算这曲线弧的长度.取参数 为积分变量，它的变化区间为 .相应 上任一小区间 的小弧段的长度的近似值及弧长元素为于是，曲线段弧 的长度为3. 极坐标情形设曲线弧由极坐标方程给出，其中 在 上具有连续导数。现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是，弧长元素为从而，曲线段弧 的长度为§4 旋转曲面的面积教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面

25、积计算公式教学内容：旋转曲面的面积计算公式基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量

26、 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中)及直线 所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形 的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二 旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法教学内容：

27、液体静压力；引力；功与平均功率 基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为 的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对

28、周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解  在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到 时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为 于是所求的为 例2  某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。解  如图

29、 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于,这窄条的长度近似为,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为这就是压力元素，于是所求的压力为例3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距 ，因此可以按照两质点间的引力计算公式

30、求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力的元素为于是得到引力在水平方向的分力为上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为 平均值内容概述：本节介绍函数的平均值求法学习目标：了解平均值的求法学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值学习基础：微积分基本定理函数的算术平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如，对某一零件的长度进行次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值     

31、60; 作为这一零件的长度的近似值。但是，在工程技术与自然科学中，有时还要考虑一个连续函数 在区间 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率就是这样的例子。下面就来讨论如何规定即计算连续函数 在区间 上的平均值。先把区间 分成 等分，设分点为每个小区间的长度为，设在这些分点处 的函数值依次为 ，那么可以用的平均值来近似表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值,如果 取的比较大,那么上述平均值就能比较确切地表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我们就称极限为函数 在区间 上的算术平均值(简称平均值).现在因此

32、得连续函数 在区间 上的平均值 等于函数 在区间 上的定积分除以区间 的长度  , 即                   ()请读者注意我们是怎样从有限多个数值的算术平均值的概念出发,演化出连续函数在一个区间上的平均值的定义的,其中关键之举是使用了极限方法.函数的加权平均值我们以商业中的一个问题为例来讨论函数的加权平均.假设某商店销售某种商品,以每单位商品售价 元,销售了 各单位商品,调整价格后

33、以每单位商品售价 元,  销售了 个单位商品. 那么,在整个销售过程中, 这种上平的平均售价为 (元)这种平均成为加权平均. 一般地设 为实数,  ,称为关于 的加权平均值,其中称为资料数据称为权数. 当 时, 加权平均就是算术平均。现在我们讨论连续变量的情形. 假设某商店销售某种商品, 在时间段 内, 该商品的售价与单位时间内的销售量都与时间有关. 如果已知在时刻 时, 售价 , 单位时间内的销售量 , 那么如何计算这种商品在时间段 上的平均售价呢? 下面我们用元素法分析, 并且给出他的计算方法.在区间 上任取一小区间 . 在这短暂的时间间隔内, 这种商品的售价近似于 , 销售的数量近似于 , 因此, 在这段短暂的时间间隔内, 销售这种商品所得到的收益近似于，这就是在 这段时间内销售这种商品所得收益的元素于是, 在 这段时间内销售这种