三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现

1、西安理工大学学报JOURNAL OF XI'AN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY1999年第15卷第3期Vol.15No.31999三阶实对称矩阵特征值与特征向量的计算机实现郭俊杰田世杰封定廖勇摘要： 提出一种通用的关于求解一般三阶实对称矩阵特征值与特征向量的快速直接计算方法。首先使用高精度缩根法求出所给矩阵的特征方程，得到了3个特征根（包括重根）。其次运用选主元与最小二乘法相结合的思想，获得了实际运用中较为理想的每个特征根所对应的全部特征向量。关键词： 特征值； 特征向量； 主元； 最小二乘法中图分类号：TB931O241.6文献标识码： AThe Computer

2、 Method of Eigenvalues and Eigenvectorsof 3×3 Real Symmetric MatricesGUO Jun-jie， TIAN Shi-jie， FENG Ding, LIAO Yong (Xian University of Technology, Xian 710048, China)Abstract： This paper suggests a common computation method, i.e. the solution eignvalues and eigenvectors of 3×3 real symme

3、tric matrices. First, the characteristic equation of the matrix are obtained by using the method of highly accurate reduced root so as to achieve three eigenvalues (including heavy root). Second, all the eigenvectors of each eigenvalue which are more ideal for the purpose of accurate scientific comp

4、utation are obtained by using the thought of combining of the pivote with the method of minimum squares.Key words: eigenvalue; eigenvector; pivot; method of minimum squares矩阵的特征值与特征向量是十分重要的概念。在理论上和实际中，例如在系统工程、物理、力学、机械工程、电子工程、经济管理、三坐标几何量测量等方面有着广泛的应用。但在计算机具体实现时很难求出所有的特征值和特征向量。即使能够求出，其方法具有程序复杂、运算量大、矩阵序

5、列收敛慢、精度比较低等缺点。本文对三阶实对称矩阵特征方程采用高精度一元三次方程求根法，避免不必要的模型误差和迭加误差；运用选主元解线性方程组和最小二乘法相结合的思想来求矩阵的特征向量，解决因特征值的微小误差而引起的特征向量在理论上不存在的问题，减少舍入误差而引起的误差传播，从而达到实际中所需要的理想结果。1特征方程求根在本文中记： 为三阶实对称矩阵。矩阵A的特征方程为：3+b12+c1+d1=0(1)其中，b1=-a11-a22-a33；c1=a11a22+a11a33+a22a33-a212-a213-a223；d1=-det(A)。如果b1、c1、d1三数中有一个是较大的数，由于特征方程（

6、1）求根需要多次乘、除、开方运算以及三角函数运算本身的误差，势必会造成很大的舍入误差和累加误差，从而大大地影响了特征根的精度。因此，我们首先采用了缩根法，即：令b=b1/M, c=c1/M2, d=d1/M3, 使特征方程变成三次方程：x3+bx2+cx+d=0(2)且方程（2）的系数的绝对值不超过1。方程（2）的求根步骤如下。1) 取2) 若D=0， 则方程（2）有重根：3) 若D0，则方程（2）有三个不等根：其中，; q0时=-, q0时=。然后通过放大根法可得特征方程（1）的特征根：1=Mx12=Mx23=Mx32求对应特征值的特征向量首先取矩阵：为了后边便于使用选主元的思想，令取：ij

7、=bi1bj1+bi2bj2+bi3bj3 (i=1,2,3; j=1，2，3)1) 若为特征单根。在用高斯消元法解线性方程组时，由于小主元的出现，用它作除数会带入大的舍入误差，再经传播，误差会变得更大，从而严重失真。在求解特征向量时也会出现类似情况。为此， 我们首先采用了选最大模的思想，具体做法如下。 首先求：hh=max11，22, 33 （3）然后， 将第1列与第h列对换（当h1时），为方便起见，对换后的矩阵仍记为B。其次， 对矩阵B第1、k两列之间的线性相关性，可用如下所谓的“相关度”来判别：S(k)=(b11b2k-b21b1k)2+(b11b3k-b31b1k)2+(b21b3k-

8、b31b2k)2(k=2，3) 最后， 考虑到特征值可能为无理数或者无穷循环小数，以及特征值在计算过程中出现的微小误差， 使得对应特征向量从理论上讲是不存在的。为此， 我们采用最小二乘法，其算法如下。a. 若S(2)S(3)，即B的第1、2两列“线性相关性度”较差，可选Z=1，以下需求可能无解的方程组：采用最小二乘法求解，方法如下：非零解向量为=(x,y,1)。 b. S(3)S(2)，即B的第1、3两列“线性相关性度”较差，可选y=1，以下需求可能无解的方程组：采用最小二乘法求解，方法如下：非零解向量为=(x,1,z)。 最后将向量的第1、 h两元素对换，从而得到特征值的特征向量。2）若为特

9、征二重根。首先，采用选最大模的思想，即通过公式（3）算出hh。然后， 再将矩阵B的第1、h 两行对换，为方便起见，对换后的矩阵仍记为B。其次，对矩阵B第一行取最大元，即计算：b2tt=maxb211, b212, b213将其第一行向量中第1、 t两元素对换，对换后仍记为(b11b12b13)， 并取：最后分别将向量1、 2第1、t两元素对换，可得B对应二重根的两线性无关的特征向量。3) 若为特征三重根，则B0，从而3个线性无关的特征向量为3个三维基向量。3程序模拟实例及误差本文中所介绍的算法在BORLAND C环境下，用C语言进行编程在286与386兼容机上调试得到通过，并获得了理想的结果。

10、 程序流程框图如图1所示。图1程序流程框图程序模拟实例如下： 1） 矩阵A的特征根的精确值为，2=10，。对应特征值1的特征向量真值为1=(1, -2, -1)；对应特征值2的特征向量真值为2=(1，0，1)； 对应特征值3的特征向量真值为。2） 对矩阵A，用该算法进行计算机模拟计算，所求特征根结果为：98.5619.9661.432对应上述三特征值对应的特征向量分别为：1. . . 1. . . -0. . . 3） 误差。 通过上述两组数据可以看出，每一特征值的误差不超过10-13;而每一特征向量的分量误差最大不超过10-14。 鉴于篇幅，我们对特征重根问题及其它计算实例不再赘述。作者简介

11、： 郭俊杰(1950-)，男，西安理工大学教授，博士生导师。作者单位：西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西 西安710048参考文献1 Pullman N J. Matrix Theory and Its plicationM. New York and Basel:MARCHEL DEKKER，1976.2 A van der sluis. Gerschgorin Domanins for Paritioned MatricesJ. Linear Algebra and appl,1979，26:265280.3 Barnes E R. Circular Discs Containing Eigenvalues of Narmal MatricesJ. Linear Algebra Appl，1989(114,115):501521.4 Gourlay a r，Watson G A. Computational Methods for Matrix Eigen