变分法在最小旋转面问题中的应用论文

1、 变分法在最小旋转面问题中的应用摘要：在基本的变分法理论基础上，给出固定约束条件下泛函极值问题解存在的必要性的严格的数学证明，并研究了最小旋转面问题最优控制的模型及求解方法。关键词：泛函变分；固定约束；泛函极值及其存在条件An Application of Variation on the Problem of Minimum Rotating SurfaceAbstract: Based on the basic variation calculus theory，here the article presents the strictly mathematical pr

2、oof about necessity of the existence of functional extreme value in the condition of the fixed restriction and develops optimal mathematical model on the Problem of Minimum Rotating Surface and shows the method how to solve the problemKeywords: functional variation；fixed restriction；functional

3、extreme value and its existence conditions1. 引言随着变分学的不断发展，变分学中的最优控制理论在工程实际中得到了广泛的应用。变分法自欧拉、拉格朗日提出之后，很好的解决了最速降线问题、短程线问题等一系列问题，这类问题也是现代科学技术中经常遇到的问题。这类问题最终常可归结为泛函极值问题，通过求解泛函极值方法求得最优解并应用到工程中。最小旋转面问题也是最优控制问题中的一个典型问题，这个问题就是：在平面上连接已给定的两点的光滑曲线中，求把它绕x轴旋转所得曲面面积为最小的一条曲线。本文对最小旋转面问题建立数学模型，并用变分法求解此问题的最优解以及最优解的存在条

4、件。2. 建立“最小旋转面问题”泛函极值模型最小旋转面问题：设点和点是平面中两个点，在此我们假设，在以点和点为端点的所有光滑曲线中，求一条曲线使此曲线绕旋转时所得旋转面的面积最小（如图2.1所示）。 图2.1 用函数 表示任意一条可取的曲线， 此曲线满足条件： 于是绕旋转所得旋转面的面积为： 函数是一个定义在上泛函，它的值依赖于两点之间曲线的选取，即依赖于函数的选取。求极小曲面面积的问题就转化为求满足固定边界条件的泛函取得极小值的极值轨线。3. 采用变分法分析“最小旋转面问题”3.1、求泛函的变分从任意一条容许轨线着手，确定定义在泛函的变分。泛函的增量为： ， 将在处进行Taylor展开，可得

5、，其中是高阶无穷小。从而：由变分定义可得泛函的变分是：（*） （因为均固定，得出，所以上面（*）式积分过程中中间一项为零）3.2泛函存在极值的必要条件定理3.1 设是定义在上的泛函。如果在处存在一阶变分，并且在处取得极值，则泛函在处的变分等于0，即 。 证明.：对任意给定的，是的函数。记，由假定知，当时，函数取得极值，则。由定理1.1知 。定理3.1称为变分法的基本定理。由变分基本定理（定理3.1）可知，要泛函在轨迹处取得极值，此泛函在处的变分应该等于零，即：所以所以：可以得出：轨迹满足固定边界条件并且能够使泛函 取得极值的必要条件是：和。3.2泛函存在极小值的充分条件定理3.2 设是具有一阶

6、连续导数的n维向量函数，是标量函数，且相对于其所有的自变量都具有连续的一阶和二阶偏导数。泛函在处取得极小值的充分条件为，。根据定理3.2，轨迹满足固定边界条件并且能够使泛函 取得极小值的充分条件是：， 显然上一个矩阵不是正定矩阵，所以充分条件不满足。但是在这个最小旋转面问题中不会存在极大值，因为这条曲线可以延伸到无限远处，面积也就会是无穷大。没有极大值，则实际问题中必然存在极小值。4. 求解“最小旋转面问题”对由定理求解得到的条件进行变化，将其变化为：将公式两边同时乘以，得出：两边同时对积分一次得出即：令，上式变为： （*）因为，积分一次得：将其带入到（*），便得到了最优轨迹方程：将两个固定端

7、点带入最优轨迹方程，待定系数法确定的值，从而确定满足固定条件的最优轨迹。5. 结论通过对变分法基础知识的学习，以及对最小旋转面问题的研究，可以得知变分法是求解泛函极值问题一种非常有效的方法。通过一些简单的方法忽略复杂问题中的高阶项，将复杂的问题简单化、线性化，使计算过程更加简便易行，最终得到了最优化的解决问题的方法，真正的实现工程问题的最优控制。参考文献1 欧斐君, 梁建华. 变分法及其应用M. 第1版，西安: 陕西科学技术出版社, 1987. 2 老大中. 变分法基础M. 第1版，北京: 国防工业出版社, 2004. 3 彭旭麟, 罗汝梅. 变分法及其应用M. 第1版，湖南: 华中工学院出版社